Свойства степеней: как решать

Применить свойства степеней.

Определения

Свойства степеней: Правила, позволяющие упрощать выражения со степенями без вычисления самих степеней: при умножении показатели складывают, при делении вычитают, при возведении степени в степень перемножают.

Объяснение

Свойства степеней не нужно запоминать как список - каждое из них выводится за одну строчку из определения степени, и понимание вывода надёжнее зубрёжки.

Умножение: a³ · a² - это (a · a · a) · (a · a), то есть пять множителей a, то есть a⁵. Показатели сложились, потому что множители просто встали в одну цепочку. Отсюда правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.

Деление: a⁵ : a² - это пять множителей, делённые на два, и два из них сокращаются, остаётся три. Показатели вычитаются. Именно из этого правила потом получаются нулевые и отрицательные показатели: a³ : a³ даёт a⁰, а результат деления числа само на себя равен единице.

Возведение степени в степень: (a²)³ - это a² · a² · a², то есть шесть множителей a. Показатели перемножились. Здесь особенно легко перепутать со сложением, поэтому стоит держать в голове именно вывод.

Отдельное свойство относится к произведению в степени: (ab)³ = a³b³. Каждый множитель возводится в степень. То же для дроби: (a/b)³ = a³/b³. А вот для суммы такого свойства нет - (a + b)² не равно a² + b², и это одна из самых устойчивых ошибок в алгебре.

Условие «одинаковое основание» существенно. Выражение 2³ · 3² упростить сложением показателей нельзя - основания разные. Здесь остаётся только посчитать: 8 · 9 = 72.

Правила и формулы

Умножение степенейaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Деление степенейaᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Степень степени(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Степень произведения и дроби(ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Для суммы свойства нет(a + b)² ≠ a² + b²

Порядок действий

Проверьте, одинаковые ли основания у степеней.
При умножении сложите показатели, при делении вычтите.
При возведении степени в степень перемножьте показатели.
Степень произведения распределите по каждому множителю.
Если основания разные, вычислите степени и перемножьте числа.

Разбор примеров

a³ · a⁵

Основания одинаковые.
При умножении показатели складываем: 3 + 5 = 8.

Ответ: a⁸

(a²)³

Степень возводится в степень.
Показатели перемножаются: 2 · 3 = 6.

Ответ: a⁶

a⁷ : a⁴

Основания одинаковые.
При делении показатели вычитаются: 7 − 4 = 3.

Ответ: a³

Где обычно ошибаются

При возведении степени в степень складывают показатели вместо умножения.
Применяют свойства к степеням с разными основаниями.
Раскрывают (a + b)² как a² + b².

Примеры с решением

1. (2·3)^2

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ
(2·3)^2 = 2^2 · 3^2 = 4 · 9
= 36

Ответ: 36

2. 4^5 : 4^2

Основание одинаковое (4), значит показатели вычитаем: 5 − 2 = 3
4^5 : 4^2 = 4^3
= 64

Ответ: 64

3. (4·5)^2

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ
(4·5)^2 = 4^2 · 5^2 = 16 · 25
= 400

Ответ: 400

4. (2·5)^2

(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ
(2·5)^2 = 2^2 · 5^2 = 4 · 25
= 100

Ответ: 100

5. 4^2 : 4^1

Основание одинаковое (4), значит показатели вычитаем: 2 − 1 = 1
4^2 : 4^1 = 4^1
= 4

Ответ: 4

Подсказки, если не получается

Можно сначала перемножить скобку, а можно возвести каждый множитель.
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ: возведи 2 и 3 в квадрат по отдельности.
4 · 9 — перемножь.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени и корни»

Полная справка по разделу — на странице Степени и корни.