Выражения и уравнения
Буква обозначает число; уравнение — равенство, в котором это число ищут.
Содержание
- Значение буквенного выраженияНайти значение буквенного выражения при данном значении переменной.
- Линейное уравнениеРешить линейное уравнение.
- Уравнение с x в обеих частяхРешить уравнение, где переменная стоит в обеих частях.
- Формулы сокращённого умноженияПрименить формулы сокращённого умножения.
- Теорема ВиетаНайти корни приведённого квадратного уравнения по теореме Виета.
- Квадратное уравнение: дискриминантРешить квадратное уравнение через дискриминант.
- Сколько корней у уравненияОпределить, сколько корней у квадратного уравнения.
- Система двух линейных уравненийРешить систему двух линейных уравнений.
- Модуль числаВычислить выражение с модулями.
- Уравнение с модулемРешить уравнение с модулем.
Значение буквенного выражения
Определения
- Переменная
- Буква, вместо которой можно подставлять разные числа. Обычно обозначается x, y, a, b.
- Буквенное выражение
- Запись из чисел, переменных и знаков действий: 3x² − 2x + 5. Само по себе значения не имеет - оно появляется, когда переменной задано число.
- Значение выражения
- Число, которое получается после подстановки конкретного значения переменной и выполнения всех действий.
Объяснение
Буквенное выражение - это заготовка вычисления, записанная один раз для всех возможных чисел. Формула площади прямоугольника ab годится для любых сторон; чтобы получить число, надо подставить конкретные значения.
Подстановка - механическое действие, но именно на ней теряют больше всего баллов. Главное правило: подставляемое число обязательно берут в скобки. Если вместо x = −2 в выражение x² подставить просто −2 без скобок, получится −2² = −4 вместо правильного 4.
После подстановки выражение превращается в обычный числовой пример, и дальше работает привычный порядок действий: скобки, степени и корни, умножение и деление, сложение и вычитание.
Иногда выражение выгодно сначала упростить, а потом подставлять. Если в выражении есть подобные слагаемые или сокращающаяся дробь, упрощение уменьшает объём счёта и число возможных ошибок. Но упрощать нужно верно - неверное упрощение испортит ответ надёжнее, чем длинный счёт.
Отдельно надо следить за областью допустимых значений. В дробном выражении знаменатель не может обращаться в ноль, под корнем не может стоять отрицательное число. Если подстановка нарушает это, значит при данном значении переменной выражение не определено, и это и есть ответ.
Проверять удобно прикидкой: подставив небольшое число, оцените порядок результата. Если в выражении есть квадрат переменной около десяти, ответ будет около сотни, и результат вроде 20 сразу настораживает.
Правила и формулы
- Подставляемое значение берут в скобки
при x = −2: x² = (−2)² = 4 - Дальше действует обычный порядок действий
- Упрощать выражение можно до подстановки
- Знаменатель не должен обращаться в ноль
- Подкоренное выражение должно быть неотрицательным
Порядок действий
- Выпишите выражение и значение переменной.
- Проверьте, определено ли выражение при этом значении.
- Подставьте число, обязательно в скобках.
- Выполните действия по порядку.
- Прикиньте разумность полученного числа.
Разбор примеров
- Подставляем в скобках: 3 · (−2)² − 2 · (−2).
- (−2)² = 4, значит 3 · 4 = 12.
- −2 · (−2) = 4.
- 12 + 4 = 16
- Подставляем: (7 + 5)/2.
- Скобка первой: 7 + 5 = 12.
- 12 : 2 = 6
- Подставляем: 3² − 5 · 3 + 6.
- 9 − 15 + 6.
- 9 − 15 = −6, затем −6 + 6 = 0.
Где обычно ошибаются
- Подставляют отрицательное число без скобок и теряют знак при возведении в степень.
- Нарушают порядок действий после подстановки.
- Не проверяют, определено ли выражение при данном значении.
Линейное уравнение
Определения
- Уравнение
- Равенство, содержащее переменную. Решить уравнение - значит найти все значения переменной, при которых равенство верно.
- Корень уравнения
- Значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство.
- Линейное уравнение
- Уравнение вида ax + b = 0, где переменная входит только в первой степени и не стоит в знаменателе.
Объяснение
Решить уравнение - значит найти те значения переменной, при которых левая и правая части становятся равными. Все преобразования по ходу решения должны сохранять множество корней: то, что было решением, обязано остаться решением, и наоборот.
