Теорема Виета: как решать
Найти корни приведённого квадратного уравнения по теореме Виета.
Определения
- Приведённое квадратное уравнение
- Уравнение вида x² + px + q = 0, у которого коэффициент при x² равен единице.
- Теорема Виета
- Для приведённого квадратного уравнения сумма корней равна −p, а произведение корней равно q.
Объяснение
Теорема Виета даёт способ находить корни подбором, минуя дискриминант. Для уравнений с небольшими целыми корнями это заметно быстрее, а заодно позволяет проверить корни, найденные другим способом.
Формулировка такая: если x₁ и x₂ - корни уравнения x² + px + q = 0, то их сумма равна −p, а произведение равно q. Обратите внимание на знак: сумма равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение - свободному члену без изменения знака.
Откуда это берётся, видно из разложения. Если корни x₁ и x₂, то многочлен раскладывается как (x − x₁)(x − x₂). Раскрыв скобки, получаем x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Сравнив с исходной записью, сразу получаем обе формулы.
Подбор ведут от произведения, а не от суммы: множителей у числа обычно немного, а пар с заданной суммой бесконечно много. Для уравнения x² − 5x + 6 = 0 ищем два числа с произведением 6: это 1 и 6, 2 и 3. Из них сумму 5 дают 2 и 3 - они и есть корни.
Знаки корней определяются по знакам p и q. Если произведение положительно, корни одного знака, и знак этот противоположен знаку p. Если произведение отрицательно, корни разных знаков, и больший по модулю имеет знак, противоположный p.
Теорема применима только к приведённому уравнению. Если коэффициент при x² не равен единице, уравнение сначала делят на него - или пользуются дискриминантом. Забыть про это условие - самая частая ошибка при использовании теоремы.
Правила и формулы
- Теорема Виета
x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q - Работает только для приведённого уравнения
x² + px + q = 0 - Подбор ведут от произведения
- Произведение положительно - корни одного знака
- Произведение отрицательно - корни разных знаков
Порядок действий
- Убедитесь, что коэффициент при x² равен единице.
- Выпишите: сумма корней равна −p, произведение равно q.
- Переберите пары множителей свободного члена.
- Выберите ту пару, сумма которой подходит.
- Проверьте оба корня подстановкой в уравнение.
Разбор примеров
- Сумма корней равна 5, произведение 6.
- Пары множителей шести: 1 и 6, 2 и 3.
- Сумму 5 даёт пара 2 и 3.
- Проверка: 4 − 10 + 6 = 0.
- Сумма корней равна −1, произведение −6.
- Произведение отрицательно - корни разных знаков.
- Пара −3 и 2 даёт произведение −6 и сумму −1.
- Сумма 7, произведение 12.
- Пары: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
- Сумму 7 даёт 3 и 4.
Где обычно ошибаются
- Применяют теорему к неприведённому уравнению.
- Берут сумму корней равной p, а не −p.
- Подбирают от суммы, а не от произведения, и перебирают бесконечно.
Примеры с решением
- x₁ + x₂ = 9
- x₁ · x₂ = 20
- Подходят 4 и 5; больший корень равен 5.
- x₁ + x₂ = −5
- x₁ · x₂ = −6
- Подходят (−6) и 1; меньший корень равен −6.
- x₁ + x₂ = −7
- x₁ · x₂ = −8
- Подходят (−8) и 1; больший корень равен 1.
- x₁ + x₂ = −15
- x₁ · x₂ = 54
- Подходят (−6) и (−9); больший корень равен −6.
- x₁ + x₂ = 7
- x₁ · x₂ = 10
- Подходят 5 и 2; меньший корень равен 2.
Подсказки, если не получается
- Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 работает теорема Виета.
- Сумма корней равна 9, произведение равно 20.
- Подбери два числа с такой суммой и таким произведением.
Другие темы раздела «Выражения и уравнения»
- Значение буквенного выражения
- Линейное уравнение
- Уравнение с x в обеих частях
- Формулы сокращённого умножения
- Квадратное уравнение: дискриминант
- Сколько корней у уравнения
- Система двух линейных уравнений
- Модуль числа
- Уравнение с модулем
Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.