Модуль числа: как решать

Вычислить выражение с модулями.

Определения

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Модуль неотрицателен: |−7| = 7, |7| = 7, |0| = 0.

Раскрытие модуля

Замена знака модуля на выражение без него: если под модулем неотрицательное число, модуль просто убирают; если отрицательное, выражение берут с противоположным знаком.

Объяснение

Модуль отвечает на вопрос «как далеко от нуля», игнорируя направление. Поэтому он никогда не бывает отрицательным: расстояние не может быть меньше нуля.

Правило раскрытия зависит от знака того, что стоит под модулем, и только от него. Если подмодульное выражение неотрицательно, модуль убирают без изменений. Если отрицательно, выражение записывают с противоположным знаком: |−7| = −(−7) = 7.

В числовых выражениях порядок работы такой: сначала полностью вычисляют то, что стоит под модулем, потом раскрывают модуль, и только затем выполняют оставшиеся действия. Модуль работает как скобка - его содержимое считают целиком.

Частая ошибка - раскрывать модуль по слагаемым. Выражение |3 − 8| равно |−5| = 5, а не |3| − |8| = −5. Модуль суммы или разности не равен сумме или разности модулей.

Свойства, которые действительно есть: модуль произведения равен произведению модулей, модуль частного равен частному модулей. То есть для умножения и деления модуль распределяется, а для сложения и вычитания - нет.

Полезно помнить: |a| = |−a| для любого числа, и |a|² = a². Первое свойство означает, что противоположные числа имеют одинаковый модуль, второе часто используют при решении уравнений с модулем, где обе части возводят в квадрат.

Правила и формулы

• Модуль неотрицателен|a| ≥ 0
• Раскрытие модуля|a| = a при a ≥ 0; |a| = −a при a < 0
• Модуль работает как скобка|3 − 8| = |−5| = 5
• Модуль произведения|ab| = |a| · |b|
• Для суммы такого свойства нет|a + b| ≠ |a| + |b|

Порядок действий

1. Вычислите полностью всё, что стоит под знаком модуля.
2. Посмотрите на знак получившегося числа.
3. Если оно неотрицательно, уберите модуль.
4. Если отрицательно, запишите его с противоположным знаком.
5. Выполните оставшиеся действия в обычном порядке.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Раскрывают модуль по слагаемым: |3 − 8| считают как |3| − |8|.
• Получают отрицательный модуль.
• Раскрывают модуль до того, как вычислили его содержимое.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.
• Сначала посчитайте то, что стоит под знаком модуля.
• 15 + 7 = ?

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Выражения и уравнения»

• Значение буквенного выражения
• Линейное уравнение
• Уравнение с x в обеих частях
• Формулы сокращённого умножения
• Теорема Виета
• Квадратное уравнение: дискриминант
• Сколько корней у уравнения
• Система двух линейных уравнений
• Уравнение с модулем

Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.