Планиметрия и объёмы
Формулы площадей и объёмов — по справочнику Выгодского (§21 и §19).
Содержание
- Периметр фигурНайти периметр фигуры.
- Площадь прямоугольника и квадратаНайти площадь прямоугольника или квадрата.
- Площадь треугольникаНайти площадь треугольника.
- Параллелограмм, ромб, трапецияНайти площадь параллелограмма, ромба или трапеции.
- Средняя линияНайти среднюю линию.
- Окружность и кругНайти длину окружности или площадь круга.
- Длина дуги и площадь сектораНайти длину дуги или площадь сектора.
- УглыНайти неизвестный угол.
- Углы многоугольникаНайти углы многоугольника.
- Теорема ПифагораНайти сторону прямоугольного треугольника.
- Подобие фигурНайти сторону или площадь подобной фигуры.
- Объёмы телНайти объём тела.
- Площадь поверхности телНайти площадь поверхности тела.
Периметр фигур
Определения
- Периметр
- Сумма длин всех сторон многоугольника. Обозначается буквой P и измеряется в единицах длины: сантиметрах, метрах.
- Стороны фигуры
- Отрезки, ограничивающие многоугольник. У прямоугольника их четыре, у треугольника три.
Объяснение
Периметр - это длина границы фигуры. Если обойти участок по забору, пройденное расстояние и будет периметром. Отсюда сразу понятно, в чём он измеряется: в единицах длины, а не площади.
Для любого многоугольника периметр находят одинаково - складывают все стороны. Никаких специальных формул для этого не требуется, но для правильных фигур сложение можно сократить умножением.
У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому P = 2(a + b): складываем длину и ширину и удваиваем. У квадрата все четыре стороны равны, значит P = 4a. Эти формулы - лишь короткая запись того же сложения.
Периметр и площадь путают постоянно, хотя это совершенно разные величины. Периметр - длина границы, измеряется в сантиметрах; площадь - размер поверхности, измеряется в квадратных сантиметрах. Один и тот же периметр может соответствовать разным площадям: из проволоки длиной 20 см можно сделать и квадрат 5 на 5 с площадью 25, и прямоугольник 8 на 2 с площадью 16.
В задачах часто требуется обратный ход: по периметру найти сторону. Для квадрата достаточно разделить периметр на четыре. Для прямоугольника из формулы P = 2(a + b) находят сумму сторон делением пополам, а потом уже одну сторону.
Все стороны обязаны быть выражены в одних единицах. Если одна сторона дана в метрах, а другая в сантиметрах, перед сложением надо привести их к одному виду - иначе ответ окажется бессмысленным.
Правила и формулы
- Периметр - сумма всех сторон
P = a + b + c + … - Прямоугольник
P = 2(a + b) - Квадрат
P = 4a - Периметр измеряется в единицах длины, площадь - в квадратных
- Обратная задача
a = P : 4 для квадрата
Порядок действий
- Определите вид фигуры и количество её сторон.
- Приведите все длины к одной единице измерения.
- Сложите все стороны или примените формулу для правильной фигуры.
- Запишите ответ в единицах длины.
- Проверьте, не спрашивали ли вместо периметра площадь.
Разбор примеров
- Формула: P = 2(a + b).
- Сумма сторон: 5 + 3 = 8.
- Удваиваем: 2 · 8 = 16.
- Все стороны равны.
- P = 4 · 7 = 28.
- Обратная задача: делим периметр на четыре.
- 36 : 4 = 9.
Где обычно ошибаются
- Считают площадь вместо периметра.
- У прямоугольника складывают только две стороны, забыв удвоить.
- Складывают длины в разных единицах измерения.
Площадь прямоугольника и квадрата
Определения
- Площадь
- Число, показывающее, сколько единичных квадратов помещается в фигуре. Измеряется в квадратных единицах: см², м².
- Площадь прямоугольника
- Произведение длины на ширину: S = a · b.
Объяснение
Площадь измеряет размер поверхности. Смысл прямой: разобьём прямоугольник на квадратики со стороной в одну единицу и посчитаем их. В прямоугольнике 5 на 3 получится пять столбиков по три квадратика, то есть 15 - и это ровно произведение сторон.
Отсюда формула S = a · b и понятно, почему площадь измеряется в квадратных единицах: мы считаем квадратики. Сантиметр, умноженный на сантиметр, даёт квадратный сантиметр - наименование получается само собой из умножения.
