Степени чисел до 20: как решать
Возвести в степень число второго десятка.
Определения
- Квадрат числа
- Вторая степень числа: 13² = 169. Квадраты чисел до двадцати полезно знать наизусть.
- Формула квадрата суммы
- Тождество (a + b)² = a² + 2ab + b², позволяющее считать квадраты двузначных чисел устно.
Объяснение
Квадраты чисел второго десятка встречаются постоянно: в теореме Пифагора, при разложении на множители, в задачах на площади. Считать их каждый раз столбиком долго, поэтому имеет смысл либо выучить, либо освоить быстрый устный приём.
Приём опирается на формулу квадрата суммы. Число 13 - это 10 + 3, значит 13² = (10 + 3)² = 100 + 2 · 10 · 3 + 9 = 100 + 60 + 9 = 169. Все три слагаемых считаются устно, и никакого столбика не требуется.
Формула не случайна и не является отдельным правилом для двузначных чисел. Она выводится раскрытием скобок: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Средний член удваивается потому, что произведение ab встречается дважды.
Для чисел, оканчивающихся на 5, есть ещё более короткий приём: десятки умножают на следующее число и приписывают 25. Для 15² берём 1 · 2 = 2 и приписываем 25 - получается 225. Для 25²: 2 · 3 = 6 и 25, то есть 625.
Кубы чисел второго десятка считают через квадрат: сначала находят квадрат, потом умножают ещё раз на основание. Для 12³ сначала 12² = 144, затем 144 · 12 = 1728. Пытаться сразу перемножить три числа в уме сложнее и ошибочнее.
Полезно помнить квадраты хотя бы до 15: 121, 144, 169, 196, 225. Они встречаются в ответах задач так часто, что узнавание их сразу экономит время - например, увидев под корнем 196, вы сразу говорите 14.
Правила и формулы
- Квадрат суммы
(a + b)² = a² + 2ab + b² - Квадрат числа второго десятка
13² = 100 + 2 · 10 · 3 + 9 = 169 - Числа на 5
15² = 1 · 2 и 25 → 225 - Куб через квадрат
12³ = 12² · 12 = 144 · 12 = 1728 - Полезно знать наизусть
11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225
Порядок действий
- Разложите число на десяток и единицы.
- Возведите в квадрат десяток и единицы отдельно.
- Найдите удвоенное произведение частей.
- Сложите три полученных числа.
- Для куба умножьте найденный квадрат ещё раз на основание.
Разбор примеров
- Раскладываем: 13 = 10 + 3.
- Квадраты частей: 100 и 9.
- Удвоенное произведение: 2 · 10 · 3 = 60.
- 100 + 60 + 9 = 169
- Число оканчивается на 5.
- Десятки: 1, следующее число 2, произведение 2.
- Приписываем 25.
- Сначала квадрат: 12² = 144.
- Умножаем ещё раз: 144 · 12.
- 144 · 10 = 1440, 144 · 2 = 288, вместе 1728.
Где обычно ошибаются
- В формуле квадрата суммы забывают удвоить средний член.
- Считают, что (a + b)² равно a² + b².
- При возведении в куб умножают квадрат на два вместо основания.
Примеры с решением
- 14^2 = 14 · 14
- = 196
- 12^2 = 12 · 12
- = 144
- 4^4 = 4 · 4 · 4 · 4
- = 256
- 5^2 = 5 · 5
- = 25
- 11^2 = 11 · 11
- = 121
Подсказки, если не получается
- Показатель 2 значит: умножь 14 само на себя 2 раза.
- Запиши как 14 · 14.
- Перемножай по очереди слева направо.
Другие темы раздела «Степени и корни»
- Степени чисел до 10
- Квадратные корни до 100
- Квадратные корни до 1000
- Свойства степеней
- Степень с целым показателем
- Стандартный вид числа
- Свойства квадратных корней
- Вынесение множителя из корня
- Степени и корни вместе
Полная справка по разделу — на странице Степени и корни.