Уравнение с x в обеих частях: как решать
Решить уравнение, где переменная стоит в обеих частях.
Определения
- Приведение подобных
- Сложение слагаемых с одинаковой буквенной частью: 5x − 3x = 2x. Коэффициенты складывают, буквенная часть не меняется.
Объяснение
Когда переменная стоит в обеих частях, решение не усложняется принципиально - добавляется один шаг: собрать все слагаемые с переменной в одной части, а все числа в другой.
Слагаемые с переменной обычно переносят влево, а числа вправо, но это лишь традиция. Можно и наоборот - иногда так даже удобнее, если коэффициент справа больше и после переноса не появится отрицательного коэффициента.
При каждом переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный. Это следует из того, что мы вычитаем одно и то же из обеих частей. В уравнении 5x − 7 = 3x + 1 переносим 3x влево - оно становится −3x, переносим −7 вправо - оно становится +7.
После переноса приводят подобные: 5x − 3x = 2x слева, 1 + 7 = 8 справа. Получается простое линейное уравнение 2x = 8, откуда x = 4.
Отдельно надо разбирать случай, когда переменные взаимно уничтожаются. Если после переноса слева осталось 0 · x, а справа ненулевое число, корней нет. Если справа тоже ноль, корнем будет любое число. Это не тупик решения, а полноценный ответ.
Если в уравнении есть скобки, их раскрывают до переноса. Особенно внимательным надо быть со скобкой, перед которой стоит минус: он меняет знак каждого слагаемого внутри, а не только первого. Выражение −(2x − 3) превращается в −2x + 3.
Правила и формулы
- Переменные собирают в одной части, числа в другой
- При переносе знак меняется
5x − 7 = 3x + 1 → 5x − 3x = 1 + 7 - Приведение подобных
5x − 3x = 2x - Скобки раскрывают до переноса
- Если переменные уничтожились
0 = 5 - корней нет; 0 = 0 - любое число
Порядок действий
- Раскройте все скобки.
- Перенесите слагаемые с переменной в одну часть, числа в другую.
- Приведите подобные в обеих частях.
- Разделите на коэффициент при переменной.
- Проверьте подстановкой в исходное уравнение.
Разбор примеров
- Переносим 3x влево, −7 вправо.
- 5x − 3x = 1 + 7.
- 2x = 8, значит x = 4.
- Проверка: 5 · 4 − 7 = 13 и 3 · 4 + 1 = 13.
- Раскрываем скобки: 4x + 4 = 2x + 10.
- Переносим: 4x − 2x = 10 − 4.
- 2x = 6, значит x = 3.
- Переносим: 2x − 2x = 5 − 3.
- Слева 0, справа 2.
- Равенство 0 = 2 неверно ни при каком x.
Где обычно ошибаются
- Переносят слагаемое, сохранив знак.
- Перед скобкой стоит минус, а знаки внутри меняют только у первого слагаемого.
- Считают, что уравнение без корней решено неверно, и ищут ошибку там, где её нет.
Примеры с решением
- 4x − x = 14 + 16
- 3x = 30
- x = 30 : 3 = 10
- 7x − 6x = 15 − 5
- x = 10
- x = 10
- 9x − 4x = 9 + 51
- 5x = 60
- x = 60 : 5 = 12
- 4x − 3x = 20 − 10
- x = 10
- x = 10
- 7x − 4x = 4 + 20
- 3x = 24
- x = 24 : 3 = 8
Подсказки, если не получается
- Слагаемые с x — влево, числа — вправо.
- При переносе через знак равенства знак меняется на противоположный.
- Приведи подобные и раздели на 3.
Другие темы раздела «Выражения и уравнения»
- Значение буквенного выражения
- Линейное уравнение
- Формулы сокращённого умножения
- Теорема Виета
- Квадратное уравнение: дискриминант
- Сколько корней у уравнения
- Система двух линейных уравнений
- Модуль числа
- Уравнение с модулем
Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.