У квадрата стороны равны, поэтому S = a². Отсюда и название второй степени: «квадрат числа» - это буквально площадь квадрата с такой стороной.
Обратная задача - найти сторону по площади - решается делением или извлечением корня. Если площадь прямоугольника 24 и одна сторона 6, вторая равна 24 : 6 = 4. Если площадь квадрата 49, его сторона равна √49 = 7.
Сложные фигуры разбивают на прямоугольники или достраивают до прямоугольника. Площадь Г-образной фигуры находят либо сложением двух прямоугольников, либо вычитанием вырезанного куска из большого прямоугольника - оба пути дают одинаковый ответ, выбирают более удобный.
Единицы обязаны совпадать. Если длина в метрах, а ширина в сантиметрах, перемножать нельзя - сначала приведите к одной единице. И помните, что при переводе площади коэффициент возводится в квадрат: в квадратном метре 10 000 квадратных сантиметров, а не 100.
Правила и формулы
- Площадь прямоугольника
S = a · b - Площадь квадрата
S = a² - Измеряется в квадратных единицах
см · см = см² - Обратная задача
a = S : b, для квадрата a = √S - Сложные фигуры разбивают на прямоугольники
Порядок действий
- Приведите обе стороны к одной единице измерения.
- Перемножьте длину и ширину.
- Для квадрата возведите сторону в квадрат.
- Сложные фигуры разбейте на прямоугольники или достройте до прямоугольника.
- Запишите ответ в квадратных единицах.
Разбор примеров
- Формула: S = a · b.
- 5 · 3 = 15.
- Единицы: см · см = см².
- S = a².
- 7² = 49.
- Обратная задача: делим площадь на известную сторону.
- 24 : 6 = 4.
Где обычно ошибаются
- Складывают стороны вместо умножения - получают периметр.
- Записывают ответ в линейных единицах вместо квадратных.
- Перемножают длины в разных единицах измерения.
Площадь треугольника
Определения
- Высота треугольника
- Перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или на её продолжение.
- Основание
- Сторона, к которой проведена высота. Любая сторона может быть основанием - высота выбирается соответствующая.
Объяснение
Формула площади треугольника выводится из площади прямоугольника, и понимание вывода избавляет от необходимости запоминать множитель одна вторая.
Достроим треугольник до параллелограмма, приложив к нему такой же перевёрнутый треугольник. Получится фигура с тем же основанием и той же высотой, площадь которой равна произведению основания на высоту. Наш треугольник составляет ровно половину этой фигуры, значит его площадь равна половине произведения.
Отсюда S = (a · h) / 2, где a - основание, h - высота, проведённая именно к этому основанию. Соответствие между основанием и высотой обязательно: нельзя взять одну сторону и высоту, проведённую к другой.
У прямоугольного треугольника катеты сами являются высотой и основанием друг для друга, поэтому его площадь равна половине произведения катетов. Отдельную высоту искать не нужно.
Высота не всегда лежит внутри треугольника. В тупоугольном треугольнике высота к некоторым сторонам падает на продолжение стороны, вне фигуры. Формула при этом не меняется - меняется только чертёж.
Есть и другие формулы площади: через две стороны и угол между ними, через полупериметр по формуле Герона. Они нужны, когда высота неизвестна и находить её неудобно. Но в школьных задачах базовой остаётся половина произведения основания на высоту.
Правила и формулы
- Площадь треугольника
S = (a · h) / 2 - Высота проводится к тому основанию, которое берут в формулу
- Прямоугольный треугольник
S = (катет · катет) / 2 - Через две стороны и угол
S = (1/2) · a · b · sin C - Высота может падать вне треугольника
Порядок действий
- Определите, какая сторона взята за основание.
- Найдите высоту, проведённую именно к этому основанию.
- Перемножьте основание и высоту.
- Разделите произведение пополам.
- Запишите ответ в квадратных единицах.
Разбор примеров
- Формула: S = (a · h)/2.
- 8 · 5 = 40.
- 40 : 2 = 20.
- Катеты служат основанием и высотой друг другу.
- 6 · 8 = 48.
- 48 : 2 = 24.
- Из формулы: h = 2S : a.
- 2 · 30 = 60.
- 60 : 12 = 5.
Где обычно ошибаются
- Забывают разделить произведение пополам.
- Берут высоту, проведённую не к тому основанию.