Разрешённых преобразований два. Первое: к обеим частям можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число или выражение. Второе: обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля. Оба следуют из свойств равенства - если две величины равны, они останутся равными после одинаковых действий.
Из первого преобразования получается правило переноса: слагаемое можно перенести через знак равенства, поменяв его знак. Это не отдельное правило, а сокращённая запись: вместо «вычтем 5 из обеих частей» пишут «перенесём пятёрку вправо со знаком минус».
Стандартный порядок решения такой. Сначала раскрывают скобки и приводят подобные в каждой части. Затем собирают слагаемые с переменной слева, а числа справа. Потом приводят подобные ещё раз и делят обе части на коэффициент при переменной.
Делить на коэффициент можно, только если он не равен нулю. Если после всех преобразований осталось 0 · x = 5, корней нет: никакое число, умноженное на ноль, не даст пятёрку. Если осталось 0 · x = 0, корнем является любое число - уравнение обращается в верное равенство при любом x.
Проверка обязательна и делается подстановкой найденного корня в исходное уравнение, а не в промежуточное. Промежуточное могло уже содержать ошибку, и подстановка в него её не поймает.
Правила и формулы
- К обеим частям можно прибавить одно и то же
- Обе части можно умножить или разделить на ненулевое число
- Перенос через знак равенства меняет знак слагаемого
2x + 5 = 13 → 2x = 13 − 5 - Деление на коэффициент
2x = 8 → x = 4 - Особые случаи
0 · x = 5 - корней нет; 0 · x = 0 - любое число
Порядок действий
- Раскройте скобки и приведите подобные в каждой части.
- Перенесите слагаемые с переменной влево, числа вправо, меняя знаки.
- Приведите подобные ещё раз.
- Разделите обе части на коэффициент при переменной.
- Подставьте корень в исходное уравнение и проверьте.
Разбор примеров
- Переносим 5 вправо со знаком минус: 2x = 13 − 5.
- 2x = 8.
- Делим на 2: x = 4.
- Проверка: 2 · 4 + 5 = 13.
- Раскрываем скобки: 3x − 6 = 9.
- Переносим: 3x = 9 + 6 = 15.
- Делим: x = 5.
- Проверка: 3 · (5 − 2) = 9.
- Переменные влево, числа вправо: 5x − 3x = 1 + 7.
- 2x = 8.
- x = 4
Где обычно ошибаются
- Переносят слагаемое, не меняя знак.
- Раскрывают скобки, умножая только на первое слагаемое.
- Проверяют корень подстановкой в промежуточное уравнение вместо исходного.
Уравнение с x в обеих частях
Определения
- Приведение подобных
- Сложение слагаемых с одинаковой буквенной частью: 5x − 3x = 2x. Коэффициенты складывают, буквенная часть не меняется.
Объяснение
Когда переменная стоит в обеих частях, решение не усложняется принципиально - добавляется один шаг: собрать все слагаемые с переменной в одной части, а все числа в другой.
Слагаемые с переменной обычно переносят влево, а числа вправо, но это лишь традиция. Можно и наоборот - иногда так даже удобнее, если коэффициент справа больше и после переноса не появится отрицательного коэффициента.
При каждом переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный. Это следует из того, что мы вычитаем одно и то же из обеих частей. В уравнении 5x − 7 = 3x + 1 переносим 3x влево - оно становится −3x, переносим −7 вправо - оно становится +7.
После переноса приводят подобные: 5x − 3x = 2x слева, 1 + 7 = 8 справа. Получается простое линейное уравнение 2x = 8, откуда x = 4.
Отдельно надо разбирать случай, когда переменные взаимно уничтожаются. Если после переноса слева осталось 0 · x, а справа ненулевое число, корней нет. Если справа тоже ноль, корнем будет любое число. Это не тупик решения, а полноценный ответ.
Если в уравнении есть скобки, их раскрывают до переноса. Особенно внимательным надо быть со скобкой, перед которой стоит минус: он меняет знак каждого слагаемого внутри, а не только первого. Выражение −(2x − 3) превращается в −2x + 3.
Правила и формулы
- Переменные собирают в одной части, числа в другой
- При переносе знак меняется
5x − 7 = 3x + 1 → 5x − 3x = 1 + 7 - Приведение подобных
5x − 3x = 2x - Скобки раскрывают до переноса
- Если переменные уничтожились
0 = 5 - корней нет; 0 = 0 - любое число
Порядок действий
- Раскройте все скобки.
