Степени и корни
Степень — повторное умножение. Корень — обратное действие.
Содержание
- Степени чисел до 10Возвести число в степень.
- Степени чисел до 20Возвести в степень число второго десятка.
- Квадратные корни до 100Извлечь квадратный корень и выполнить действие с корнями.
- Квадратные корни до 1000Извлечь квадратный корень из трёхзначного числа.
- Свойства степенейПрименить свойства степеней.
- Степень с целым показателемРаботать со степенью с нулевым и отрицательным показателем.
- Стандартный вид числаЗаписать число в стандартном виде.
- Свойства квадратных корнейВыполнить действия с квадратными корнями.
- Вынесение множителя из корняВынести множитель из-под знака корня.
- Степени и корни вместеВычислить выражение со степенями и корнями.
Степени чисел до 10
Определения
- Степень
- Произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a взято множителем n раз.
- Основание степени
- Число, которое умножают само на себя. В записи 3⁴ основание равно 3.
- Показатель степени
- Число, показывающее, сколько раз берут множитель. В записи 3⁴ показатель равен 4.
Объяснение
Степень придумали ровно затем же, зачем умножение: чтобы не писать длинных однообразных записей. Умножение сокращает сложение одинаковых слагаемых, степень сокращает умножение одинаковых множителей. Запись 3⁴ короче и понятнее, чем 3 · 3 · 3 · 3.
Читают запись так: «три в четвёртой степени». Число внизу - основание, оно повторяется множителем; число вверху - показатель, он говорит, сколько раз повторить. Путать их нельзя: 3⁴ равно 81, а 4³ равно 64 - это разные числа.
Вторую степень называют квадратом, третью - кубом. Названия пришли из геометрии: площадь квадрата со стороной a равна a², объём куба с ребром a равен a³. Отсюда же и обозначения единиц - квадратные и кубические метры.
Особые случаи стоит запомнить отдельно, они выпадают из общей схемы. Любое число в первой степени равно самому себе. Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице. Единица в любой степени равна единице, а ноль в любой натуральной степени равен нулю.
Знак степени отрицательного числа определяется чётностью показателя. Если показатель чётный, минусы разбиваются на пары и произведение положительно: (−2)⁴ = 16. Если нечётный, один минус остаётся без пары: (−2)³ = −8.
Отдельно надо следить за скобками. Запись (−2)² означает, что в квадрат возводят минус два, и результат равен 4. Запись −2² означает, что в квадрат возводят двойку, а минус остаётся снаружи, и результат равен −4. Это разные выражения, и разница здесь не в оформлении, а в ответе.
Правила и формулы
- Степень - произведение одинаковых множителей
aⁿ = a · a · … · a (n раз) - Первая степень
a¹ = a - Нулевая степень
a⁰ = 1 при a ≠ 0 - Знак степени отрицательного числа
(−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8 - Скобки решают всё
(−2)² = 4, а −2² = −4
Порядок действий
- Определите основание и показатель.
- Проверьте, есть ли скобки у отрицательного основания.
- Определите знак результата по чётности показателя.
- Перемножьте модуль основания сам на себя нужное число раз.
- Поставьте знак к полученному числу.
Разбор примеров
- Основание 3, показатель 4.
- 3 · 3 = 9, 9 · 3 = 27.
- 27 · 3 = 81
- Показатель нечётный - результат отрицательный.
- Модуль: 2 · 2 · 2 = 8.
- Ставим знак минус.
- Скобок нет, значит в квадрат возводится только двойка.
- 2² = 4.
- Минус остаётся снаружи.
Где обычно ошибаются
- Умножают основание на показатель: считают 3⁴ как 12.
- Путают основание с показателем: 3⁴ и 4³ дают разные числа.
- Не различают (−2)² и −2².
Степени чисел до 20
Определения
- Квадрат числа
- Вторая степень числа: 13² = 169. Квадраты чисел до двадцати полезно знать наизусть.
- Формула квадрата суммы
- Тождество (a + b)² = a² + 2ab + b², позволяющее считать квадраты двузначных чисел устно.
Объяснение
Квадраты чисел второго десятка встречаются постоянно: в теореме Пифагора, при разложении на множители, в задачах на площади. Считать их каждый раз столбиком долго, поэтому имеет смысл либо выучить, либо освоить быстрый устный приём.