- В прямоугольном треугольнике перемножают гипотенузу с катетом.
Параллелограмм, ромб, трапеция
Определения
- Параллелограмм
- Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.
- Ромб
- Параллелограмм, у которого все стороны равны. Его диагонали пересекаются под прямым углом.
- Трапеция
- Четырёхугольник, у которого ровно две стороны параллельны. Эти стороны называют основаниями.
Объяснение
Площади всех этих фигур сводятся к площади прямоугольника - надо только увидеть, каким преобразованием.
Параллелограмм превращается в прямоугольник переносом треугольника: отрежем треугольник с одного края и приставим к другому. Основание и высота при этом не меняются, значит S = a · h, где h - высота, а не боковая сторона. Это ключевое отличие от прямоугольника: перемножать надо сторону и высоту, а не две стороны.
Для ромба работает та же формула, но чаще удобнее считать через диагонали: S = (d₁ · d₂)/2. Формула верна потому, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника, которые складываются в прямоугольник со сторонами, равными диагоналям, вдвое большей площади.
Трапецию превращают в прямоугольник, взяв среднюю линию: её длина равна полусумме оснований. Площадь равна произведению средней линии на высоту, что то же самое, что S = (a + b)/2 · h.
Смысл этой формулы понятен: если бы основания были равны, вышел бы параллелограмм с площадью a · h. Раз основания разные, берут их среднее значение - и результат оказывается точно верным.
Во всех формулах высота - это расстояние между параллельными сторонами, перпендикуляр. Боковая сторона трапеции или параллелограмма высотой не является, если она не перпендикулярна основанию. Подстановка боковой стороны вместо высоты - самая частая ошибка темы.
Правила и формулы
- Параллелограмм
S = a · h - Ромб через диагонали
S = (d₁ · d₂) / 2 - Трапеция
S = (a + b)/2 · h - Высота - перпендикуляр между параллельными сторонами
- Боковая сторона высотой не является
Порядок действий
- Определите вид четырёхугольника.
- Найдите, что дано: стороны, высота или диагонали.
- Выберите подходящую формулу.
- Убедитесь, что подставляете именно высоту, а не боковую сторону.
- Вычислите и запишите ответ в квадратных единицах.
Разбор примеров
- Формула: S = a · h.
- 10 · 6 = 60.
- Формула через диагонали: S = (d₁ · d₂)/2.
- 8 · 6 = 48.
- 48 : 2 = 24.
- Полусумма оснований: (5 + 9)/2 = 7.
- Умножаем на высоту: 7 · 4 = 28.
Где обычно ошибаются
- В параллелограмме перемножают две смежные стороны.
- В трапеции складывают основания, но забывают разделить пополам.
- Подставляют боковую сторону вместо высоты.
Средняя линия
Определения
- Средняя линия треугольника
- Отрезок, соединяющий середины двух сторон. Параллелен третьей стороне и равен её половине.
- Средняя линия трапеции
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Параллелен основаниям и равен их полусумме.
Объяснение
Средняя линия - удобный инструмент: она сразу связывает отрезок в середине фигуры со сторонами, не требуя дополнительных построений.
В треугольнике средняя линия соединяет середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине. Понять это можно через подобие: маленький треугольник, отсекаемый средней линией, подобен большому с коэффициентом одна вторая, потому что две его стороны вдвое меньше, а угол между ними общий.
Из этого следует и обратная задача: если известна средняя линия, третья сторона вдвое больше. Для средней линии 6 сторона равна 12. Здесь легко ошибиться направлением - разделить вместо умножения.
В трапеции средняя линия соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований. Формула m = (a + b)/2 объясняется тем же соображением: средняя линия - это как бы «усреднённое» основание, и площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
Отсюда полезная связь: площадь трапеции можно записать как S = m · h. Если средняя линия известна, площадь считается в одно действие, без сложения оснований.
Обратная задача для трапеции: зная среднюю линию и одно основание, найти второе. Из m = (a + b)/2 получаем b = 2m − a. Умножение на два здесь обязательно - забыть про него самая частая ошибка.
Правила и формулы
- Средняя линия треугольника
m = a / 2, где a - третья сторона - Обратно: сторона вдвое больше средней линии
a = 2m - Средняя линия трапеции
m = (a + b) / 2 - Площадь трапеции через среднюю линию
S = m · h - Второе основание
b = 2m − a
Порядок действий
- Определите фигуру: треугольник или трапеция.
