Линейное уравнение: как решать

Решить линейное уравнение.

Определения

Уравнение

Равенство, содержащее переменную. Решить уравнение - значит найти все значения переменной, при которых равенство верно.

Корень уравнения

Значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство.

Линейное уравнение

Уравнение вида ax + b = 0, где переменная входит только в первой степени и не стоит в знаменателе.

Объяснение

Решить уравнение - значит найти те значения переменной, при которых левая и правая части становятся равными. Все преобразования по ходу решения должны сохранять множество корней: то, что было решением, обязано остаться решением, и наоборот.

Разрешённых преобразований два. Первое: к обеим частям можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число или выражение. Второе: обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля. Оба следуют из свойств равенства - если две величины равны, они останутся равными после одинаковых действий.

Из первого преобразования получается правило переноса: слагаемое можно перенести через знак равенства, поменяв его знак. Это не отдельное правило, а сокращённая запись: вместо «вычтем 5 из обеих частей» пишут «перенесём пятёрку вправо со знаком минус».

Стандартный порядок решения такой. Сначала раскрывают скобки и приводят подобные в каждой части. Затем собирают слагаемые с переменной слева, а числа справа. Потом приводят подобные ещё раз и делят обе части на коэффициент при переменной.

Делить на коэффициент можно, только если он не равен нулю. Если после всех преобразований осталось 0 · x = 5, корней нет: никакое число, умноженное на ноль, не даст пятёрку. Если осталось 0 · x = 0, корнем является любое число - уравнение обращается в верное равенство при любом x.

Проверка обязательна и делается подстановкой найденного корня в исходное уравнение, а не в промежуточное. Промежуточное могло уже содержать ошибку, и подстановка в него её не поймает.

Правила и формулы

• К обеим частям можно прибавить одно и то же
• Обе части можно умножить или разделить на ненулевое число
• Перенос через знак равенства меняет знак слагаемого2x + 5 = 13 → 2x = 13 − 5
• Деление на коэффициент2x = 8 → x = 4
• Особые случаи0 · x = 5 - корней нет; 0 · x = 0 - любое число

Порядок действий

1. Раскройте скобки и приведите подобные в каждой части.
2. Перенесите слагаемые с переменной влево, числа вправо, меняя знаки.
3. Приведите подобные ещё раз.
4. Разделите обе части на коэффициент при переменной.
5. Подставьте корень в исходное уравнение и проверьте.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Переносят слагаемое, не меняя знак.
• Раскрывают скобки, умножая только на первое слагаемое.
• Проверяют корень подстановкой в промежуточное уравнение вместо исходного.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Оставь слева только слагаемое с x.
• Перенеси 22 вправо, поменяв знак.
• Раздели обе части на 5.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Выражения и уравнения»

• Значение буквенного выражения
• Уравнение с x в обеих частях
• Формулы сокращённого умножения
• Теорема Виета
• Квадратное уравнение: дискриминант
• Сколько корней у уравнения
• Система двух линейных уравнений
• Модуль числа
• Уравнение с модулем

Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.