Квадратные корни до 100: как решать

Извлечь квадратный корень и выполнить действие с корнями.

Определения

Квадратный корень

Число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Арифметический квадратный корень из 49 равен 7, потому что 7² = 49 и семёрка неотрицательна.

Подкоренное выражение

То, что стоит под знаком корня. Для квадратного корня оно обязано быть неотрицательным.

Точный квадрат

Число, являющееся квадратом целого: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Корень из него извлекается нацело.

Объяснение

Извлечение корня - действие, обратное возведению в квадрат. Вопрос «чему равен корень из 49» означает «какое неотрицательное число в квадрате даёт 49». Ответ 7, потому что 7² = 49.

Слово «неотрицательное» в определении не формальность. Квадрат даёт 49 и у семёрки, и у минус семёрки, но арифметическим корнем договорились называть только неотрицательное значение. Поэтому √49 равно 7, а не «плюс-минус семь». Два знака появляются при решении уравнения x² = 49, и это другая задача.

Под корнем не может стоять отрицательное число: нет такого действительного числа, квадрат которого отрицателен. Запись √(−9) в школьном курсе не имеет смысла, и если она возникла по ходу решения, значит где-то ошибка.

Квадраты чисел до десяти нужно знать наизусть - тогда корни из точных квадратов узнаются мгновенно. Это 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Увидев под корнем одно из этих чисел, вы сразу называете ответ, не подбирая.

Если под корнем не точный квадрат, корень остаётся в ответе как есть - это нормальное число, просто иррациональное. Записывать √2 как 1,41 можно только когда задача просит приближение; в точном ответе корень оставляют.

Корень из произведения равен произведению корней, и это свойство постоянно используют для упрощения: √(4 · 25) = √4 · √25 = 2 · 5 = 10. А вот для суммы такого свойства нет: √(9 + 16) равно 5, а не 3 + 4 = 7.

Правила и формулы

• Определение корня√a = b означает b ≥ 0 и b² = a
• Подкоренное выражение неотрицательно√(−9) не существует
• Арифметический корень неотрицателен√49 = 7, а не ±7
• Корень из произведения√(ab) = √a · √b
• Для суммы такого свойства нет√(9 + 16) = 5, а не 3 + 4

Порядок действий

1. Проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно.
2. Посмотрите, не является ли оно точным квадратом.
3. Если да, назовите корень сразу по таблице квадратов.
4. Если нет, попробуйте разложить на множители и вынести точный квадрат.
5. Оставьте корень в ответе, если он не извлекается нацело.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Пишут √49 = ±7. Арифметический корень только неотрицательный.
• Применяют к сумме свойство произведения: считают √(9 + 16) как 7.
• Извлекают корень из отрицательного числа.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Ищем число, квадрат которого равен подкоренному.
• Какое число в квадрате даёт 25?
• Проверь: 5 · 5 = 25.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени и корни»

• Степени чисел до 10
• Степени чисел до 20
• Квадратные корни до 1000
• Свойства степеней
• Степень с целым показателем
• Стандартный вид числа
• Свойства квадратных корней
• Вынесение множителя из корня
• Степени и корни вместе

Полная справка по разделу — на странице Степени и корни.