Степени и корни вместе: как решать

Вычислить выражение со степенями и корнями.

Определения

Порядок действий со степенями

Возведение в степень и извлечение корня выполняются раньше умножения и деления, но позже действий в скобках.

Объяснение

В смешанных выражениях со степенями и корнями главное - порядок действий. Возведение в степень и извлечение корня относятся к третьей ступени: они выполняются раньше умножения и деления, но позже скобок.

Значит, в выражении 2 · 3² сначала возводят тройку в квадрат, а потом умножают: 2 · 9 = 18. Ответ 36, полученный умножением сначала, - типичная ошибка невнимательности.

Корень работает как скобка: подкоренное выражение вычисляют целиком, прежде чем извлекать корень. В записи √(16 + 9) сначала складывают, получают 25, и только потом извлекают корень - выходит 5, а не 4 + 3.

Часто выражение упрощается, если заметить точные квадраты и известные степени. Увидев √144, полезно сразу сказать 12, не раскладывая. Для этого стоит держать в памяти квадраты до двадцати и степени двойки до 2¹⁰ = 1024 - они встречаются постоянно.

Со знаками надо быть особенно внимательным. Выражение (−3)² равно 9, а −3² равно −9. Если такое выражение стоит внутри более длинного примера, ошибка в знаке пройдёт дальше и испортит весь ответ.

Проверять полезно прикидкой: корень из числа между 100 и 144 лежит между 10 и 12, степень двойки растёт быстро. Ответ, выпадающий из разумных границ, обычно означает перепутанный порядок действий.

Правила и формулы

• Степень и корень выполняются раньше умножения2 · 3² = 2 · 9 = 18
• Подкоренное выражение вычисляют целиком√(16 + 9) = √25 = 5
• Скобки идут первыми
• Знак зависит от скобок(−3)² = 9, −3² = −9
• Полезно знать степени двойки2⁵ = 32, 2¹⁰ = 1024

Порядок действий

1. Найдите все скобки и подкоренные выражения.
2. Вычислите их содержимое целиком.
3. Выполните возведение в степень и извлечение корня.
4. Затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
5. Проверьте знаки и прикиньте разумность ответа.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Умножают до возведения в степень: считают 2 · 3² как 36.
• Извлекают корень из слагаемых по отдельности.
• Теряют скобки у отрицательного основания.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Корень и степень — действия первой ступени, они раньше умножения.
• Найди √25 и 5^2.
• Перемножь 5 и 25.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени и корни»

• Степени чисел до 10
• Степени чисел до 20
• Квадратные корни до 100
• Квадратные корни до 1000
• Свойства степеней
• Степень с целым показателем
• Стандартный вид числа
• Свойства квадратных корней
• Вынесение множителя из корня

Полная справка по разделу — на странице Степени и корни.