Приём опирается на формулу квадрата суммы. Число 13 - это 10 + 3, значит 13² = (10 + 3)² = 100 + 2 · 10 · 3 + 9 = 100 + 60 + 9 = 169. Все три слагаемых считаются устно, и никакого столбика не требуется.
Формула не случайна и не является отдельным правилом для двузначных чисел. Она выводится раскрытием скобок: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Средний член удваивается потому, что произведение ab встречается дважды.
Для чисел, оканчивающихся на 5, есть ещё более короткий приём: десятки умножают на следующее число и приписывают 25. Для 15² берём 1 · 2 = 2 и приписываем 25 - получается 225. Для 25²: 2 · 3 = 6 и 25, то есть 625.
Кубы чисел второго десятка считают через квадрат: сначала находят квадрат, потом умножают ещё раз на основание. Для 12³ сначала 12² = 144, затем 144 · 12 = 1728. Пытаться сразу перемножить три числа в уме сложнее и ошибочнее.
Полезно помнить квадраты хотя бы до 15: 121, 144, 169, 196, 225. Они встречаются в ответах задач так часто, что узнавание их сразу экономит время - например, увидев под корнем 196, вы сразу говорите 14.
Правила и формулы
- Квадрат суммы
(a + b)² = a² + 2ab + b² - Квадрат числа второго десятка
13² = 100 + 2 · 10 · 3 + 9 = 169 - Числа на 5
15² = 1 · 2 и 25 → 225 - Куб через квадрат
12³ = 12² · 12 = 144 · 12 = 1728 - Полезно знать наизусть
11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225
Порядок действий
- Разложите число на десяток и единицы.
- Возведите в квадрат десяток и единицы отдельно.
- Найдите удвоенное произведение частей.
- Сложите три полученных числа.
- Для куба умножьте найденный квадрат ещё раз на основание.
Разбор примеров
- Раскладываем: 13 = 10 + 3.
- Квадраты частей: 100 и 9.
- Удвоенное произведение: 2 · 10 · 3 = 60.
- 100 + 60 + 9 = 169
- Число оканчивается на 5.
- Десятки: 1, следующее число 2, произведение 2.
- Приписываем 25.
- Сначала квадрат: 12² = 144.
- Умножаем ещё раз: 144 · 12.
- 144 · 10 = 1440, 144 · 2 = 288, вместе 1728.
Где обычно ошибаются
- В формуле квадрата суммы забывают удвоить средний член.
- Считают, что (a + b)² равно a² + b².
- При возведении в куб умножают квадрат на два вместо основания.
Квадратные корни до 100
Определения
- Квадратный корень
- Число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Арифметический квадратный корень из 49 равен 7, потому что 7² = 49 и семёрка неотрицательна.
- Подкоренное выражение
- То, что стоит под знаком корня. Для квадратного корня оно обязано быть неотрицательным.
- Точный квадрат
- Число, являющееся квадратом целого: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Корень из него извлекается нацело.
Объяснение
Извлечение корня - действие, обратное возведению в квадрат. Вопрос «чему равен корень из 49» означает «какое неотрицательное число в квадрате даёт 49». Ответ 7, потому что 7² = 49.
Слово «неотрицательное» в определении не формальность. Квадрат даёт 49 и у семёрки, и у минус семёрки, но арифметическим корнем договорились называть только неотрицательное значение. Поэтому √49 равно 7, а не «плюс-минус семь». Два знака появляются при решении уравнения x² = 49, и это другая задача.
Под корнем не может стоять отрицательное число: нет такого действительного числа, квадрат которого отрицателен. Запись √(−9) в школьном курсе не имеет смысла, и если она возникла по ходу решения, значит где-то ошибка.
Квадраты чисел до десяти нужно знать наизусть - тогда корни из точных квадратов узнаются мгновенно. Это 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Увидев под корнем одно из этих чисел, вы сразу называете ответ, не подбирая.
Если под корнем не точный квадрат, корень остаётся в ответе как есть - это нормальное число, просто иррациональное. Записывать √2 как 1,41 можно только когда задача просит приближение; в точном ответе корень оставляют.
Корень из произведения равен произведению корней, и это свойство постоянно используют для упрощения: √(4 · 25) = √4 · √25 = 2 · 5 = 10. А вот для суммы такого свойства нет: √(9 + 16) равно 5, а не 3 + 4 = 7.
