Система двух линейных уравнений: как решать
Решить систему двух линейных уравнений.
Определения
- Система уравнений
- Несколько уравнений, решения которых надо найти одновременно. Решением системы называют пару чисел, удовлетворяющую каждому уравнению.
- Метод подстановки
- Способ решения, при котором из одного уравнения выражают переменную и подставляют это выражение в другое.
- Метод сложения
- Способ решения, при котором уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна переменная исчезла.
Объяснение
Система - это требование выполнить оба уравнения сразу. Пара чисел, подходящая только к одному из них, решением не является. Поэтому проверять ответ надо подстановкой в оба уравнения, а не в одно.
Идея решения одна для всех методов: свести систему к одному уравнению с одной переменной, которое мы уже умеем решать. Различаются методы только способом избавиться от второй переменной.
Метод подстановки: выражаем одну переменную через другую из того уравнения, где это проще, и подставляем в оставшееся. Проще всего выражать переменную с коэффициентом единица - тогда не появится дробей.
Метод сложения: подбираем множители так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и складываем уравнения - эта переменная исчезнет. Если коэффициенты уже противоположны или равны, множители не нужны. Метод особенно удобен, когда обе переменные имеют неудобные коэффициенты.
Геометрический смысл помогает понять число решений. Каждое линейное уравнение задаёт прямую на плоскости, а решение системы - точку их пересечения. Прямые могут пересечься в одной точке (единственное решение), быть параллельными (решений нет) или совпасть (решений бесконечно много).
Найдя одну переменную, вторую находят подстановкой в любое из исходных уравнений - обычно в то, что проще. Записывать ответ надо парой, указывая, какое число какой переменной соответствует.
Правила и формулы
- Решение системы - пара чисел, подходящая обоим уравнениям
- Метод подстановки: выразить и подставить
- Метод сложения: уравнять коэффициенты и сложить
- Геометрически решение - точка пересечения прямых
- Прямые параллельны - решений нет, совпадают - решений бесконечно много
Порядок действий
- Выберите метод: подстановка удобна при коэффициенте единица, сложение - в остальных случаях.
- Избавьтесь от одной переменной.
- Решите полученное уравнение с одной переменной.
- Подставьте найденное значение в любое исходное уравнение и найдите вторую переменную.
- Проверьте пару подстановкой в оба уравнения.
Разбор примеров
- Коэффициенты при y противоположны - складываем уравнения.
- 2x = 8, значит x = 4.
- Подставляем в первое: 4 + y = 7, значит y = 3.
- Проверка: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1.
- Первое уравнение уже выражает y.
- Подставляем во второе: 3x + 2x − 1 = 9.
- 5x = 10, значит x = 2.
- Тогда y = 2 · 2 − 1 = 3.
- Из второго выражаем x = y + 1.
- Подставляем: 2(y + 1) + 3y = 12.
- 5y + 2 = 12, значит y = 2.
- Тогда x = 3.
Где обычно ошибаются
- Находят одну переменную и забывают найти вторую.
- Проверяют ответ подстановкой только в одно уравнение.
- При сложении уравнений складывают левые части, а правые вычитают.
Примеры с решением
- Умножим первое уравнение на 6, второе — на 5
- Вычтем: переменная x исчезнет, останется уравнение относительно y
- Получится x = −5, y = −2
- Умножим первое уравнение на 2, второе — на 2
- Вычтем: переменная x исчезнет, останется уравнение относительно y
- Получится x = −2, y = −4
- Умножим первое уравнение на 2, второе — на 2
- Вычтем: переменная x исчезнет, останется уравнение относительно y
- Получится x = 3, y = 9
- Умножим первое уравнение на 2, второе — на 3
- Вычтем: переменная x исчезнет, останется уравнение относительно y
- Получится x = −5, y = 0
- Умножим первое уравнение на 2, второе — на 3
- Вычтем: переменная x исчезнет, останется уравнение относительно y
- Получится x = 6, y = −3
Подсказки, если не получается
- Подберите множители так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали одинаковыми.
- Вычтите одно уравнение из другого — переменная исчезнет.
- Ответ: x = −5, y = −2.
Другие темы раздела «Выражения и уравнения»
- Значение буквенного выражения
- Линейное уравнение
- Уравнение с x в обеих частях
- Формулы сокращённого умножения
- Теорема Виета
- Квадратное уравнение: дискриминант
- Сколько корней у уравнения
- Модуль числа
- Уравнение с модулем
Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.