Уравнение с модулем: как решать

Решить уравнение с модулем.

Определения

Уравнение с модулем: Уравнение, в котором переменная стоит под знаком модуля: |x − 3| = 5. Обычно распадается на несколько случаев.

Объяснение

Уравнение с модулем решают, избавляясь от модуля. Поскольку модуль раскрывается по-разному в зависимости от знака подмодульного выражения, уравнение распадается на два случая, и оба надо рассмотреть.

Простейший вид - |выражение| = число. Если число положительное, подмодульное выражение может равняться и ему, и ему же с минусом. Уравнение |x − 3| = 5 распадается на x − 3 = 5 и x − 3 = −5, откуда x = 8 и x = −2.

Смысл этого виден на прямой: |x − 3| - это расстояние от точки x до точки 3. Условие «расстояние равно пяти» выполняется для двух точек: одна на пять правее тройки, другая на пять левее. Отсюда сразу два корня.

Правая часть решает всё. Если справа стоит положительное число, корней два. Если ноль - корень один, потому что расстояние нулевое только до самой точки. Если справа отрицательное число, корней нет вовсе: модуль не может быть отрицательным.

Когда переменная есть и справа, случаев по-прежнему два, но каждый требует проверки. Из уравнения |x| = 2x − 3 получаем x = 2x − 3 и −x = 2x − 3, то есть x = 3 и x = 1. Но подстановка показывает, что x = 1 не подходит: слева 1, справа −1. Такие посторонние корни надо отсеивать проверкой.

Проверка в уравнениях с модулем не формальность, а обязательный шаг решения. Раскрытие модуля расширяет множество решений, и лишние корни появляются закономерно, а не из-за ошибок.

Правила и формулы

Простейшее уравнение распадается на два|x − 3| = 5 → x − 3 = 5 или x − 3 = −5
Правая часть положительна - два корня
Правая часть равна нулю - один корень
Правая часть отрицательна - корней нет|x| = −4 решений не имеет
Найденные корни обязательно проверяют подстановкой

Порядок действий

Посмотрите на правую часть: если там отрицательное число, ответ - корней нет.
Приравняйте подмодульное выражение к правой части.
Приравняйте его же к правой части с противоположным знаком.
Решите оба уравнения.
Подставьте каждый корень в исходное уравнение и отсейте посторонние.

Разбор примеров

|x − 3| = 5

Первый случай: x − 3 = 5, значит x = 8.
Второй случай: x − 3 = −5, значит x = −2.
Проверка: |8 − 3| = 5 и |−2 − 3| = 5.

Ответ: x₁ = 8, x₂ = −2

|2x| = 10

Первый случай: 2x = 10, значит x = 5.
Второй случай: 2x = −10, значит x = −5.

Ответ: x₁ = 5, x₂ = −5

|x + 1| = −3

Справа отрицательное число.
Модуль не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет

Где обычно ошибаются

Рассматривают только один случай и теряют корень.
Не проверяют корни и оставляют посторонние.
Решают уравнение с отрицательной правой частью вместо того, чтобы сразу сказать «корней нет».

Примеры с решением

1. Решите уравнение |x − 0| = 11. Найдите его больший корень.

x − 0 = 11 или x − 0 = −11
x = 11 или x = −11
Больший корень равен 11

Ответ: 11

2. Решите уравнение |x − 5| = 2. Найдите его больший корень.

x − 5 = 2 или x − 5 = −2
x = 7 или x = 3
Больший корень равен 7

Ответ: 7

3. Решите уравнение |x − 7| = 1. Найдите его меньший корень.

x − 7 = 1 или x − 7 = −1
x = 8 или x = 6
Меньший корень равен 6

Ответ: 6

4. Решите уравнение |x − 7| = 10. Найдите его меньший корень.

x − 7 = 10 или x − 7 = −10
x = 17 или x = −3
Меньший корень равен −3

Ответ: -3

5. Решите уравнение |x + 4| = 5. Найдите его меньший корень.

x + 4 = 5 или x + 4 = −5
x = 1 или x = −9
Меньший корень равен −9

Ответ: -9

Подсказки, если не получается

Модуль можно снять двумя способами — со знаком плюс и со знаком минус.
Получатся уравнения x − 0 = 11 и x − 0 = −11.
Корни: −11 и 11.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Выражения и уравнения»

Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.