Формулы сокращённого умножения: как решать
Применить формулы сокращённого умножения.
Определения
- Формулы сокращённого умножения
- Тождества, позволяющие раскрывать скобки и раскладывать на множители без пошагового перемножения: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов.
- Тождество
- Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных.
Объяснение
Формулы сокращённого умножения не вводят ничего нового - каждую можно получить обычным раскрытием скобок. Ценность их в том, что они позволяют пропустить промежуточные шаги и, главное, работают в обратную сторону: раскладывают выражение на множители.
Квадрат суммы выводится так: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Средний член удваивается потому, что произведение ab получается дважды. Именно его чаще всего и теряют.
Квадрат разности отличается только знаком среднего члена: (a − b)² = a² − 2ab + b². Последний член остаётся положительным - он квадрат, а квадрат неотрицателен при любом знаке b.
Разность квадратов работает в другую сторону и потому особенно полезна: a² − b² = (a − b)(a + b). Средние члены при раскрытии взаимно уничтожаются, поэтому произведение суммы на разность даёт именно разность квадратов, без лишних слагаемых.
Обратное применение формул - разложение на множители - главный практический смысл темы. Выражение x² − 9 сразу раскладывается как (x − 3)(x + 3), а x² + 6x + 9 узнаётся как (x + 3)². Это позволяет сокращать дроби, решать уравнения и упрощать громоздкие выражения.
Важно помнить, чего формул НЕ существует. Суммы квадратов a² + b² на множители в действительных числах разложить нельзя. Попытка написать (a + b)² вместо a² + b² - самая устойчивая ошибка алгебры, и проверяется она подстановкой любых чисел: при a = 3 и b = 4 первое даёт 49, второе 25.
Правила и формулы
- Квадрат суммы
(a + b)² = a² + 2ab + b² - Квадрат разности
(a − b)² = a² − 2ab + b² - Разность квадратов
a² − b² = (a − b)(a + b) - Сумма квадратов на множители не раскладывается
- Формулы работают в обе стороны
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Порядок действий
- Определите, какая формула подходит: два квадрата с минусом - разность квадратов; три слагаемых - квадрат суммы или разности.
- Найдите, что играет роль a и что роль b.
- Проверьте средний член: он обязан равняться удвоенному произведению.
- Запишите результат по формуле.
- Проверьте, подставив любые числа вместо букв.
Разбор примеров
- Это квадрат суммы, a = x, b = 3.
- a² = x², b² = 9.
- Удвоенное произведение: 2 · x · 3 = 6x.
- Это разность квадратов: x² и 5².
- Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b).
- Три слагаемых, последний квадрат: 16 = 4².
- Проверяем средний член: 2 · x · 4 = 8x - совпадает.
- Знак минус значит квадрат разности.
Где обычно ошибаются
- Забывают удвоить средний член: пишут (x + 3)² = x² + 9.
- Пытаются разложить сумму квадратов.
- В квадрате разности делают отрицательным последний член.
Примеры с решением
- 94² = (100 − 6)²
- = 100² − 2 · 100 · 6 + 6²
- = 10000 − 1200 + 36 = 8836
- 22 · 38 = (30 − 8)(30 + 8)
- = 30² − 8² = 900 − 64
- = 836
- 17² = (10 + 7)²
- = 10² + 2 · 10 · 7 + 7²
- = 100 + 140 + 49 = 289
- 19² = (20 − 1)²
- = 20² − 2 · 20 · 1 + 1²
- = 400 − 40 + 1 = 361
- 22² = (20 + 2)²
- = 20² + 2 · 20 · 2 + 2²
- = 400 + 80 + 4 = 484
Подсказки, если не получается
- Округли число вверх до десятка и вычти остаток.
- 94 = 100 − 6, дальше формула квадрата разности.
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
Другие темы раздела «Выражения и уравнения»
- Значение буквенного выражения
- Линейное уравнение
- Уравнение с x в обеих частях
- Теорема Виета
- Квадратное уравнение: дискриминант
- Сколько корней у уравнения
- Система двух линейных уравнений
- Модуль числа
- Уравнение с модулем
Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.