Правила и формулы
- Определение корня
√a = b означает b ≥ 0 и b² = a - Подкоренное выражение неотрицательно
√(−9) не существует - Арифметический корень неотрицателен
√49 = 7, а не ±7 - Корень из произведения
√(ab) = √a · √b - Для суммы такого свойства нет
√(9 + 16) = 5, а не 3 + 4
Порядок действий
- Проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно.
- Посмотрите, не является ли оно точным квадратом.
- Если да, назовите корень сразу по таблице квадратов.
- Если нет, попробуйте разложить на множители и вынести точный квадрат.
- Оставьте корень в ответе, если он не извлекается нацело.
Разбор примеров
- 49 - точный квадрат.
- 7² = 49, и семёрка неотрицательна.
- Каждый корень извлекаем отдельно.
- √100 = 10, √36 = 6.
- 10 + 6 = 16
- Корень из произведения равен произведению корней.
- √4 = 2, √25 = 5.
- 2 · 5 = 10
Где обычно ошибаются
- Пишут √49 = ±7. Арифметический корень только неотрицательный.
- Применяют к сумме свойство произведения: считают √(9 + 16) как 7.
- Извлекают корень из отрицательного числа.
Квадратные корни до 1000
Определения
- Оценка корня
- Определение двух соседних целых чисел, между которыми лежит корень. Корень из 500 лежит между 22 и 23, потому что 22² = 484, а 23² = 529.
Объяснение
Для трёхзначных чисел таблицу квадратов наизусть уже не выучишь, поэтому нужен способ находить корень осмысленным подбором, а не перебором всех чисел подряд.
Первый шаг - оценка. Корень из трёхзначного числа всегда двузначный, потому что 10² = 100, а 100² = 10 000. Значит ответ лежит между 10 и 31 - уже неплохое сужение.
Второй шаг - определение десятков. Смотрим, между какими квадратами круглых десятков лежит наше число. Для 576: 20² = 400, 30² = 900, значит корень между 20 и 30, то есть начинается с двойки.
Третий шаг - определение единиц по последней цифре. Последняя цифра квадрата однозначно сужает круг: если число оканчивается на 6, то корень оканчивается на 4 или 6, потому что только 4² и 6² дают в конце шестёрку. Для 576 проверяем 24 и 26: 24² = 576 - подошло.
Полезно помнить, какие цифры вообще могут стоять в конце точного квадрата: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Число, оканчивающееся на 2, 3, 7 или 8, точным квадратом быть не может, и извлекать из него корень нацело бессмысленно.
Если число не точный квадрат, задача обычно сводится к оценке: назвать соседние целые. Корень из 500 лежит между 22 и 23, потому что 22² = 484 меньше пятисот, а 23² = 529 больше. Такой ответ полностью корректен.
Правила и формулы
- Корень из трёхзначного числа - двузначный
10² = 100, 31² = 961 - Десятки определяют по квадратам круглых чисел
20² = 400, 30² = 900 - Единицы сужают по последней цифре
оканчивается на 6 → корень на 4 или 6 - Точный квадрат оканчивается только на 0, 1, 4, 5, 6, 9
- Если корень не извлекается, дают оценку соседними целыми
22 < √500 < 23
Порядок действий
- Убедитесь, что последняя цифра допустима для точного квадрата.
- Определите десятки, сравнив число с квадратами круглых десятков.
- По последней цифре определите возможные единицы.
- Проверьте один-два кандидата возведением в квадрат.
- Если точного корня нет, назовите соседние целые числа.
Разбор примеров
- Между 400 и 900, значит корень между 20 и 30.
- Оканчивается на 6 - корень на 4 или 6.
- Проверяем 24: 24² = 576.
- Между 400 и 900, корень между 20 и 30.
- Оканчивается на 9 - корень на 3 или 7.
- Проверяем 27: 27² = 729.
- 22² = 484, это меньше 500.
- 23² = 529, это больше 500.
- Значит корень между 22 и 23.
Где обычно ошибаются
- Подбирают корень перебором всех чисел подряд вместо оценки по разрядам.
- Пытаются извлечь точный корень из числа, оканчивающегося на 2, 3, 7 или 8.
