Углы многоугольника: как решать

Найти углы многоугольника.

Определения

Выпуклый многоугольник: Многоугольник, все внутренние углы которого меньше 180 градусов.
Правильный многоугольник: Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Внешний угол: Угол, смежный с внутренним. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360 градусам.

Объяснение

Сумма внутренних углов многоугольника не зависит от его формы - только от количества сторон. Это удобно: формула работает и для правильного пятиугольника, и для произвольного.

Формулу выводят разбиением. Проведём из одной вершины все диагонали - многоугольник распадётся на треугольники, и их всегда n − 2. Каждый треугольник даёт 180 градусов, значит сумма всех углов равна 180(n − 2).

Проверим на известном: для треугольника n = 3, формула даёт 180 · 1 = 180 - верно. Для четырёхугольника 180 · 2 = 360 - тоже верно, это сумма углов любого четырёхугольника, не только прямоугольника.

У правильного многоугольника все углы равны, поэтому каждый угол равен всей сумме, делённой на количество углов: 180(n − 2)/n. Для правильного шестиугольника получаем 180 · 4 : 6 = 120 градусов.

Внешние углы устроены проще: их сумма всегда равна 360 градусам независимо от количества сторон. Отсюда внешний угол правильного n-угольника равен 360/n, а внутренний - 180 минус внешний. Это часто более быстрый путь.

Обратная задача - найти число сторон по углу - решается из той же формулы. Если каждый угол равен 150, то внешний равен 30, и число сторон равно 360 : 30 = 12. Проверить ответ можно подстановкой обратно в формулу суммы углов.

Правила и формулы

Сумма внутренних углов180°(n − 2)
Угол правильного многоугольника180°(n − 2) / n
Сумма внешних углов всегда 360°
Внешний угол правильного многоугольника360° / n
Число сторон по внешнему углуn = 360° / внешний угол

Порядок действий

Определите количество сторон многоугольника.
Посчитайте сумму внутренних углов по формуле 180(n − 2).
Для правильного многоугольника разделите сумму на количество углов.
Либо найдите внешний угол как 360/n и вычтите его из 180.
Проверьте: у выпуклого многоугольника каждый угол меньше 180.

Разбор примеров

Сумма углов пятиугольника

n = 5.
180 · (5 − 2) = 180 · 3.
Получается 540°.

Ответ: 540°

Угол правильного шестиугольника

Сумма углов: 180 · 4 = 720°.
Делим на шесть: 720 : 6 = 120°.

Ответ: 120°

Угол правильного многоугольника 150°. Сколько сторон?

Внешний угол: 180 − 150 = 30°.
n = 360 : 30 = 12.

Ответ: 12

Где обычно ошибаются

Умножают 180 на n вместо n − 2.
Для правильного многоугольника забывают разделить сумму на количество углов.
Считают сумму внешних углов зависящей от числа сторон.

Примеры с решением

1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.

Сумма углов = (n − 2) · 180°
(13 − 2) · 180° = 11 · 180°
= 1980°

Ответ: 1980

2. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.

Сумма углов = (n − 2) · 180°
(7 − 2) · 180° = 5 · 180°
= 900°

Ответ: 900

3. Найдите сумму углов выпуклого одиннадцатиугольника.

Сумма углов = (n − 2) · 180°
(11 − 2) · 180° = 9 · 180°
= 1620°

Ответ: 1620

4. Сумма углов выпуклого многоугольника равна 360°. Сколько у него сторон?

(n − 2) · 180° = 360°
n − 2 = 360 : 180 = 2
n = 2 + 2 = 4

Ответ: 4

5. Найдите сумму углов выпуклого двадцатиугольника.

Сумма углов = (n − 2) · 180°
(20 − 2) · 180° = 18 · 180°
= 3240°

Ответ: 3240

Подсказки, если не получается

Из одной вершины проведи все диагонали.
Получится 11 треугольников.
Сумма углов каждого треугольника равна 180°.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.