Квадратное уравнение: дискриминант: как решать
Решить квадратное уравнение через дискриминант.
Определения
- Квадратное уравнение
- Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю.
- Дискриминант
- Число D = b² − 4ac. Его знак определяет количество корней уравнения.
- Формула корней
- x = (−b ± √D) / (2a). Даёт оба корня квадратного уравнения при неотрицательном дискриминанте.
Объяснение
Дискриминант - универсальный способ решения квадратного уравнения: он работает всегда, при любых коэффициентах, в отличие от теоремы Виета и разложения на множители, которые удобны лишь в частных случаях.
Слово «дискриминант» означает «различающий»: это число различает случаи по количеству корней. Если D больше нуля, корня два. Если D равен нулю, корень один - точнее, два совпавших. Если D меньше нуля, действительных корней нет.
Формула корней получается выделением полного квадрата из общего уравнения, и подкоренным выражением там как раз оказывается b² − 4ac. Поэтому отрицательный дискриминант и означает отсутствие корней: под корнем не может стоять отрицательное число.
Работать надо строго по шагам. Сначала привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0 - все слагаемые в одной части, справа ноль. Затем выписать a, b и c вместе со знаками. Затем посчитать дискриминант. И только потом применять формулу корней.
Больше всего ошибок даёт выписывание коэффициентов. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b равен −5, а не 5, и знак обязан войти в формулу. Полезно выписывать a, b, c отдельной строкой перед вычислениями - это дисциплинирует.
Если коэффициент b чётный, счёт сокращается: можно пользоваться формулой через половину b, что уменьшает числа вчетверо. Но это удобство, а не обязанность - обычная формула работает всегда.
Правила и формулы
- Дискриминант
D = b² − 4ac - Корни
x = (−b ± √D) / (2a) - D > 0 - два корня
- D = 0 - один корень
x = −b / (2a) - D < 0 - действительных корней нет
Порядок действий
- Приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0.
- Выпишите коэффициенты a, b, c вместе со знаками.
- Посчитайте дискриминант D = b² − 4ac.
- Определите количество корней по знаку D.
- Подставьте в формулу корней и проверьте ответ по теореме Виета.
Разбор примеров
- Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.
- D = 25 − 24 = 1, значит корня два.
- x = (5 ± 1)/2.
- x₁ = 3, x₂ = 2.
- Коэффициенты: a = 2, b = 4, c = −6.
- D = 16 + 48 = 64, корень из него 8.
- x = (−4 ± 8)/4.
- x₁ = 1, x₂ = −3.
- Коэффициенты: a = 1, b = 2, c = 5.
- D = 4 − 20 = −16.
- Дискриминант отрицательный.
Где обычно ошибаются
- Выписывают коэффициент b без знака.
- В формуле корней забывают минус перед b.
- Делят на a вместо 2a.
Примеры с решением
- D = 8² − 4 · 2 · −10 = 144
- √D = 12
- x = (−8 ± 12) : 4 — корни −5 и 1
- D = −32² − 4 · 4 · 48 = 256
- √D = 16
- x = (32 ± 16) : 8 — корни 2 и 6
- D = 28² − 4 · 4 · 40 = 144
- √D = 12
- x = (−28 ± 12) : 8 — корни −5 и −2
- D = 10² − 4 · 2 · 12 = 4
- √D = 2
- x = (−10 ± 2) : 4 — корни −3 и −2
- D = −21² − 4 · 3 · 36 = 9
- √D = 3
- x = (21 ± 3) : 6 — корни 3 и 4
Подсказки, если не получается
- Сначала посчитайте дискриминант D = b² − 4ac.
- Здесь D = 144, корень из него извлекается нацело.
- Подставьте в формулу x = (−b ± √D) : (2a).
Другие темы раздела «Выражения и уравнения»
- Значение буквенного выражения
- Линейное уравнение
- Уравнение с x в обеих частях
- Формулы сокращённого умножения
- Теорема Виета
- Сколько корней у уравнения
- Система двух линейных уравнений
- Модуль числа
- Уравнение с модулем
Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.