- В треугольнике возьмите половину третьей стороны.
- В трапеции возьмите полусумму оснований.
- Для обратной задачи умножьте среднюю линию на два.
- Проверьте: средняя линия трапеции обязана лежать между основаниями по величине.
Разбор примеров
- Средняя линия равна половине стороны.
- 12 : 2 = 6.
- Формула: m = (a + b)/2.
- (5 + 9)/2 = 7.
- Из формулы: b = 2m − a.
- 2 · 7 = 14.
- 14 − 5 = 9.
Где обычно ошибаются
- В обратной задаче делят вместо умножения.
- В трапеции берут полуразность оснований вместо полусуммы.
- Путают среднюю линию с высотой или с медианой.
Окружность и круг
Определения
- Окружность
- Линия, все точки которой равноудалены от центра. Это именно линия, а не то, что внутри неё.
- Круг
- Часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. У окружности есть длина, у круга - площадь.
- Число π
- Отношение длины окружности к её диаметру, одинаковое для любой окружности. Приблизительно равно 3,14.
Объяснение
Окружность и круг - разные вещи, и путать их нельзя. Окружность - это линия, у неё есть длина. Круг - это область внутри, у него есть площадь. Спрашивают чаще всего именно то, что путают.
Число π появилось из наблюдения: если разделить длину любой окружности на её диаметр, всегда получается одно и то же число, примерно 3,14. Это отношение и назвали π. Из определения сразу получается формула длины: C = πd, а поскольку диаметр вдвое больше радиуса, то и C = 2πR.
Площадь круга равна πR². Здесь квадрат радиуса, а не диаметра - подстановка диаметра вместо радиуса даёт ответ вчетверо больше нужного. Это самая частая ошибка в теме, и стоит завести привычку сначала выписывать радиус отдельно.
Если в условии дан диаметр, первым делом разделите его пополам. Лишний шаг записи стоит секунды, а спасает от ошибки в четыре раза.
Обратные задачи решаются выражением из формул. Зная длину окружности, радиус находят как C : (2π). Зная площадь, радиус находят как корень из S : π.
В ответах π чаще всего оставляют символом: «площадь равна 25π». Это точный ответ, тогда как 78,5 - приближённый. Заменять π на 3,14 нужно только если задача явно просит числовой ответ, и делать это лучше в самом конце, а не по ходу вычислений.
Правила и формулы
- Длина окружности
C = 2πR = πd - Площадь круга
S = πR² - В формуле площади квадрат РАДИУСА, а не диаметра
- Радиус по длине окружности
R = C : (2π) - Радиус по площади
R = √(S : π)
Порядок действий
- Определите, что спрашивают: длину окружности или площадь круга.
- Если дан диаметр, разделите его пополам и выпишите радиус.
- Подставьте радиус в нужную формулу.
- Оставьте π в ответе, если не требуется числовое значение.
- Проверьте наименование: длина в линейных единицах, площадь в квадратных.
Разбор примеров
- Формула: C = 2πR.
- 2 · π · 5 = 10π.
- Формула: S = πR².
- 5² = 25.
- S = 25π.
- Сначала радиус: 12 : 2 = 6.
- S = π · 6² = 36π.
Где обычно ошибаются
- Подставляют диаметр вместо радиуса в формулу площади - ответ выходит вчетверо больше.
- Путают, что спрашивают: считают площадь вместо длины окружности.
- В формуле длины возводят радиус в квадрат.
Длина дуги и площадь сектора
Определения
- Дуга окружности
- Часть окружности между двумя точками. Её длина составляет от длины всей окружности такую же долю, какую центральный угол составляет от полного оборота.
- Круговой сектор
- Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Похож на кусок пирога.
- Центральный угол
- Угол с вершиной в центре окружности. Именно он задаёт, какую долю окружности занимает дуга.
Объяснение
Дуга и сектор - это части окружности и круга, и вся тема строится на одной идее: доля. Какую часть полного оборота составляет угол, такую же часть от целого составляют дуга и сектор.
Полный оборот - 360 градусов. Значит угол в 90 градусов даёт четверть окружности, угол в 60 - шестую часть, угол в 180 - половину. Долю считают как отношение угла к 360.
Отсюда формула длины дуги: берём длину всей окружности и умножаем на долю. Получается l = 2πR · (α/360). Для площади сектора то же самое, только берётся площадь круга: S = πR² · (α/360).
