Параллелограмм, ромб, трапеция: как решать

Найти площадь параллелограмма, ромба или трапеции.

Определения

Параллелограмм: Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.
Ромб: Параллелограмм, у которого все стороны равны. Его диагонали пересекаются под прямым углом.
Трапеция: Четырёхугольник, у которого ровно две стороны параллельны. Эти стороны называют основаниями.

Объяснение

Площади всех этих фигур сводятся к площади прямоугольника - надо только увидеть, каким преобразованием.

Параллелограмм превращается в прямоугольник переносом треугольника: отрежем треугольник с одного края и приставим к другому. Основание и высота при этом не меняются, значит S = a · h, где h - высота, а не боковая сторона. Это ключевое отличие от прямоугольника: перемножать надо сторону и высоту, а не две стороны.

Для ромба работает та же формула, но чаще удобнее считать через диагонали: S = (d₁ · d₂)/2. Формула верна потому, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника, которые складываются в прямоугольник со сторонами, равными диагоналям, вдвое большей площади.

Трапецию превращают в прямоугольник, взяв среднюю линию: её длина равна полусумме оснований. Площадь равна произведению средней линии на высоту, что то же самое, что S = (a + b)/2 · h.

Смысл этой формулы понятен: если бы основания были равны, вышел бы параллелограмм с площадью a · h. Раз основания разные, берут их среднее значение - и результат оказывается точно верным.

Во всех формулах высота - это расстояние между параллельными сторонами, перпендикуляр. Боковая сторона трапеции или параллелограмма высотой не является, если она не перпендикулярна основанию. Подстановка боковой стороны вместо высоты - самая частая ошибка темы.

Правила и формулы

ПараллелограммS = a · h
Ромб через диагоналиS = (d₁ · d₂) / 2
ТрапецияS = (a + b)/2 · h
Высота - перпендикуляр между параллельными сторонами
Боковая сторона высотой не является

Порядок действий

Определите вид четырёхугольника.
Найдите, что дано: стороны, высота или диагонали.
Выберите подходящую формулу.
Убедитесь, что подставляете именно высоту, а не боковую сторону.
Вычислите и запишите ответ в квадратных единицах.

Разбор примеров

Параллелограмм: сторона 10, высота 6

Формула: S = a · h.
10 · 6 = 60.

Ответ: 60

Ромб с диагоналями 8 и 6

Формула через диагонали: S = (d₁ · d₂)/2.
8 · 6 = 48.
48 : 2 = 24.

Ответ: 24

Трапеция: основания 5 и 9, высота 4

Полусумма оснований: (5 + 9)/2 = 7.
Умножаем на высоту: 7 · 4 = 28.

Ответ: 28

Где обычно ошибаются

В параллелограмме перемножают две смежные стороны.
В трапеции складывают основания, но забывают разделить пополам.
Подставляют боковую сторону вместо высоты.

Примеры с решением

1. Основание параллелограмма равно 16 дм, а высота, проведённая к нему, — 8 дм. Найдите площадь параллелограмма.

S = a · h
S = 16 · 8 = 128 дм²

Ответ: 128

2. Основание параллелограмма равно 6 дм, а высота, проведённая к нему, — 8 дм. Найдите площадь параллелограмма.

S = a · h
S = 6 · 8 = 48 дм²

Ответ: 48

3. Диагонали ромба равны 6 см и 19 см. Найдите его площадь.

S = (d₁ · d₂) : 2
S = (6 · 19) : 2 = 114 : 2
S = 57 см²

Ответ: 57

4. Основания трапеции равны 5 м и 3 м, а высота — 13 м. Найдите площадь трапеции.

S = ((a + b) : 2) · h
S = ((5 + 3) : 2) · 13 = 4 · 13
S = 52 м²

Ответ: 52

5. Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а высота — 9 см. Найдите площадь трапеции.

S = ((a + b) : 2) · h
S = ((7 + 15) : 2) · 9 = 11 · 9
S = 99 см²

Ответ: 99

Подсказки, если не получается

Высота — перпендикуляр к основанию, не боковая сторона.
S = a · h
16 · 8 = ?

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.