Площадь поверхности тел: как решать

Найти площадь поверхности тела.

Определения

Площадь полной поверхности: Сумма площадей всех граней или поверхностей тела. Измеряется в квадратных единицах.
Площадь боковой поверхности: Сумма площадей боковых граней без оснований.
Развёртка: Плоская фигура, получаемая разрезанием поверхности тела и разворачиванием её на плоскость.

Объяснение

Площадь поверхности - это площадь оболочки тела, то, сколько краски уйдёт на покраску или бумаги на оклейку. В отличие от объёма, она измеряется в квадратных единицах.

Самый надёжный способ понять формулу - представить развёртку. Разрежьте коробку и разложите на плоскости: получится набор прямоугольников, и площадь поверхности равна сумме их площадей. Никаких формул при этом запоминать не нужно.

У прямоугольного параллелепипеда шесть граней, попарно равных. Отсюда S = 2(ab + bc + ac): три разные грани, каждая по два раза. У куба все шесть граней одинаковы, поэтому S = 6a².

Различают полную и боковую поверхность. Полная включает основания, боковая - нет. В задачах про бак без крышки или про стены комнаты нужна именно частичная поверхность, и надо внимательно читать условие.

У цилиндра развёртка боковой поверхности - прямоугольник, одна сторона которого равна высоте, а другая - длине окружности основания. Отсюда боковая поверхность равна 2πRh, а полная включает ещё два круга: 2πR² + 2πRh.

Проверять полезно по смыслу: площадь поверхности растёт как квадрат размеров, а объём как куб. Если тело увеличили вдвое, поверхность выросла вчетверо, а объём - в восемь раз. Это же соображение помогает быстро прикинуть, правдоподобен ли ответ.

Правила и формулы

ПараллелепипедS = 2(ab + bc + ac)
КубS = 6a²
Боковая поверхность цилиндраS = 2πRh
Полная поверхность цилиндраS = 2πR² + 2πRh
Развёртка помогает восстановить любую формулу

Порядок действий

Определите вид тела и мысленно разверните его поверхность.
Прочитайте условие: нужна полная поверхность или боковая.
Найдите площадь каждой части развёртки.
Сложите все площади с учётом количества одинаковых граней.
Запишите ответ в квадратных единицах.

Разбор примеров

Куб с ребром 4

Шесть одинаковых граней.
Площадь одной: 4² = 16.
6 · 16 = 96.

Ответ: 96

Параллелепипед 3 × 4 × 5

Формула: S = 2(ab + bc + ac).
ab = 12, bc = 20, ac = 15.
Сумма 47, удваиваем: 94.

Ответ: 94

Цилиндр: радиус 3, высота 5. Боковая поверхность.

Формула: S = 2πRh.
2 · π · 3 · 5 = 30π.

Ответ: 30π

Где обычно ошибаются

Считают полную поверхность там, где нужна боковая.
У параллелепипеда забывают удвоить сумму площадей граней.
Записывают ответ в кубических единицах.

Примеры с решением

1. Ребро куба равно 10 см. Найдите площадь его полной поверхности.

S = 6a²
a² = 10² = 100
S = 6 · 100 = 600 см²

Ответ: 600

2. Ребро куба равно 7 см. Найдите площадь его полной поверхности.

S = 6a²
a² = 7² = 49
S = 6 · 49 = 294 см²

Ответ: 294

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 9 см и 4 см. Найдите площадь его полной поверхности.

S = 2(ab + bc + ac)
ab = 36, bc = 36, ac = 16
S = 2 · 88 = 176 см²

Ответ: 176

4. Ребро куба равно 4 м. Найдите площадь его полной поверхности.

S = 6a²
a² = 4² = 16
S = 6 · 16 = 96 м²

Ответ: 96

5. Ребро куба равно 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.

S = 6a²
a² = 8² = 64
S = 6 · 64 = 384 см²

Ответ: 384

Подсказки, если не получается

У куба 6 одинаковых граней.
Каждая грань — квадрат со стороной a.
6 · 10² = ?

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.