Длина дуги и площадь сектора: как решать

Найти длину дуги или площадь сектора.

Определения

Дуга окружности: Часть окружности между двумя точками. Её длина составляет от длины всей окружности такую же долю, какую центральный угол составляет от полного оборота.
Круговой сектор: Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Похож на кусок пирога.
Центральный угол: Угол с вершиной в центре окружности. Именно он задаёт, какую долю окружности занимает дуга.

Объяснение

Дуга и сектор - это части окружности и круга, и вся тема строится на одной идее: доля. Какую часть полного оборота составляет угол, такую же часть от целого составляют дуга и сектор.

Полный оборот - 360 градусов. Значит угол в 90 градусов даёт четверть окружности, угол в 60 - шестую часть, угол в 180 - половину. Долю считают как отношение угла к 360.

Отсюда формула длины дуги: берём длину всей окружности и умножаем на долю. Получается l = 2πR · (α/360). Для площади сектора то же самое, только берётся площадь круга: S = πR² · (α/360).

Обе формулы не нужно запоминать отдельно - достаточно помнить принцип доли и формулы длины окружности и площади круга. Это надёжнее: при забытой формуле её всегда можно восстановить рассуждением.

Полезно узнавать частые доли без вычислений. Угол 90 градусов - четверть, 60 - шестая часть, 120 - треть, 45 - восьмая. Тогда для сектора в 90 градусов достаточно разделить площадь круга на четыре.

Ошибиться легко, подставив угол вместо доли. Записывать надо именно отношение α/360, а не сам угол. Проверить результат просто: длина дуги не может превышать длину всей окружности, а площадь сектора - площадь круга. Если получилось больше, значит доля посчитана неверно.

Правила и формулы

Доля окружностиα / 360
Длина дугиl = 2πR · (α/360)
Площадь сектораS = πR² · (α/360)
Частые доли90° - четверть, 60° - шестая, 120° - треть
Дуга не может быть длиннее всей окружности

Порядок действий

Найдите долю: разделите центральный угол на 360.
Посчитайте длину всей окружности или площадь всего круга.
Умножьте на найденную долю.
Оставьте π в ответе, если не требуется число.
Проверьте: результат обязан быть меньше целого.

Разбор примеров

Радиус 6, угол 90°. Найти длину дуги.

Доля: 90 : 360 = 1/4.
Вся окружность: 2π · 6 = 12π.
Четверть: 12π : 4 = 3π.

Ответ: 3π

Радиус 6, угол 90°. Найти площадь сектора.

Доля: 1/4.
Площадь круга: π · 36 = 36π.
Четверть: 36π : 4 = 9π.

Ответ: 9π

Радиус 3, угол 120°. Найти площадь сектора.

Доля: 120 : 360 = 1/3.
Площадь круга: 9π.
Треть: 3π.

Ответ: 3π

Где обычно ошибаются

Умножают на сам угол вместо доли α/360.
Для сектора берут формулу длины окружности вместо площади круга.
Получают дугу длиннее всей окружности и не замечают этого.

Примеры с решением

1. Радиус окружности равен 3 см. Найдите длину дуги в 30°. Считайте π ≈ 3,14.

l = 2πr · 30 : 360
2πr = 2 · 3,14 · 3 = 18,84 см
l = 18,84 · 30 : 360 ≈ 1,57 см

Ответ: 1.57

2. Радиус окружности равен 4 см. Найдите длину дуги в 120°. Считайте π ≈ 3,14.

l = 2πr · 120 : 360
2πr = 2 · 3,14 · 4 = 25,12 см
l = 25,12 · 120 : 360 ≈ 8,37 см

Ответ: 8.37

3. Радиус круга равен 9 см. Найдите площадь сектора с углом 120°. Считайте π ≈ 3,14.

S = πr² · 120 : 360
πr² = 3,14 · 81 = 254,34 см²
S = 254,34 · 120 : 360 ≈ 84,78 см²

Ответ: 84.78

4. Радиус окружности равен 12 см. Найдите длину дуги в 60°. Считайте π ≈ 3,14.

l = 2πr · 60 : 360
2πr = 2 · 3,14 · 12 = 75,36 см
l = 75,36 · 60 : 360 ≈ 12,56 см

Ответ: 12.56

5. Радиус круга равен 10 см. Найдите площадь сектора с углом 60°. Считайте π ≈ 3,14.

S = πr² · 60 : 360
πr² = 3,14 · 100 = 314 см²
S = 314 · 60 : 360 ≈ 52,33 см²

Ответ: 52.33

Подсказки, если не получается

Вся окружность — это 360°.
Дуга в 30° составляет 30/360 длины окружности.
Найди 2πr и возьми от неё эту часть.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.