- Определив десятки, забывают проверить обе возможные цифры единиц.
Свойства степеней
Определения
- Свойства степеней
- Правила, позволяющие упрощать выражения со степенями без вычисления самих степеней: при умножении показатели складывают, при делении вычитают, при возведении степени в степень перемножают.
Объяснение
Свойства степеней не нужно запоминать как список - каждое из них выводится за одну строчку из определения степени, и понимание вывода надёжнее зубрёжки.
Умножение: a³ · a² - это (a · a · a) · (a · a), то есть пять множителей a, то есть a⁵. Показатели сложились, потому что множители просто встали в одну цепочку. Отсюда правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
Деление: a⁵ : a² - это пять множителей, делённые на два, и два из них сокращаются, остаётся три. Показатели вычитаются. Именно из этого правила потом получаются нулевые и отрицательные показатели: a³ : a³ даёт a⁰, а результат деления числа само на себя равен единице.
Возведение степени в степень: (a²)³ - это a² · a² · a², то есть шесть множителей a. Показатели перемножились. Здесь особенно легко перепутать со сложением, поэтому стоит держать в голове именно вывод.
Отдельное свойство относится к произведению в степени: (ab)³ = a³b³. Каждый множитель возводится в степень. То же для дроби: (a/b)³ = a³/b³. А вот для суммы такого свойства нет - (a + b)² не равно a² + b², и это одна из самых устойчивых ошибок в алгебре.
Условие «одинаковое основание» существенно. Выражение 2³ · 3² упростить сложением показателей нельзя - основания разные. Здесь остаётся только посчитать: 8 · 9 = 72.
Правила и формулы
- Умножение степеней
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ - Деление степеней
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ - Степень степени
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ - Степень произведения и дроби
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ - Для суммы свойства нет
(a + b)² ≠ a² + b²
Порядок действий
- Проверьте, одинаковые ли основания у степеней.
- При умножении сложите показатели, при делении вычтите.
- При возведении степени в степень перемножьте показатели.
- Степень произведения распределите по каждому множителю.
- Если основания разные, вычислите степени и перемножьте числа.
Разбор примеров
- Основания одинаковые.
- При умножении показатели складываем: 3 + 5 = 8.
- Степень возводится в степень.
- Показатели перемножаются: 2 · 3 = 6.
- Основания одинаковые.
- При делении показатели вычитаются: 7 − 4 = 3.
Где обычно ошибаются
- При возведении степени в степень складывают показатели вместо умножения.
- Применяют свойства к степеням с разными основаниями.
- Раскрывают (a + b)² как a² + b².
Степень с целым показателем
Определения
- Нулевая степень
- Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0.
- Отрицательный показатель
- Степень с отрицательным показателем равна единице, делённой на степень с положительным показателем: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Объяснение
Нулевая и отрицательная степени введены не произвольно, а так, чтобы сохранились уже известные свойства. Это важный принцип: расширяя понятие, математика старается не ломать работающие правила.
Посмотрим, откуда берётся нулевая степень. По правилу деления a³ : a³ = a³⁻³ = a⁰. Но с другой стороны, любое число, делённое само на себя, равно единице. Значит a⁰ обязано равняться единице - иначе правило деления перестанет работать.
Отсюда же и оговорка про ноль: 0⁰ не определяют, потому что деление нуля на ноль смысла не имеет. Во всех задачах основание нулевой степени предполагается ненулевым.
Отрицательный показатель получается тем же рассуждением. По правилу деления a² : a⁵ = a⁻³. С другой стороны, сократив, получаем 1/a³. Значит a⁻³ = 1/a³. Отрицательный показатель означает не отрицательное число, а перевёрнутую дробь.
Это надо подчеркнуть отдельно, потому что путают постоянно: 2⁻³ равно 1/8, а не −8. Знак результата зависит от основания, а не от показателя. Число 2⁻³ положительно, потому что положительна двойка.
Полезное следствие: дробь с отрицательным показателем переворачивается. Выражение (a/b)⁻ⁿ равно (b/a)ⁿ. Это часто позволяет избавиться от минуса в показателе одним движением и дальше работать с обычными степенями.