Обе формулы не нужно запоминать отдельно - достаточно помнить принцип доли и формулы длины окружности и площади круга. Это надёжнее: при забытой формуле её всегда можно восстановить рассуждением.
Полезно узнавать частые доли без вычислений. Угол 90 градусов - четверть, 60 - шестая часть, 120 - треть, 45 - восьмая. Тогда для сектора в 90 градусов достаточно разделить площадь круга на четыре.
Ошибиться легко, подставив угол вместо доли. Записывать надо именно отношение α/360, а не сам угол. Проверить результат просто: длина дуги не может превышать длину всей окружности, а площадь сектора - площадь круга. Если получилось больше, значит доля посчитана неверно.
Правила и формулы
- Доля окружности
α / 360 - Длина дуги
l = 2πR · (α/360) - Площадь сектора
S = πR² · (α/360) - Частые доли
90° - четверть, 60° - шестая, 120° - треть - Дуга не может быть длиннее всей окружности
Порядок действий
- Найдите долю: разделите центральный угол на 360.
- Посчитайте длину всей окружности или площадь всего круга.
- Умножьте на найденную долю.
- Оставьте π в ответе, если не требуется число.
- Проверьте: результат обязан быть меньше целого.
Разбор примеров
- Доля: 90 : 360 = 1/4.
- Вся окружность: 2π · 6 = 12π.
- Четверть: 12π : 4 = 3π.
- Доля: 1/4.
- Площадь круга: π · 36 = 36π.
- Четверть: 36π : 4 = 9π.
- Доля: 120 : 360 = 1/3.
- Площадь круга: 9π.
- Треть: 3π.
Где обычно ошибаются
- Умножают на сам угол вместо доли α/360.
- Для сектора берут формулу длины окружности вместо площади круга.
- Получают дугу длиннее всей окружности и не замечают этого.
Углы
Определения
- Смежные углы
- Два угла с общей стороной, другие стороны которых образуют прямую. В сумме дают 180 градусов.
- Вертикальные углы
- Два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
- Сумма углов треугольника
- Сумма всех внутренних углов любого треугольника равна 180 градусам.
Объяснение
Задачи на углы решаются не вычислениями, а узнаванием конфигураций. Основных соотношений немного, и почти любая задача сводится к одному-двум из них.
Смежные углы дополняют друг друга до развёрнутого, то есть до 180 градусов. Если один угол 130, смежный ему равен 50. Это соотношение используют постоянно, когда угол задан снаружи фигуры.
Вертикальные углы равны. Это следует из смежности: оба они дополняют один и тот же угол до 180, значит равны между собой. Понимание вывода полезнее запоминания: оно позволяет восстановить факт, если он забылся.
Сумма углов треугольника равна 180 градусам - главный инструмент темы. Зная два угла, третий находят вычитанием из 180. У прямоугольного треугольника один угол уже 90, значит два острых в сумме дают 90.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Это позволяет решать задачи, где известен только один угол: если угол при вершине 40, то на два угла при основании остаётся 140, и каждый равен 70.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180(n − 2) градусов. Формула получается разбиением многоугольника на треугольники диагоналями из одной вершины: их всегда n − 2. Для четырёхугольника это даёт 360 градусов - факт, который приходится применять постоянно.
Правила и формулы
- Смежные углы
α + β = 180° - Вертикальные углы равны
- Сумма углов треугольника
α + β + γ = 180° - В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
- Сумма углов n-угольника
180°(n − 2)
Порядок действий
- Определите, какая конфигурация перед вами: смежные, вертикальные, треугольник.
- Выпишите известные углы.
- Примените подходящее соотношение.
- Найдите неизвестный угол вычитанием или делением.
- Проверьте: сумма углов треугольника обязана дать ровно 180.
Разбор примеров
- Сумма углов равна 180°.
- 50 + 60 = 110.
- 180 − 110 = 70.
- Смежные углы дают в сумме 180°.
- 180 − 130 = 50.
- На два равных угла остаётся 180 − 40 = 140.
- 140 : 2 = 70.
Где обычно ошибаются
- Считают сумму углов треугольника равной 360°.
- Путают смежные углы с вертикальными и приравнивают их.
- В равнобедренном треугольнике делят на два всю сумму 180 вместо остатка.
Углы многоугольника
Определения
- Выпуклый многоугольник
- Многоугольник, все внутренние углы которого меньше 180 градусов.