- Перенесите слагаемые с переменной в одну часть, числа в другую.
- Приведите подобные в обеих частях.
- Разделите на коэффициент при переменной.
- Проверьте подстановкой в исходное уравнение.
Разбор примеров
- Переносим 3x влево, −7 вправо.
- 5x − 3x = 1 + 7.
- 2x = 8, значит x = 4.
- Проверка: 5 · 4 − 7 = 13 и 3 · 4 + 1 = 13.
- Раскрываем скобки: 4x + 4 = 2x + 10.
- Переносим: 4x − 2x = 10 − 4.
- 2x = 6, значит x = 3.
- Переносим: 2x − 2x = 5 − 3.
- Слева 0, справа 2.
- Равенство 0 = 2 неверно ни при каком x.
Где обычно ошибаются
- Переносят слагаемое, сохранив знак.
- Перед скобкой стоит минус, а знаки внутри меняют только у первого слагаемого.
- Считают, что уравнение без корней решено неверно, и ищут ошибку там, где её нет.
Формулы сокращённого умножения
Определения
- Формулы сокращённого умножения
- Тождества, позволяющие раскрывать скобки и раскладывать на множители без пошагового перемножения: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов.
- Тождество
- Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных.
Объяснение
Формулы сокращённого умножения не вводят ничего нового - каждую можно получить обычным раскрытием скобок. Ценность их в том, что они позволяют пропустить промежуточные шаги и, главное, работают в обратную сторону: раскладывают выражение на множители.
Квадрат суммы выводится так: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Средний член удваивается потому, что произведение ab получается дважды. Именно его чаще всего и теряют.
Квадрат разности отличается только знаком среднего члена: (a − b)² = a² − 2ab + b². Последний член остаётся положительным - он квадрат, а квадрат неотрицателен при любом знаке b.
Разность квадратов работает в другую сторону и потому особенно полезна: a² − b² = (a − b)(a + b). Средние члены при раскрытии взаимно уничтожаются, поэтому произведение суммы на разность даёт именно разность квадратов, без лишних слагаемых.
Обратное применение формул - разложение на множители - главный практический смысл темы. Выражение x² − 9 сразу раскладывается как (x − 3)(x + 3), а x² + 6x + 9 узнаётся как (x + 3)². Это позволяет сокращать дроби, решать уравнения и упрощать громоздкие выражения.
Важно помнить, чего формул НЕ существует. Суммы квадратов a² + b² на множители в действительных числах разложить нельзя. Попытка написать (a + b)² вместо a² + b² - самая устойчивая ошибка алгебры, и проверяется она подстановкой любых чисел: при a = 3 и b = 4 первое даёт 49, второе 25.
Правила и формулы
- Квадрат суммы
(a + b)² = a² + 2ab + b² - Квадрат разности
(a − b)² = a² − 2ab + b² - Разность квадратов
a² − b² = (a − b)(a + b) - Сумма квадратов на множители не раскладывается
- Формулы работают в обе стороны
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Порядок действий
- Определите, какая формула подходит: два квадрата с минусом - разность квадратов; три слагаемых - квадрат суммы или разности.
- Найдите, что играет роль a и что роль b.
- Проверьте средний член: он обязан равняться удвоенному произведению.
- Запишите результат по формуле.
- Проверьте, подставив любые числа вместо букв.
Разбор примеров
- Это квадрат суммы, a = x, b = 3.
- a² = x², b² = 9.
- Удвоенное произведение: 2 · x · 3 = 6x.
- Это разность квадратов: x² и 5².
- Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b).
- Три слагаемых, последний квадрат: 16 = 4².
- Проверяем средний член: 2 · x · 4 = 8x - совпадает.
- Знак минус значит квадрат разности.
Где обычно ошибаются
- Забывают удвоить средний член: пишут (x + 3)² = x² + 9.
- Пытаются разложить сумму квадратов.
- В квадрате разности делают отрицательным последний член.
Теорема Виета
Определения
- Приведённое квадратное уравнение
- Уравнение вида x² + px + q = 0, у которого коэффициент при x² равен единице.
- Теорема Виета
- Для приведённого квадратного уравнения сумма корней равна −p, а произведение корней равно q.
Объяснение
Теорема Виета даёт способ находить корни подбором, минуя дискриминант. Для уравнений с небольшими целыми корнями это заметно быстрее, а заодно позволяет проверить корни, найденные другим способом.
