Площадь треугольника: как решать

Найти площадь треугольника.

Определения

Высота треугольника: Перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или на её продолжение.
Основание: Сторона, к которой проведена высота. Любая сторона может быть основанием - высота выбирается соответствующая.

Объяснение

Формула площади треугольника выводится из площади прямоугольника, и понимание вывода избавляет от необходимости запоминать множитель одна вторая.

Достроим треугольник до параллелограмма, приложив к нему такой же перевёрнутый треугольник. Получится фигура с тем же основанием и той же высотой, площадь которой равна произведению основания на высоту. Наш треугольник составляет ровно половину этой фигуры, значит его площадь равна половине произведения.

Отсюда S = (a · h) / 2, где a - основание, h - высота, проведённая именно к этому основанию. Соответствие между основанием и высотой обязательно: нельзя взять одну сторону и высоту, проведённую к другой.

У прямоугольного треугольника катеты сами являются высотой и основанием друг для друга, поэтому его площадь равна половине произведения катетов. Отдельную высоту искать не нужно.

Высота не всегда лежит внутри треугольника. В тупоугольном треугольнике высота к некоторым сторонам падает на продолжение стороны, вне фигуры. Формула при этом не меняется - меняется только чертёж.

Есть и другие формулы площади: через две стороны и угол между ними, через полупериметр по формуле Герона. Они нужны, когда высота неизвестна и находить её неудобно. Но в школьных задачах базовой остаётся половина произведения основания на высоту.

Правила и формулы

Площадь треугольникаS = (a · h) / 2
Высота проводится к тому основанию, которое берут в формулу
Прямоугольный треугольникS = (катет · катет) / 2
Через две стороны и уголS = (1/2) · a · b · sin C
Высота может падать вне треугольника

Порядок действий

Определите, какая сторона взята за основание.
Найдите высоту, проведённую именно к этому основанию.
Перемножьте основание и высоту.
Разделите произведение пополам.
Запишите ответ в квадратных единицах.

Разбор примеров

Основание 8 см, высота 5 см

Формула: S = (a · h)/2.
8 · 5 = 40.
40 : 2 = 20.

Ответ: 20 см²

Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8

Катеты служат основанием и высотой друг другу.
6 · 8 = 48.
48 : 2 = 24.

Ответ: 24

Площадь 30 см², основание 12 см. Найти высоту.

Из формулы: h = 2S : a.
2 · 30 = 60.
60 : 12 = 5.

Ответ: 5 см

Где обычно ошибаются

Забывают разделить произведение пополам.
Берут высоту, проведённую не к тому основанию.
В прямоугольном треугольнике перемножают гипотенузу с катетом.

Примеры с решением

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 6 см. Найдите его площадь.

S = ½ · a · b
S = ½ · 3 · 6 = 18 : 2
S = 9 см²

Ответ: 9

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 4 см. Найдите его площадь.

S = ½ · a · b
S = ½ · 15 · 4 = 60 : 2
S = 30 см²

Ответ: 30

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 16 см. Найдите его площадь.

S = ½ · a · b
S = ½ · 7 · 16 = 112 : 2
S = 56 см²

Ответ: 56

4. Основание треугольника равно 5 см, а высота, проведённая к нему, — 6 см. Найдите площадь треугольника.

S = ½ · a · h
S = ½ · 5 · 6 = 30 : 2
S = 15 см²

Ответ: 15

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 м и 14 м. Найдите его площадь.

S = ½ · a · b
S = ½ · 5 · 14 = 70 : 2
S = 35 м²

Ответ: 35

Подсказки, если не получается

Один катет считай основанием, другой — высотой.
S = (a · b) : 2
(3 · 6) : 2 = ?

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.