Правила и формулы
- Нулевая степень
a⁰ = 1 при a ≠ 0 - Отрицательный показатель
a⁻ⁿ = 1/aⁿ - Пример
2⁻³ = 1/8, а не −8 - Дробь с отрицательным показателем переворачивается
(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ - Все свойства степеней сохраняются для любых целых показателей
Порядок действий
- Найдите степени с отрицательным показателем.
- Замените каждую на единицу, делённую на степень с положительным показателем.
- Если это дробь, просто переверните её и уберите минус.
- Дальше работайте обычными свойствами степеней.
- Проверьте знак ответа: он зависит от основания, а не от показателя.
Разбор примеров
- Отрицательный показатель означает обратное число.
- 2⁻³ = 1/2³.
- 2³ = 8, значит ответ 1/8.
- Любое ненулевое число в нулевой степени даёт единицу: 5⁰ = 1.
- 3⁻¹ = 1/3.
- 1 + 1/3 = 4/3.
- Дробь с отрицательным показателем переворачивается.
- Получаем (3/2)².
- 9/4
Где обычно ошибаются
- Считают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число: 2⁻³ = −8.
- Считают, что a⁰ равно нулю.
- При переворачивании дроби забывают убрать минус в показателе.
Стандартный вид числа
Определения
- Стандартный вид числа
- Запись a · 10ⁿ, где a - число от 1 до 10 (не включая 10), а n - целое. Например, 3500 = 3,5 · 10³.
- Порядок числа
- Показатель степени десятки в стандартной записи. У числа 3,5 · 10³ порядок равен 3.
Объяснение
Стандартный вид нужен там, где числа очень большие или очень маленькие: расстояния до звёзд, размеры молекул, население планеты. Записывать двадцать нулей подряд неудобно и легко ошибиться, а запись со степенью десятки компактна и сразу показывает порядок величины.
Правило записи строгое: множитель обязан быть не меньше единицы и меньше десяти. Запись 35 · 10² не является стандартной, хотя и равна 3500 - множитель 35 слишком велик. Правильно 3,5 · 10³.
Чтобы привести число к стандартному виду, запятую переносят так, чтобы слева от неё осталась ровно одна ненулевая цифра, а затем считают, на сколько разрядов её сдвинули. Если сдвигали влево, показатель положительный; если вправо - отрицательный.
Для 3500 переносим запятую на три разряда влево, получаем 3,5, значит показатель 3: 3500 = 3,5 · 10³. Для 0,00042 переносим на четыре разряда вправо, получаем 4,2, показатель отрицательный: 4,2 · 10⁻⁴.
Стандартный вид упрощает умножение и деление больших чисел. Множители перемножают отдельно, а показатели складывают: (2 · 10³) · (3 · 10⁴) = 6 · 10⁷. Если полученный множитель вышел за границы, запись поправляют: 60 · 10⁷ = 6 · 10⁸.
Порядок числа сам по себе полезен как быстрая мера величины. Сравнивая 4,1 · 10⁵ и 9,8 · 10⁴, не нужно ничего считать: у первого числа порядок больше, значит оно больше. Сравнение множителей имеет смысл только при равных порядках.
Правила и формулы
- Стандартный вид
a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10 - Сдвиг влево даёт положительный показатель
3500 = 3,5 · 10³ - Сдвиг вправо даёт отрицательный показатель
0,00042 = 4,2 · 10⁻⁴ - Умножение стандартных записей
(2 · 10³)(3 · 10⁴) = 6 · 10⁷ - При равных порядках сравнивают множители, иначе - порядки
Порядок действий
- Перенесите запятую так, чтобы слева осталась одна ненулевая цифра.
- Сосчитайте, на сколько разрядов сдвинули запятую.
- Влево - показатель положительный, вправо - отрицательный.
- Запишите произведение множителя на степень десятки.
- Проверьте, что множитель не меньше единицы и меньше десяти.
Разбор примеров
- Переносим запятую на три разряда влево: 3,5.
- Сдвиг влево - показатель положительный.
- Получаем 3,5 · 10³.
- Переносим запятую на четыре разряда вправо: 4,2.
- Сдвиг вправо - показатель отрицательный.
- Множители: 2 · 3 = 6.
- Показатели складываем: 3 + 4 = 7.
Где обычно ошибаются
- Оставляют множитель больше десяти: пишут 35 · 10².
- Путают направление сдвига и знак показателя.
- При умножении перемножают показатели вместо сложения.
