Объёмы тел: как решать
Найти объём тела.
Определения
- Объём
- Величина, показывающая, сколько единичных кубов помещается в теле. Измеряется в кубических единицах: см³, м³.
- Прямоугольный параллелепипед
- Тело, все грани которого прямоугольники. Его объём равен произведению трёх измерений.
Объяснение
Объём измеряет вместимость тела. Смысл тот же, что у площади, только на единицу больше измерений: разобьём тело на единичные кубики и посчитаем их.
Для прямоугольного параллелепипеда получается V = a · b · c. В теле 4 на 3 на 2 умещается четыре ряда по три кубика в два слоя - всего 24 кубика. Отсюда и кубические единицы измерения: три длины перемножаются, и наименование возводится в куб.
У куба все рёбра равны, поэтому V = a³. Отсюда и название третьей степени: «куб числа» - это буквально объём куба с таким ребром.
Многие тела считаются по общему принципу: объём равен площади основания, умноженной на высоту. Это верно для призмы и цилиндра. Параллелепипед - частный случай призмы, где основание прямоугольник, и формула a · b · c получается сама.
Для пирамиды и конуса добавляется множитель одна треть: V = (1/3) · S · h. Множитель не случаен - объём пирамиды ровно втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и высотой. Это можно проверить, наполнив пирамидальный сосуд водой трижды.
Единицы обязаны совпадать, а коэффициент перевода для объёма возводится в куб: в кубическом метре миллион кубических сантиметров. Ошибка здесь даёт ответ в тысячу раз неверный, поэтому проверять наименования особенно важно.
Правила и формулы
- Прямоугольный параллелепипед
V = a · b · c - Куб
V = a³ - Призма и цилиндр
V = S · h - Пирамида и конус
V = (1/3) · S · h - Измеряется в кубических единицах
1 м³ = 1 000 000 см³
Порядок действий
- Определите вид тела.
- Приведите все размеры к одной единице измерения.
- Для призматических тел найдите площадь основания и умножьте на высоту.
- Для пирамиды и конуса добавьте множитель одна треть.
- Запишите ответ в кубических единицах.
Разбор примеров
- Формула: V = a · b · c.
- 4 · 3 = 12.
- 12 · 2 = 24.
- V = a³.
- 5³ = 125.
- Формула: V = S · h.
- 12 · 7 = 84.
Где обычно ошибаются
- Записывают ответ в квадратных единицах вместо кубических.
- Для пирамиды забывают множитель одна треть.
- При переводе единиц объёма возводят коэффициент в квадрат вместо куба.
Примеры с решением
- V = a³
- V = 3³ = 3 · 3 · 3
- V = 27 см³
- V = a³
- V = 7³ = 7 · 7 · 7
- V = 343 см³
- V = a³
- V = 4³ = 4 · 4 · 4
- V = 64 дм³
- V = a³
- V = 8³ = 8 · 8 · 8
- V = 512 м³
- V = πr²h
- Площадь основания: 3,14 · 8² = 200,96
- V = 200,96 · 6 ≈ 1205,76 дм³
Подсказки, если не получается
- У куба все рёбра равны.
- V = a · a · a
- 3³ = ?
Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»
- Периметр фигур
- Площадь прямоугольника и квадрата
- Площадь треугольника
- Параллелограмм, ромб, трапеция
- Средняя линия
- Окружность и круг
- Длина дуги и площадь сектора
- Углы
- Углы многоугольника
- Теорема Пифагора
- Подобие фигур
- Площадь поверхности тел
Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.