Вынесение множителя из корня: как решать
Вынести множитель из-под знака корня.
Определения
- Вынесение множителя
- Замена √(a²b) на a√b при неотрицательном a. Из-под корня выносят точные квадраты.
- Внесение множителя
- Обратное действие: a√b = √(a²b). Множитель вносят под корень, возведя его в квадрат.
Объяснение
Корень считают упрощённым, когда под ним не осталось множителей, являющихся точными квадратами. Запись √50 не упрощена, потому что 50 = 25 · 2, а 25 - точный квадрат. Упрощённая форма - 5√2.
Основание приёма - свойство корня из произведения: √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2. Никакого отдельного правила тут нет, только применение уже известного свойства и умение разглядеть в числе квадратный множитель.
Главная работа - найти наибольший квадратный делитель. Для этого число раскладывают на множители и выбирают среди них точные квадраты: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. Если взять не наибольший, придётся упрощать ещё раз - результат тот же, но шагов больше.
Зачем это нужно? Во-первых, упрощённая форма позволяет увидеть подобные корни и сложить их: √8 + √18 напрямую не складываются, а 2√2 + 3√2 = 5√2 - легко. Во-вторых, упрощённый корень удобнее оценивать: 5√2 - это примерно 5 · 1,41, то есть около семи.
Обратное действие - внесение множителя под корень - тоже пригождается, обычно при сравнении. Чтобы сравнить 3√2 и 2√5, вносим множители: √18 и √20. Теперь видно, что второе больше, и никакие приближённые вычисления не нужны.
При внесении множителя надо следить за знаком: под корень можно вносить только неотрицательное число. Выражение −3√2 нельзя записать как √18 - минус остаётся снаружи, правильно будет −√18.
Правила и формулы
- Вынесение множителя
√(a²b) = a√b при a ≥ 0 - Пример
√50 = √(25 · 2) = 5√2 - Выносят наибольший квадратный делитель
- Внесение множителя
a√b = √(a²b) при a ≥ 0 - Отрицательный множитель под корень не вносят
−3√2 = −√18
Порядок действий
- Разложите подкоренное число на множители.
- Найдите среди них наибольший точный квадрат.
- Запишите подкоренное как произведение квадрата и остатка.
- Извлеките корень из квадрата и вынесите его за знак корня.
- Проверьте, не осталось ли под корнем ещё квадратных множителей.
Разбор примеров
- Раскладываем: 50 = 25 · 2.
- 25 - точный квадрат.
- √50 = √25 · √2 = 5√2.
- Наибольший квадратный делитель - 36.
- 72 = 36 · 2.
- √72 = 6√2.
- Вносим множители под корень.
- 3√2 = √(9 · 2) = √18.
- 2√5 = √(4 · 5) = √20.
- 18 меньше 20.
Где обычно ошибаются
- Выносят не наибольший квадрат и оставляют корень неупрощённым: √72 = 2√18.
- При вынесении извлекают корень из всего подкоренного выражения.
- Вносят отрицательный множитель под корень.
Примеры с решением
- 252 = 36 · 7
- √252 = √36 · √7 = 6√7
- a = 6
- 250 = 25 · 10
- √250 = √25 · √10 = 5√10
- a = 5
- 8 = 4 · 2
- √8 = √4 · √2 = 2√2
- a = 2
- 245 = 49 · 5
- √245 = √49 · √5 = 7√5
- a = 7
- 20 = 4 · 5
- √20 = √4 · √5 = 2√5
- a = 2
Подсказки, если не получается
- Разложи подкоренное число на множители так, чтобы один был точным квадратом.
- 252 = 36 · 7
- √36 = 6 — этот множитель и выносится.
Другие темы раздела «Степени и корни»
- Степени чисел до 10
- Степени чисел до 20
- Квадратные корни до 100
- Квадратные корни до 1000
- Свойства степеней
- Степень с целым показателем
- Стандартный вид числа
- Свойства квадратных корней
- Степени и корни вместе
Полная справка по разделу — на странице Степени и корни.