- Правильный многоугольник
- Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
- Внешний угол
- Угол, смежный с внутренним. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360 градусам.
Объяснение
Сумма внутренних углов многоугольника не зависит от его формы - только от количества сторон. Это удобно: формула работает и для правильного пятиугольника, и для произвольного.
Формулу выводят разбиением. Проведём из одной вершины все диагонали - многоугольник распадётся на треугольники, и их всегда n − 2. Каждый треугольник даёт 180 градусов, значит сумма всех углов равна 180(n − 2).
Проверим на известном: для треугольника n = 3, формула даёт 180 · 1 = 180 - верно. Для четырёхугольника 180 · 2 = 360 - тоже верно, это сумма углов любого четырёхугольника, не только прямоугольника.
У правильного многоугольника все углы равны, поэтому каждый угол равен всей сумме, делённой на количество углов: 180(n − 2)/n. Для правильного шестиугольника получаем 180 · 4 : 6 = 120 градусов.
Внешние углы устроены проще: их сумма всегда равна 360 градусам независимо от количества сторон. Отсюда внешний угол правильного n-угольника равен 360/n, а внутренний - 180 минус внешний. Это часто более быстрый путь.
Обратная задача - найти число сторон по углу - решается из той же формулы. Если каждый угол равен 150, то внешний равен 30, и число сторон равно 360 : 30 = 12. Проверить ответ можно подстановкой обратно в формулу суммы углов.
Правила и формулы
- Сумма внутренних углов
180°(n − 2) - Угол правильного многоугольника
180°(n − 2) / n - Сумма внешних углов всегда 360°
- Внешний угол правильного многоугольника
360° / n - Число сторон по внешнему углу
n = 360° / внешний угол
Порядок действий
- Определите количество сторон многоугольника.
- Посчитайте сумму внутренних углов по формуле 180(n − 2).
- Для правильного многоугольника разделите сумму на количество углов.
- Либо найдите внешний угол как 360/n и вычтите его из 180.
- Проверьте: у выпуклого многоугольника каждый угол меньше 180.
Разбор примеров
- n = 5.
- 180 · (5 − 2) = 180 · 3.
- Получается 540°.
- Сумма углов: 180 · 4 = 720°.
- Делим на шесть: 720 : 6 = 120°.
- Внешний угол: 180 − 150 = 30°.
- n = 360 : 30 = 12.
Где обычно ошибаются
- Умножают 180 на n вместо n − 2.
- Для правильного многоугольника забывают разделить сумму на количество углов.
- Считают сумму внешних углов зависящей от числа сторон.
Теорема Пифагора
Определения
- Гипотенуза
- Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. Всегда самая длинная сторона.
- Катеты
- Две стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
- Теорема Пифагора
- Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b².
Объяснение
Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника, позволяя найти любую из них по двум другим. Это самая используемая теорема школьной геометрии.
Формулировка: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Здесь важно, что гипотенуза - именно та сторона, что лежит против прямого угла, и она всегда длиннее каждого катета. Определить её на чертеже надо до подстановки в формулу.
Если ищут гипотенузу, катеты возводят в квадрат, складывают и извлекают корень: c = √(a² + b²). Для катетов 3 и 4 получаем √(9 + 16) = √25 = 5.
Если ищут катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета: a = √(c² − b²). Здесь именно вычитание, и порядок важен: из большего вычитают меньшее. Для гипотенузы 13 и катета 5 получаем √(169 − 25) = √144 = 12.
Полезно знать пифагоровы тройки - наборы целых чисел, удовлетворяющих теореме: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Узнав такую тройку, можно назвать ответ без вычислений. Кратные им тоже подходят: 6-8-10, 9-12-15.
Теорема применима только к прямоугольному треугольнику. Если прямого угла нет, формула не работает - там нужна теорема косинусов. Проверить, прямоугольный ли треугольник, можно обратной теоремой: если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, угол прямой.
Правила и формулы
- Теорема Пифагора
c² = a² + b² - Гипотенуза
c = √(a² + b²) - Катет
a = √(c² − b²) - Пифагоровы тройки
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 - Применима только к прямоугольному треугольнику
Порядок действий
- Убедитесь, что треугольник прямоугольный.
- Определите гипотенузу - она против прямого угла и самая длинная.
- Решите, что ищете: гипотенузу или катет.
- Для гипотенузы складывайте квадраты, для катета вычитайте.
