Степени чисел до 10: как решать

Возвести число в степень.

Определения

Степень

Произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a взято множителем n раз.

Основание степени

Число, которое умножают само на себя. В записи 3⁴ основание равно 3.

Показатель степени

Число, показывающее, сколько раз берут множитель. В записи 3⁴ показатель равен 4.

Объяснение

Степень придумали ровно затем же, зачем умножение: чтобы не писать длинных однообразных записей. Умножение сокращает сложение одинаковых слагаемых, степень сокращает умножение одинаковых множителей. Запись 3⁴ короче и понятнее, чем 3 · 3 · 3 · 3.

Читают запись так: «три в четвёртой степени». Число внизу - основание, оно повторяется множителем; число вверху - показатель, он говорит, сколько раз повторить. Путать их нельзя: 3⁴ равно 81, а 4³ равно 64 - это разные числа.

Вторую степень называют квадратом, третью - кубом. Названия пришли из геометрии: площадь квадрата со стороной a равна a², объём куба с ребром a равен a³. Отсюда же и обозначения единиц - квадратные и кубические метры.

Особые случаи стоит запомнить отдельно, они выпадают из общей схемы. Любое число в первой степени равно самому себе. Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице. Единица в любой степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю.

Знак степени отрицательного числа определяется чётностью показателя. Если показатель чётный, минусы разбиваются на пары и произведение положительно: (−2)⁴ = 16. Если нечётный, один минус остаётся без пары: (−2)³ = −8.

Отдельно надо следить за скобками. Запись (−2)² означает, что в квадрат возводят минус два, и результат равен 4. Запись −2² означает, что в квадрат возводят двойку, а минус остаётся снаружи, и результат равен −4. Это разные выражения, и разница здесь не в оформлении, а в ответе.

Правила и формулы

• Степень - произведение одинаковых множителейaⁿ = a · a · … · a (n раз)
• Первая степеньa¹ = a
• Нулевая степеньa⁰ = 1 при a ≠ 0
• Знак степени отрицательного числа(−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8
• Скобки решают всё(−2)² = 4, а −2² = −4

Порядок действий

1. Определите основание и показатель.
2. Проверьте, есть ли скобки у отрицательного основания.
3. Определите знак результата по чётности показателя.
4. Перемножьте модуль основания сам на себя нужное число раз.
5. Поставьте знак к полученному числу.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Умножают основание на показатель: считают 3⁴ как 12.
• Путают основание с показателем: 3⁴ и 4³ дают разные числа.
• Не различают (−2)² и −2².

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Показатель 3 значит: умножь 7 само на себя 3 раза.
• Запиши как 7 · 7 · 7.
• Перемножай по очереди слева направо.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени и корни»

• Степени чисел до 20
• Квадратные корни до 100
• Квадратные корни до 1000
• Свойства степеней
• Степень с целым показателем
• Стандартный вид числа
• Свойства квадратных корней
• Вынесение множителя из корня
• Степени и корни вместе

Полная справка по разделу — на странице Степени и корни.