Формулировка такая: если x₁ и x₂ - корни уравнения x² + px + q = 0, то их сумма равна −p, а произведение равно q. Обратите внимание на знак: сумма равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение - свободному члену без изменения знака.
Откуда это берётся, видно из разложения. Если корни x₁ и x₂, то многочлен раскладывается как (x − x₁)(x − x₂). Раскрыв скобки, получаем x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Сравнив с исходной записью, сразу получаем обе формулы.
Подбор ведут от произведения, а не от суммы: множителей у числа обычно немного, а пар с заданной суммой бесконечно много. Для уравнения x² − 5x + 6 = 0 ищем два числа с произведением 6: это 1 и 6, 2 и 3. Из них сумму 5 дают 2 и 3 - они и есть корни.
Знаки корней определяются по знакам p и q. Если произведение положительно, корни одного знака, и знак этот противоположен знаку p. Если произведение отрицательно, корни разных знаков, и больший по модулю имеет знак, противоположный p.
Теорема применима только к приведённому уравнению. Если коэффициент при x² не равен единице, уравнение сначала делят на него - или пользуются дискриминантом. Забыть про это условие - самая частая ошибка при использовании теоремы.
Правила и формулы
- Теорема Виета
x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q - Работает только для приведённого уравнения
x² + px + q = 0 - Подбор ведут от произведения
- Произведение положительно - корни одного знака
- Произведение отрицательно - корни разных знаков
Порядок действий
- Убедитесь, что коэффициент при x² равен единице.
- Выпишите: сумма корней равна −p, произведение равно q.
- Переберите пары множителей свободного члена.
- Выберите ту пару, сумма которой подходит.
- Проверьте оба корня подстановкой в уравнение.
Разбор примеров
- Сумма корней равна 5, произведение 6.
- Пары множителей шести: 1 и 6, 2 и 3.
- Сумму 5 даёт пара 2 и 3.
- Проверка: 4 − 10 + 6 = 0.
- Сумма корней равна −1, произведение −6.
- Произведение отрицательно - корни разных знаков.
- Пара −3 и 2 даёт произведение −6 и сумму −1.
- Сумма 7, произведение 12.
- Пары: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
- Сумму 7 даёт 3 и 4.
Где обычно ошибаются
- Применяют теорему к неприведённому уравнению.
- Берут сумму корней равной p, а не −p.
- Подбирают от суммы, а не от произведения, и перебирают бесконечно.
Квадратное уравнение: дискриминант
Определения
- Квадратное уравнение
- Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю.
- Дискриминант
- Число D = b² − 4ac. Его знак определяет количество корней уравнения.
- Формула корней
- x = (−b ± √D) / (2a). Даёт оба корня квадратного уравнения при неотрицательном дискриминанте.
Объяснение
Дискриминант - универсальный способ решения квадратного уравнения: он работает всегда, при любых коэффициентах, в отличие от теоремы Виета и разложения на множители, которые удобны лишь в частных случаях.
Слово «дискриминант» означает «различающий»: это число различает случаи по количеству корней. Если D больше нуля, корня два. Если D равен нулю, корень один - точнее, два совпавших. Если D меньше нуля, действительных корней нет.
Формула корней получается выделением полного квадрата из общего уравнения, и подкоренным выражением там как раз оказывается b² − 4ac. Поэтому отрицательный дискриминант и означает отсутствие корней: под корнем не может стоять отрицательное число.
Работать надо строго по шагам. Сначала привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0 - все слагаемые в одной части, справа ноль. Затем выписать a, b и c вместе со знаками. Затем посчитать дискриминант. И только потом применять формулу корней.
Больше всего ошибок даёт выписывание коэффициентов. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b равен −5, а не 5, и знак обязан войти в формулу. Полезно выписывать a, b, c отдельной строкой перед вычислениями - это дисциплинирует.
Если коэффициент b чётный, счёт сокращается: можно пользоваться формулой через половину b, что уменьшает числа вчетверо. Но это удобство, а не обязанность - обычная формула работает всегда.
Правила и формулы
- Дискриминант
D = b² − 4ac - Корни
x = (−b ± √D) / (2a) - D > 0 - два корня
- D = 0 - один корень
x = −b / (2a) - D < 0 - действительных корней нет
Порядок действий
- Приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0.
- Выпишите коэффициенты a, b, c вместе со знаками.
- Посчитайте дискриминант D = b² − 4ac.
