Теорема Пифагора: как решать

Найти сторону прямоугольного треугольника.

Определения

Гипотенуза: Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. Всегда самая длинная сторона.
Катеты: Две стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b².

Объяснение

Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника, позволяя найти любую из них по двум другим. Это самая используемая теорема школьной геометрии.

Формулировка: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Здесь важно, что гипотенуза - именно та сторона, что лежит против прямого угла, и она всегда длиннее каждого катета. Определить её на чертеже надо до подстановки в формулу.

Если ищут гипотенузу, катеты возводят в квадрат, складывают и извлекают корень: c = √(a² + b²). Для катетов 3 и 4 получаем √(9 + 16) = √25 = 5.

Если ищут катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета: a = √(c² − b²). Здесь именно вычитание, и порядок важен: из большего вычитают меньшее. Для гипотенузы 13 и катета 5 получаем √(169 − 25) = √144 = 12.

Полезно знать пифагоровы тройки - наборы целых чисел, удовлетворяющих теореме: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Узнав такую тройку, можно назвать ответ без вычислений. Кратные им тоже подходят: 6-8-10, 9-12-15.

Теорема применима только к прямоугольному треугольнику. Если прямого угла нет, формула не работает - там нужна теорема косинусов. Проверить, прямоугольный ли треугольник, можно обратной теоремой: если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, угол прямой.

Правила и формулы

Теорема Пифагораc² = a² + b²
Гипотенузаc = √(a² + b²)
Катетa = √(c² − b²)
Пифагоровы тройки3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
Применима только к прямоугольному треугольнику

Порядок действий

Убедитесь, что треугольник прямоугольный.
Определите гипотенузу - она против прямого угла и самая длинная.
Решите, что ищете: гипотенузу или катет.
Для гипотенузы складывайте квадраты, для катета вычитайте.
Извлеките корень и проверьте: гипотенуза обязана быть больше каждого катета.

Разбор примеров

Катеты 3 и 4. Найти гипотенузу.

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
c = √25 = 5.
Это известная тройка 3-4-5.

Ответ: 5

Гипотенуза 13, катет 5. Найти второй катет.

a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
a = √144 = 12.

Ответ: 12

Катеты 6 и 8. Найти гипотенузу.

c² = 36 + 64 = 100.
c = 10.
Это тройка 3-4-5, увеличенная вдвое.

Ответ: 10

Где обычно ошибаются

Складывают квадраты, когда надо вычитать: ищут катет как гипотенузу.
Принимают за гипотенузу не ту сторону.
Применяют теорему к треугольнику без прямого угла.

Примеры с решением

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 дм, а один из катетов — 3 дм. Найдите второй катет.

b² = c² − a²
b² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
b = √16 = 4 дм

Ответ: 4

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 дм и 21 дм. Найдите гипотенузу.

c² = a² + b²
c² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841
c = √841 = 29 дм

Ответ: 29

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 дм и 20 дм. Найдите гипотенузу.

c² = a² + b²
c² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
c = √625 = 25 дм

Ответ: 25

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 дм, а один из катетов — 5 дм. Найдите второй катет.

b² = c² − a²
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
b = √144 = 12 дм

Ответ: 12

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 дм и 24 дм. Найдите гипотенузу.

c² = a² + b²
c² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676
c = √676 = 26 дм

Ответ: 26

Подсказки, если не получается

Теорема Пифагора работает и «в обратную сторону».
Из квадрата гипотенузы вычти квадрат известного катета.
Извлеки корень из 16.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.