Окружность и круг: как решать
Найти длину окружности или площадь круга.
Определения
- Окружность
- Линия, все точки которой равноудалены от центра. Это именно линия, а не то, что внутри неё.
- Круг
- Часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. У окружности есть длина, у круга - площадь.
- Число π
- Отношение длины окружности к её диаметру, одинаковое для любой окружности. Приблизительно равно 3,14.
Объяснение
Окружность и круг - разные вещи, и путать их нельзя. Окружность - это линия, у неё есть длина. Круг - это область внутри, у него есть площадь. Спрашивают чаще всего именно то, что путают.
Число π появилось из наблюдения: если разделить длину любой окружности на её диаметр, всегда получается одно и то же число, примерно 3,14. Это отношение и назвали π. Из определения сразу получается формула длины: C = πd, а поскольку диаметр вдвое больше радиуса, то и C = 2πR.
Площадь круга равна πR². Здесь квадрат радиуса, а не диаметра - подстановка диаметра вместо радиуса даёт ответ вчетверо больше нужного. Это самая частая ошибка в теме, и стоит завести привычку сначала выписывать радиус отдельно.
Если в условии дан диаметр, первым делом разделите его пополам. Лишний шаг записи стоит секунды, а спасает от ошибки в четыре раза.
Обратные задачи решаются выражением из формул. Зная длину окружности, радиус находят как C : (2π). Зная площадь, радиус находят как корень из S : π.
В ответах π чаще всего оставляют символом: «площадь равна 25π». Это точный ответ, тогда как 78,5 - приближённый. Заменять π на 3,14 нужно только если задача явно просит числовой ответ, и делать это лучше в самом конце, а не по ходу вычислений.
Правила и формулы
- Длина окружности
C = 2πR = πd - Площадь круга
S = πR² - В формуле площади квадрат РАДИУСА, а не диаметра
- Радиус по длине окружности
R = C : (2π) - Радиус по площади
R = √(S : π)
Порядок действий
- Определите, что спрашивают: длину окружности или площадь круга.
- Если дан диаметр, разделите его пополам и выпишите радиус.
- Подставьте радиус в нужную формулу.
- Оставьте π в ответе, если не требуется числовое значение.
- Проверьте наименование: длина в линейных единицах, площадь в квадратных.
Разбор примеров
- Формула: C = 2πR.
- 2 · π · 5 = 10π.
- Формула: S = πR².
- 5² = 25.
- S = 25π.
- Сначала радиус: 12 : 2 = 6.
- S = π · 6² = 36π.
Где обычно ошибаются
- Подставляют диаметр вместо радиуса в формулу площади - ответ выходит вчетверо больше.
- Путают, что спрашивают: считают площадь вместо длины окружности.
- В формуле длины возводят радиус в квадрат.
Примеры с решением
- S = πr²
- r² = 9² = 81
- S = 3,14 · 81 ≈ 254,34 м²
- C = 2πr
- C = 2 · 3,14 · 11 = 69,08
- C ≈ 69,08 дм
- C = 2πr
- C = 2 · 3,14 · 6 = 37,68
- C ≈ 37,68 дм
- S = πr²
- r² = 3² = 9
- S = 3,14 · 9 ≈ 28,26 дм²
- C = 2πr
- C = 2 · 3,14 · 2 = 12,56
- C ≈ 12,56 м
Подсказки, если не получается
- Сначала возведи радиус в квадрат.
- S = π · r²
- 3,14 · 81 = ?
Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»
- Периметр фигур
- Площадь прямоугольника и квадрата
- Площадь треугольника
- Параллелограмм, ромб, трапеция
- Средняя линия
- Длина дуги и площадь сектора
- Углы
- Углы многоугольника
- Теорема Пифагора
- Подобие фигур
- Объёмы тел
- Площадь поверхности тел
Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.