Средняя линия: как решать

Найти среднюю линию.

Определения

Средняя линия треугольника: Отрезок, соединяющий середины двух сторон. Параллелен третьей стороне и равен её половине.
Средняя линия трапеции: Отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Параллелен основаниям и равен их полусумме.

Объяснение

Средняя линия - удобный инструмент: она сразу связывает отрезок в середине фигуры со сторонами, не требуя дополнительных построений.

В треугольнике средняя линия соединяет середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине. Понять это можно через подобие: маленький треугольник, отсекаемый средней линией, подобен большому с коэффициентом одна вторая, потому что две его стороны вдвое меньше, а угол между ними общий.

Из этого следует и обратная задача: если известна средняя линия, третья сторона вдвое больше. Для средней линии 6 сторона равна 12. Здесь легко ошибиться направлением - разделить вместо умножения.

В трапеции средняя линия соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований. Формула m = (a + b)/2 объясняется тем же соображением: средняя линия - это как бы «усреднённое» основание, и площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Отсюда полезная связь: площадь трапеции можно записать как S = m · h. Если средняя линия известна, площадь считается в одно действие, без сложения оснований.

Обратная задача для трапеции: зная среднюю линию и одно основание, найти второе. Из m = (a + b)/2 получаем b = 2m − a. Умножение на два здесь обязательно - забыть про него самая частая ошибка.

Правила и формулы

Средняя линия треугольникаm = a / 2, где a - третья сторона
Обратно: сторона вдвое больше средней линииa = 2m
Средняя линия трапецииm = (a + b) / 2
Площадь трапеции через среднюю линиюS = m · h
Второе основаниеb = 2m − a

Порядок действий

Определите фигуру: треугольник или трапеция.
В треугольнике возьмите половину третьей стороны.
В трапеции возьмите полусумму оснований.
Для обратной задачи умножьте среднюю линию на два.
Проверьте: средняя линия трапеции обязана лежать между основаниями по величине.

Разбор примеров

Треугольник со стороной 12. Найти среднюю линию.

Средняя линия равна половине стороны.
12 : 2 = 6.

Ответ: 6

Трапеция с основаниями 5 и 9. Найти среднюю линию.

Формула: m = (a + b)/2.
(5 + 9)/2 = 7.

Ответ: 7

Средняя линия трапеции 7, одно основание 5. Найти второе.

Из формулы: b = 2m − a.
2 · 7 = 14.
14 − 5 = 9.

Ответ: 9

Где обычно ошибаются

В обратной задаче делят вместо умножения.
В трапеции берут полуразность оснований вместо полусуммы.
Путают среднюю линию с высотой или с медианой.

Примеры с решением

1. Основание треугольника равно 10 см. Найдите среднюю линию, параллельную этому основанию.

m = a : 2
m = 10 : 2 = 5 см

Ответ: 5

2. Основание треугольника равно 42 см. Найдите среднюю линию, параллельную этому основанию.

m = a : 2
m = 42 : 2 = 21 см

Ответ: 21

3. Основания трапеции равны 22 м и 18 м. Найдите её среднюю линию.

m = (a + b) : 2
m = (22 + 18) : 2 = 40 : 2
m = 20 м

Ответ: 20

4. Основания трапеции равны 22 см и 4 см. Найдите её среднюю линию.

m = (a + b) : 2
m = (22 + 4) : 2 = 26 : 2
m = 13 см

Ответ: 13

5. Основание треугольника равно 30 дм. Найдите среднюю линию, параллельную этому основанию.

m = a : 2
m = 30 : 2 = 15 дм

Ответ: 15

Подсказки, если не получается

Средняя линия соединяет середины двух сторон.
Она параллельна третьей стороне и вдвое короче её.
10 : 2 = ?

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.