Степень с целым показателем: как решать
Работать со степенью с нулевым и отрицательным показателем.
Определения
- Нулевая степень
- Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
- Отрицательный показатель
- Степень с отрицательным показателем равна единице, делённой на степень с положительным показателем: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Объяснение
Нулевая и отрицательная степени введены не произвольно, а так, чтобы сохранились уже известные свойства. Это важный принцип: расширяя понятие, математика старается не ломать работающие правила.
Посмотрим, откуда берётся нулевая степень. По правилу деления a³ : a³ = a³⁻³ = a⁰. Но с другой стороны, любое число, делённое само на себя, равно единице. Значит a⁰ обязано равняться единице - иначе правило деления перестанет работать.
Отсюда же и оговорка про ноль: 0⁰ не определяют, потому что деление нуля на ноль смысла не имеет. Во всех задачах основание нулевой степени предполагается ненулевым.
Отрицательный показатель получается тем же рассуждением. По правилу деления a² : a⁵ = a⁻³. С другой стороны, сократив, получаем 1/a³. Значит a⁻³ = 1/a³. Отрицательный показатель означает не отрицательное число, а перевёрнутую дробь.
Это надо подчеркнуть отдельно, потому что путают постоянно: 2⁻³ равно 1/8, а не −8. Знак результата зависит от основания, а не от показателя. Число 2⁻³ положительно, потому что положительна двойка.
Полезное следствие: дробь с отрицательным показателем переворачивается. Выражение (a/b)⁻ⁿ равно (b/a)ⁿ. Это часто позволяет избавиться от минуса в показателе одним движением и дальше работать с обычными степенями.
Правила и формулы
- Нулевая степень
a⁰ = 1 при a ≠ 0 - Отрицательный показатель
a⁻ⁿ = 1/aⁿ - Пример
2⁻³ = 1/8, а не −8 - Дробь с отрицательным показателем переворачивается
(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ - Все свойства степеней сохраняются для любых целых показателей
Порядок действий
- Найдите степени с отрицательным показателем.
- Замените каждую на единицу, делённую на степень с положительным показателем.
- Если это дробь, просто переверните её и уберите минус.
- Дальше работайте обычными свойствами степеней.
- Проверьте знак ответа: он зависит от основания, а не от показателя.
Разбор примеров
- Отрицательный показатель означает обратное число.
- 2⁻³ = 1/2³.
- 2³ = 8, значит ответ 1/8.
- Любое ненулевое число в нулевой степени даёт единицу: 5⁰ = 1.
- 3⁻¹ = 1/3.
- 1 + 1/3 = 4/3.
- Дробь с отрицательным показателем переворачивается.
- Получаем (3/2)².
- 9/4
Где обычно ошибаются
- Считают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число: 2⁻³ = −8.
- Считают, что a⁰ равно нулю.
- При переворачивании дроби забывают убрать минус в показателе.
Примеры с решением
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- 6^−1 = 1/6^1 = 1/6
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- 4^−3 = 1/4^3 = 1/64
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- 9^−1 = 1/9^1 = 1/9
- a⁰ = 1 при a ≠ 0
- 9^0 = 1
- 1/125 = 1/5^3
- 1/5^3 = 5^−3
- n = 3
Подсказки, если не получается
- Отрицательный показатель означает переворот дроби.
- 6⁻ⁿ = 1 : 6ⁿ
- Посчитай 6^1 = 6 и запиши 1/6.
Другие темы раздела «Степени и корни»
- Степени чисел до 10
- Степени чисел до 20
- Квадратные корни до 100
- Квадратные корни до 1000
- Свойства степеней
- Стандартный вид числа
- Свойства квадратных корней
- Вынесение множителя из корня
- Степени и корни вместе
Полная справка по разделу — на странице Степени и корни.