- Извлеките корень и проверьте: гипотенуза обязана быть больше каждого катета.
Разбор примеров
- c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- c = √25 = 5.
- Это известная тройка 3-4-5.
- a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
- a = √144 = 12.
- c² = 36 + 64 = 100.
- c = 10.
- Это тройка 3-4-5, увеличенная вдвое.
Где обычно ошибаются
- Складывают квадраты, когда надо вычитать: ищут катет как гипотенузу.
- Принимают за гипотенузу не ту сторону.
- Применяют теорему к треугольнику без прямого угла.
Подобие фигур
Определения
- Подобные фигуры
- Фигуры одинаковой формы, но разного размера. Соответственные углы у них равны, а соответственные стороны пропорциональны.
- Коэффициент подобия
- Отношение соответственных сторон подобных фигур. Обозначается k.
Объяснение
Подобие - это изменение размера без изменения формы, как увеличение фотографии. Все углы сохраняются, а все длины умножаются на одно и то же число - коэффициент подобия.
Из определения сразу следует, как искать неизвестную сторону: составить пропорцию из соответственных сторон. Если стороны одного треугольника 3 и 5, а соответственная первой сторона второго равна 6, то коэффициент равен 2, и вторая сторона равна 10.
Главная тонкость темы - в том, что площади и объёмы меняются иначе, чем длины. Площадь растёт как квадрат коэффициента: если все стороны увеличить вдвое, площадь вырастет вчетверо. Объём растёт как куб: увеличение сторон вдвое даёт восьмикратный объём.
Понять это можно на квадрате. Сторона 2 даёт площадь 4, сторона 4 даёт площадь 16 - стороны выросли вдвое, площадь вчетверо. Никакой особой формулы тут нет, всё следует из того, что площадь есть произведение двух длин.
На практике это означает: увидев в задаче отношение площадей, надо извлечь корень, чтобы получить отношение сторон. Если площади относятся как 9 к 4, то стороны относятся как 3 к 2.
Определять соответственные стороны надо аккуратно: соответственными являются стороны, лежащие против равных углов. Составленная наугад пропорция даст неверный ответ даже при правильной технике решения.
Правила и формулы
- Соответственные стороны пропорциональны
a₁/a₂ = b₁/b₂ = k - Отношение площадей
S₁/S₂ = k² - Отношение объёмов
V₁/V₂ = k³ - От площадей к сторонам - извлечение корня
если S₁/S₂ = 9/4, то k = 3/2 - Соответственные стороны лежат против равных углов
Порядок действий
- Установите, какие стороны соответственные.
- Найдите коэффициент подобия как отношение известной пары сторон.
- Для стороны умножьте или разделите на коэффициент.
- Для площади возведите коэффициент в квадрат, для объёма - в куб.
- Проверьте: у большей фигуры все элементы больше.
Разбор примеров
- Коэффициент: 6 : 3 = 2.
- Умножаем: 5 · 2 = 10.
- Площадь растёт как квадрат коэффициента.
- 3² = 9.
- Отношение сторон - корень из отношения площадей.
- √(16/9) = 4/3.
Где обычно ошибаются
- Умножают площадь на коэффициент вместо его квадрата.
- Составляют пропорцию из несоответственных сторон.
- При переходе от площадей к сторонам забывают извлечь корень.
Объёмы тел
Определения
- Объём
- Величина, показывающая, сколько единичных кубов помещается в теле. Измеряется в кубических единицах: см³, м³.
- Прямоугольный параллелепипед
- Тело, все грани которого прямоугольники. Его объём равен произведению трёх измерений.
Объяснение
Объём измеряет вместимость тела. Смысл тот же, что у площади, только на единицу больше измерений: разобьём тело на единичные кубики и посчитаем их.
Для прямоугольного параллелепипеда получается V = a · b · c. В теле 4 на 3 на 2 умещается четыре ряда по три кубика в два слоя - всего 24 кубика. Отсюда и кубические единицы измерения: три длины перемножаются, и наименование возводится в куб.
У куба все рёбра равны, поэтому V = a³. Отсюда и название третьей степени: «куб числа» - это буквально объём куба с таким ребром.
Многие тела считаются по общему принципу: объём равен площади основания, умноженной на высоту. Это верно для призмы и цилиндра. Параллелепипед - частный случай призмы, где основание прямоугольник, и формула a · b · c получается сама.
