Подобие фигур: как решать

Найти сторону или площадь подобной фигуры.

Определения

Подобные фигуры: Фигуры одинаковой формы, но разного размера. Соответственные углы у них равны, а соответственные стороны пропорциональны.
Коэффициент подобия: Отношение соответственных сторон подобных фигур. Обозначается k.

Объяснение

Подобие - это изменение размера без изменения формы, как увеличение фотографии. Все углы сохраняются, а все длины умножаются на одно и то же число - коэффициент подобия.

Из определения сразу следует, как искать неизвестную сторону: составить пропорцию из соответственных сторон. Если стороны одного треугольника 3 и 5, а соответственная первой сторона второго равна 6, то коэффициент равен 2, и вторая сторона равна 10.

Главная тонкость темы - в том, что площади и объёмы меняются иначе, чем длины. Площадь растёт как квадрат коэффициента: если все стороны увеличить вдвое, площадь вырастет вчетверо. Объём растёт как куб: увеличение сторон вдвое даёт восьмикратный объём.

Понять это можно на квадрате. Сторона 2 даёт площадь 4, сторона 4 даёт площадь 16 - стороны выросли вдвое, площадь вчетверо. Никакой особой формулы тут нет, всё следует из того, что площадь есть произведение двух длин.

На практике это означает: увидев в задаче отношение площадей, надо извлечь корень, чтобы получить отношение сторон. Если площади относятся как 9 к 4, то стороны относятся как 3 к 2.

Определять соответственные стороны надо аккуратно: соответственными являются стороны, лежащие против равных углов. Составленная наугад пропорция даст неверный ответ даже при правильной технике решения.

Правила и формулы

Соответственные стороны пропорциональныa₁/a₂ = b₁/b₂ = k
Отношение площадейS₁/S₂ = k²
Отношение объёмовV₁/V₂ = k³
От площадей к сторонам - извлечение корняесли S₁/S₂ = 9/4, то k = 3/2
Соответственные стороны лежат против равных углов

Порядок действий

Установите, какие стороны соответственные.
Найдите коэффициент подобия как отношение известной пары сторон.
Для стороны умножьте или разделите на коэффициент.
Для площади возведите коэффициент в квадрат, для объёма - в куб.
Проверьте: у большей фигуры все элементы больше.

Разбор примеров

Стороны 3 и 6 соответственные. Найти сторону, соответственную 5.

Коэффициент: 6 : 3 = 2.
Умножаем: 5 · 2 = 10.

Ответ: 10

Коэффициент подобия 3. Во сколько раз больше площадь?

Площадь растёт как квадрат коэффициента.
3² = 9.

Ответ: в 9 раз

Площади относятся как 16 к 9. Каково отношение сторон?

Отношение сторон - корень из отношения площадей.
√(16/9) = 4/3.

Ответ: 4 : 3

Где обычно ошибаются

Умножают площадь на коэффициент вместо его квадрата.
Составляют пропорцию из несоответственных сторон.
При переходе от площадей к сторонам забывают извлечь корень.

Примеры с решением

1. Треугольники подобны с коэффициентом 2. Сторона меньшего треугольника равна 3 см. Найдите соответственную сторону большего.

Сторона большего = 3 · 2
= 6 см

Ответ: 6

2. Треугольники подобны с коэффициентом 3. Площадь меньшего равна 81 см². Найдите площадь большего.

S₂ : S₁ = k²
k² = 3² = 9
S₂ = 81 · 9 = 729 см²

Ответ: 729

3. Треугольники подобны с коэффициентом 4. Площадь меньшего равна 144 см². Найдите площадь большего.

S₂ : S₁ = k²
k² = 4² = 16
S₂ = 144 · 16 = 2304 см²

Ответ: 2304

4. Треугольники подобны с коэффициентом 3. Площадь меньшего равна 121 см². Найдите площадь большего.

S₂ : S₁ = k²
k² = 3² = 9
S₂ = 121 · 9 = 1089 см²

Ответ: 1089

5. Треугольники подобны с коэффициентом 4. Сторона меньшего треугольника равна 3 см. Найдите соответственную сторону большего.

Сторона большего = 3 · 4
= 12 см

Ответ: 12

Подсказки, если не получается

Коэффициент подобия показывает, во сколько раз одна фигура больше другой.
Здесь он равен 2.
Умножь 3 на 2.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.