Углы: как решать

Найти неизвестный угол.

Определения

Смежные углы: Два угла с общей стороной, другие стороны которых образуют прямую. В сумме дают 180 градусов.
Вертикальные углы: Два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
Сумма углов треугольника: Сумма всех внутренних углов любого треугольника равна 180 градусам.

Объяснение

Задачи на углы решаются не вычислениями, а узнаванием конфигураций. Основных соотношений немного, и почти любая задача сводится к одному-двум из них.

Смежные углы дополняют друг друга до развёрнутого, то есть до 180 градусов. Если один угол 130, смежный ему равен 50. Это соотношение используют постоянно, когда угол задан снаружи фигуры.

Вертикальные углы равны. Это следует из смежности: оба они дополняют один и тот же угол до 180, значит равны между собой. Понимание вывода полезнее запоминания: оно позволяет восстановить факт, если он забылся.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам - главный инструмент темы. Зная два угла, третий находят вычитанием из 180. У прямоугольного треугольника один угол уже 90, значит два острых в сумме дают 90.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Это позволяет решать задачи, где известен только один угол: если угол при вершине 40, то на два угла при основании остаётся 140, и каждый равен 70.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180(n − 2) градусов. Формула получается разбиением многоугольника на треугольники диагоналями из одной вершины: их всегда n − 2. Для четырёхугольника это даёт 360 градусов - факт, который приходится применять постоянно.

Правила и формулы

Смежные углыα + β = 180°
Вертикальные углы равны
Сумма углов треугольникаα + β + γ = 180°
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
Сумма углов n-угольника180°(n − 2)

Порядок действий

Определите, какая конфигурация перед вами: смежные, вертикальные, треугольник.
Выпишите известные углы.
Примените подходящее соотношение.
Найдите неизвестный угол вычитанием или делением.
Проверьте: сумма углов треугольника обязана дать ровно 180.

Разбор примеров

В треугольнике два угла 50° и 60°. Найти третий.

Сумма углов равна 180°.
50 + 60 = 110.
180 − 110 = 70.

Ответ: 70°

Один из смежных углов 130°. Найти второй.

Смежные углы дают в сумме 180°.
180 − 130 = 50.

Ответ: 50°

В равнобедренном треугольнике угол при вершине 40°. Найти углы при основании.

На два равных угла остаётся 180 − 40 = 140.
140 : 2 = 70.

Ответ: по 70°

Где обычно ошибаются

Считают сумму углов треугольника равной 360°.
Путают смежные углы с вертикальными и приравнивают их.
В равнобедренном треугольнике делят на два всю сумму 180 вместо остатка.

Примеры с решением

1. Один из вертикальных углов равен 76°. Найдите второй угол.

Вертикальные углы равны между собой.
∠2 = ∠1 = 76°

Ответ: 76

2. Два угла треугольника равны 90° и 30°. Найдите третий угол.

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
90° + 30° = 120°
180° − 120° = 60°

Ответ: 60

3. Один из смежных углов равен 96°. Найдите второй угол.

∠1 + ∠2 = 180°
180° − 96° = 84°

Ответ: 84

4. Один из вертикальных углов равен 64°. Найдите второй угол.

Вертикальные углы равны между собой.
∠2 = ∠1 = 64°

Ответ: 64

5. Один из смежных углов равен 84°. Найдите второй угол.

∠1 + ∠2 = 180°
180° − 84° = 96°

Ответ: 96

Подсказки, если не получается

Вертикальные углы лежат напротив друг друга при пересечении прямых.
Между собой они равны.
Ответ — то же число: 76.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Планиметрия и объёмы»

Полная справка по разделу — на странице Планиметрия и объёмы.