Для пирамиды и конуса добавляется множитель одна треть: V = (1/3) · S · h. Множитель не случаен - объём пирамиды ровно втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и высотой. Это можно проверить, наполнив пирамидальный сосуд водой трижды.
Единицы обязаны совпадать, а коэффициент перевода для объёма возводится в куб: в кубическом метре миллион кубических сантиметров. Ошибка здесь даёт ответ в тысячу раз неверный, поэтому проверять наименования особенно важно.
Правила и формулы
- Прямоугольный параллелепипед
V = a · b · c - Куб
V = a³ - Призма и цилиндр
V = S · h - Пирамида и конус
V = (1/3) · S · h - Измеряется в кубических единицах
1 м³ = 1 000 000 см³
Порядок действий
- Определите вид тела.
- Приведите все размеры к одной единице измерения.
- Для призматических тел найдите площадь основания и умножьте на высоту.
- Для пирамиды и конуса добавьте множитель одна треть.
- Запишите ответ в кубических единицах.
Разбор примеров
- Формула: V = a · b · c.
- 4 · 3 = 12.
- 12 · 2 = 24.
- V = a³.
- 5³ = 125.
- Формула: V = S · h.
- 12 · 7 = 84.
Где обычно ошибаются
- Записывают ответ в квадратных единицах вместо кубических.
- Для пирамиды забывают множитель одна треть.
- При переводе единиц объёма возводят коэффициент в квадрат вместо куба.
Площадь поверхности тел
Определения
- Площадь полной поверхности
- Сумма площадей всех граней или поверхностей тела. Измеряется в квадратных единицах.
- Площадь боковой поверхности
- Сумма площадей боковых граней без оснований.
- Развёртка
- Плоская фигура, получаемая разрезанием поверхности тела и разворачиванием её на плоскость.
Объяснение
Площадь поверхности - это площадь оболочки тела, то, сколько краски уйдёт на покраску или бумаги на оклейку. В отличие от объёма, она измеряется в квадратных единицах.
Самый надёжный способ понять формулу - представить развёртку. Разрежьте коробку и разложите на плоскости: получится набор прямоугольников, и площадь поверхности равна сумме их площадей. Никаких формул при этом запоминать не нужно.
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней, попарно равных. Отсюда S = 2(ab + bc + ac): три разные грани, каждая по два раза. У куба все шесть граней одинаковы, поэтому S = 6a².
Различают полную и боковую поверхность. Полная включает основания, боковая - нет. В задачах про бак без крышки или про стены комнаты нужна именно частичная поверхность, и надо внимательно читать условие.
У цилиндра развёртка боковой поверхности - прямоугольник, одна сторона которого равна высоте, а другая - длине окружности основания. Отсюда боковая поверхность равна 2πRh, а полная включает ещё два круга: 2πR² + 2πRh.
Проверять полезно по смыслу: площадь поверхности растёт как квадрат размеров, а объём как куб. Если тело увеличили вдвое, поверхность выросла вчетверо, а объём - в восемь раз. Это же соображение помогает быстро прикинуть, правдоподобен ли ответ.
Правила и формулы
- Параллелепипед
S = 2(ab + bc + ac) - Куб
S = 6a² - Боковая поверхность цилиндра
S = 2πRh - Полная поверхность цилиндра
S = 2πR² + 2πRh - Развёртка помогает восстановить любую формулу
Порядок действий
- Определите вид тела и мысленно разверните его поверхность.
- Прочитайте условие: нужна полная поверхность или боковая.
- Найдите площадь каждой части развёртки.
- Сложите все площади с учётом количества одинаковых граней.
- Запишите ответ в квадратных единицах.
Разбор примеров
- Шесть одинаковых граней.
- Площадь одной: 4² = 16.
- 6 · 16 = 96.
- Формула: S = 2(ab + bc + ac).
- ab = 12, bc = 20, ac = 15.
- Сумма 47, удваиваем: 94.
- Формула: S = 2πRh.
- 2 · π · 3 · 5 = 30π.
Где обычно ошибаются
- Считают полную поверхность там, где нужна боковая.
- У параллелепипеда забывают удвоить сумму площадей граней.
- Записывают ответ в кубических единицах.
Пример с решением
- P = 2 · (a + b)
- P = 2 · (6 + 6) = 2 · 12
- P = 24 м
- P = a + b + c
- P = 14 + 7 + 13 = 34 см
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.