Свойства квадратных корней: как решать

Выполнить действия с квадратными корнями.

Определения

Подобные корни

Корни с одинаковым подкоренным выражением: 3√2 и 5√2. Только их можно складывать, приводя подобные.

Объяснение

Действия с корнями делятся на две группы, и вести себя они будут по-разному. Умножение и деление с корнями работают легко, а сложение и вычитание - только в особом случае.

Для умножения и деления есть прямые свойства: корень из произведения равен произведению корней, корень из частного равен частному корней. Поэтому √2 · √8 = √16 = 4, и никаких трудностей не возникает.

Для сложения ничего подобного нет. Выражение √9 + √16 равно 3 + 4 = 7, а √(9 + 16) = √25 = 5 - числа разные. Значит, вносить сумму под корень нельзя, и это надо запомнить как жёсткий запрет.

Складывать корни можно только тогда, когда подкоренные выражения совпадают. Тогда корни ведут себя как одинаковые буквы в алгебре: 3√2 + 5√2 = 8√2, ровно как 3x + 5x = 8x. Сам корень при этом остаётся неизменным множителем.

Часто корни выглядят разными, но становятся подобными после упрощения. Выражение √8 + √2 на первый взгляд не складывается, но √8 = 2√2, и тогда сумма равна 3√2. Поэтому перед сложением корни всегда стоит упростить.

Отдельно стоит помнить, что √(a²) равно модулю a, а не самому a. Для положительных чисел разницы нет, но если под квадратом стоит выражение, которое может быть отрицательным, модуль обязателен: при a = −5 корень из квадрата даёт 5, а не −5.

Правила и формулы

• Корень из произведения√a · √b = √(ab)
• Корень из частного√a : √b = √(a/b)
• Складывать можно только подобные корни3√2 + 5√2 = 8√2
• Для суммы под корнем свойства нет√9 + √16 ≠ √25
• Корень из квадрата√(a²) = |a|

Порядок действий

1. Упростите каждый корень: вынесите множители из-под знака.
2. Для умножения и деления объедините подкоренные выражения.
3. Для сложения проверьте, стали ли корни подобными.
4. Приведите подобные, складывая коэффициенты перед одинаковыми корнями.
5. Проверьте, нельзя ли извлечь результат нацело.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Складывают подкоренные выражения: считают √9 + √16 как √25.
• Складывают неподобные корни: пишут √2 + √3 = √5.
• Забывают упростить корни перед сложением и не замечают подобных.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• По отдельности эти корни некрасивые — попробуй объединить их под один знак.
• √a · √b = √(ab): перемножь 8 и 2.
• Осталось извлечь корень из 16.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени и корни»

• Степени чисел до 10
• Степени чисел до 20
• Квадратные корни до 100
• Квадратные корни до 1000
• Свойства степеней
• Степень с целым показателем
• Стандартный вид числа
• Вынесение множителя из корня
• Степени и корни вместе

Полная справка по разделу — на странице Степени и корни.