Свойства квадратных корней
Определения
- Подобные корни
- Корни с одинаковым подкоренным выражением: 3√2 и 5√2. Только их можно складывать, приводя подобные.
Объяснение
Действия с корнями делятся на две группы, и вести себя они будут по-разному. Умножение и деление с корнями работают легко, а сложение и вычитание - только в особом случае.
Для умножения и деления есть прямые свойства: корень из произведения равен произведению корней, корень из частного равен частному корней. Поэтому √2 · √8 = √16 = 4, и никаких трудностей не возникает.
Для сложения ничего подобного нет. Выражение √9 + √16 равно 3 + 4 = 7, а √(9 + 16) = √25 = 5 - числа разные. Значит, вносить сумму под корень нельзя, и это надо запомнить как жёсткий запрет.
Складывать корни можно только тогда, когда подкоренные выражения совпадают. Тогда корни ведут себя как одинаковые буквы в алгебре: 3√2 + 5√2 = 8√2, ровно как 3x + 5x = 8x. Сам корень при этом остаётся неизменным множителем.
Часто корни выглядят разными, но становятся подобными после упрощения. Выражение √8 + √2 на первый взгляд не складывается, но √8 = 2√2, и тогда сумма равна 3√2. Поэтому перед сложением корни всегда стоит упростить.
Отдельно стоит помнить, что √(a²) равно модулю a, а не самому a. Для положительных чисел разницы нет, но если под квадратом стоит выражение, которое может быть отрицательным, модуль обязателен: при a = −5 корень из квадрата даёт 5, а не −5.
Правила и формулы
- Корень из произведения
√a · √b = √(ab) - Корень из частного
√a : √b = √(a/b) - Складывать можно только подобные корни
3√2 + 5√2 = 8√2 - Для суммы под корнем свойства нет
√9 + √16 ≠ √25 - Корень из квадрата
√(a²) = |a|
Порядок действий
- Упростите каждый корень: вынесите множители из-под знака.
- Для умножения и деления объедините подкоренные выражения.
- Для сложения проверьте, стали ли корни подобными.
- Приведите подобные, складывая коэффициенты перед одинаковыми корнями.
- Проверьте, нельзя ли извлечь результат нацело.
Разбор примеров
- Корень из произведения: √(2 · 8).
- √16 = 4.
- Подкоренные выражения одинаковые.
- Складываем коэффициенты: 3 + 5 = 8.
- Упрощаем первый корень: √8 = √(4 · 2) = 2√2.
- Теперь корни подобные: 2√2 + 1√2.
- Складываем коэффициенты.
Где обычно ошибаются
- Складывают подкоренные выражения: считают √9 + √16 как √25.
- Складывают неподобные корни: пишут √2 + √3 = √5.
- Забывают упростить корни перед сложением и не замечают подобных.
Вынесение множителя из корня
Определения
- Вынесение множителя
- Замена √(a²b) на a√b при неотрицательном a. Из-под корня выносят точные квадраты.
- Внесение множителя
- Обратное действие: a√b = √(a²b). Множитель вносят под корень, возведя его в квадрат.
Объяснение
Корень считают упрощённым, когда под ним не осталось множителей, являющихся точными квадратами. Запись √50 не упрощена, потому что 50 = 25 · 2, а 25 - точный квадрат. Упрощённая форма - 5√2.
Основание приёма - свойство корня из произведения: √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2. Никакого отдельного правила тут нет, только применение уже известного свойства и умение разглядеть в числе квадратный множитель.
Главная работа - найти наибольший квадратный делитель. Для этого число раскладывают на множители и выбирают среди них точные квадраты: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. Если взять не наибольший, придётся упрощать ещё раз - результат тот же, но шагов больше.
Зачем это нужно? Во-первых, упрощённая форма позволяет увидеть подобные корни и сложить их: √8 + √18 напрямую не складываются, а 2√2 + 3√2 = 5√2 - легко. Во-вторых, упрощённый корень удобнее оценивать: 5√2 - это примерно 5 · 1,41, то есть около семи.
Обратное действие - внесение множителя под корень - тоже пригождается, обычно при сравнении. Чтобы сравнить 3√2 и 2√5, вносим множители: √18 и √20. Теперь видно, что второе больше, и никакие приближённые вычисления не нужны.
При внесении множителя надо следить за знаком: под корень можно вносить только неотрицательное число. Выражение −3√2 нельзя записать как √18 - минус остаётся снаружи, правильно будет −√18.
Правила и формулы
- Вынесение множителя
√(a²b) = a√b при a ≥ 0 - Пример
√50 = √(25 · 2) = 5√2 - Выносят наибольший квадратный делитель
- Внесение множителя
a√b = √(a²b) при a ≥ 0 - Отрицательный множитель под корень не вносят
−3√2 = −√18
Порядок действий
- Разложите подкоренное число на множители.
- Найдите среди них наибольший точный квадрат.
- Запишите подкоренное как произведение квадрата и остатка.
- Извлеките корень из квадрата и вынесите его за знак корня.
- Проверьте, не осталось ли под корнем ещё квадратных множителей.
Разбор примеров
- Раскладываем: 50 = 25 · 2.
- 25 - точный квадрат.
- √50 = √25 · √2 = 5√2.
- Наибольший квадратный делитель - 36.
- 72 = 36 · 2.
- √72 = 6√2.
- Вносим множители под корень.
- 3√2 = √(9 · 2) = √18.
- 2√5 = √(4 · 5) = √20.
- 18 меньше 20.
Где обычно ошибаются
- Выносят не наибольший квадрат и оставляют корень неупрощённым: √72 = 2√18.
- При вынесении извлекают корень из всего подкоренного выражения.
- Вносят отрицательный множитель под корень.
Степени и корни вместе
Определения
- Порядок действий со степенями
- Возведение в степень и извлечение корня выполняются раньше умножения и деления, но позже действий в скобках.
Объяснение
В смешанных выражениях со степенями и корнями главное - порядок действий. Возведение в степень и извлечение корня относятся к третьей ступени: они выполняются раньше умножения и деления, но позже скобок.
Значит, в выражении 2 · 3² сначала возводят тройку в квадрат, а потом умножают: 2 · 9 = 18. Ответ 36, полученный умножением сначала, - типичная ошибка невнимательности.
Корень работает как скобка: подкоренное выражение вычисляют целиком, прежде чем извлекать корень. В записи √(16 + 9) сначала складывают, получают 25, и только потом извлекают корень - выходит 5, а не 4 + 3.
Часто выражение упрощается, если заметить точные квадраты и известные степени. Увидев √144, полезно сразу сказать 12, не раскладывая. Для этого стоит держать в памяти квадраты до двадцати и степени двойки до 2¹⁰ = 1024 - они встречаются постоянно.
Со знаками надо быть особенно внимательным. Выражение (−3)² равно 9, а −3² равно −9. Если такое выражение стоит внутри более длинного примера, ошибка в знаке пройдёт дальше и испортит весь ответ.
Проверять полезно прикидкой: корень из числа между 100 и 144 лежит между 10 и 12, степень двойки растёт быстро. Ответ, выпадающий из разумных границ, обычно означает перепутанный порядок действий.
Правила и формулы
- Степень и корень выполняются раньше умножения
2 · 3² = 2 · 9 = 18 - Подкоренное выражение вычисляют целиком
√(16 + 9) = √25 = 5 - Скобки идут первыми
- Знак зависит от скобок
(−3)² = 9, −3² = −9 - Полезно знать степени двойки
2⁵ = 32, 2¹⁰ = 1024
Порядок действий
- Найдите все скобки и подкоренные выражения.
- Вычислите их содержимое целиком.
- Выполните возведение в степень и извлечение корня.
- Затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
- Проверьте знаки и прикиньте разумность ответа.
Разбор примеров
- Сначала степень и корень: 3² = 9, √16 = 4.
- Затем умножение: 2 · 9 = 18.
- Затем сложение: 18 + 4 = 22.
- Корень работает как скобка.
- Считаем подкоренное: 16 + 9 = 25.
- √25 = 5
- Скобка есть - возводим минус три: 9.
- 2³ = 8.
- 9 − 8 = 1
Где обычно ошибаются
- Умножают до возведения в степень: считают 2 · 3² как 36.
- Извлекают корень из слагаемых по отдельности.
- Теряют скобки у отрицательного основания.
Пример с решением
- 7^3 = 7 · 7 · 7
- = 343
- 3^4 = 3 · 3 · 3 · 3
- = 81
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.