- Определите количество корней по знаку D.
- Подставьте в формулу корней и проверьте ответ по теореме Виета.
Разбор примеров
- Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.
- D = 25 − 24 = 1, значит корня два.
- x = (5 ± 1)/2.
- x₁ = 3, x₂ = 2.
- Коэффициенты: a = 2, b = 4, c = −6.
- D = 16 + 48 = 64, корень из него 8.
- x = (−4 ± 8)/4.
- x₁ = 1, x₂ = −3.
- Коэффициенты: a = 1, b = 2, c = 5.
- D = 4 − 20 = −16.
- Дискриминант отрицательный.
Где обычно ошибаются
- Выписывают коэффициент b без знака.
- В формуле корней забывают минус перед b.
- Делят на a вместо 2a.
Сколько корней у уравнения
Определения
- Количество корней
- Число различных значений переменной, обращающих уравнение в верное равенство. У квадратного уравнения их может быть два, один или ни одного.
Объяснение
Иногда сами корни не нужны - достаточно знать, сколько их. Такой вопрос встречается в задачах на параметр, при исследовании функций и просто как быстрая проверка перед решением.
Ответ полностью определяется знаком дискриминанта, и считать корни для этого не требуется. Положительный дискриминант - два различных корня. Нулевой - один корень, который иногда называют двукратным. Отрицательный - действительных корней нет.
Геометрический смысл нагляден: график квадратичной функции - парабола, а корни уравнения это точки её пересечения с осью x. Парабола может пересечь ось в двух точках, коснуться её в одной или пройти мимо, не задев. Три случая дискриминанта - это ровно три положения параболы.
Считать дискриминант целиком часто не обязательно. Если a и c имеют разные знаки, произведение 4ac отрицательно, значит −4ac положительно, и дискриминант заведомо положителен - корня всегда два. Это соображение экономит время и уменьшает шанс арифметической ошибки.
В задачах с параметром вопрос обычно ставится наоборот: при каких значениях параметра корней два, один или ни одного. Тогда составляют неравенство относительно дискриминанта и решают его. Условие «один корень» даёт уравнение D = 0.
Важно не забывать условие a ≠ 0. Если коэффициент при квадрате обращается в ноль, уравнение перестаёт быть квадратным и становится линейным, а у линейного уравнения свои правила подсчёта корней.
Правила и формулы
- Количество корней определяет знак дискриминанта
D = b² − 4ac - D > 0 - два корня
- D = 0 - один корень
- D < 0 - корней нет
- Если a и c разных знаков, корня всегда два
Порядок действий
- Приведите уравнение к стандартному виду.
- Проверьте, что коэффициент при квадрате не равен нулю.
- Посмотрите на знаки a и c - при разных знаках ответ уже известен.
- Иначе посчитайте дискриминант.
- Сделайте вывод по его знаку.
Разбор примеров
- a = 1, b = −4, c = 4.
- D = 16 − 16 = 0.
- Дискриминант равен нулю.
- a = 1, b = 1, c = 3.
- D = 1 − 12 = −11.
- Дискриминант отрицательный.
- a = 2 и c = −5 разных знаков.
- Значит −4ac положительно и дискриминант заведомо больше нуля.
Где обычно ошибаются
- Считают, что нулевой дискриминант означает отсутствие корней.
- Забывают проверить, что уравнение действительно квадратное.
- В задачах с параметром решают уравнение вместо неравенства для дискриминанта.
Система двух линейных уравнений
Определения
- Система уравнений
- Несколько уравнений, решения которых надо найти одновременно. Решением системы называют пару чисел, удовлетворяющую каждому уравнению.
- Метод подстановки
- Способ решения, при котором из одного уравнения выражают переменную и подставляют это выражение в другое.
- Метод сложения
- Способ решения, при котором уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна переменная исчезла.
Объяснение
Система - это требование выполнить оба уравнения сразу. Пара чисел, подходящая только к одному из них, решением не является. Поэтому проверять ответ надо подстановкой в оба уравнения, а не в одно.
Идея решения одна для всех методов: свести систему к одному уравнению с одной переменной, которое мы уже умеем решать. Различаются методы только способом избавиться от второй переменной.
Метод подстановки: выражаем одну переменную через другую из того уравнения, где это проще, и подставляем в оставшееся. Проще всего выражать переменную с коэффициентом единица - тогда не появится дробей.
Метод сложения: подбираем множители так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и складываем уравнения - эта переменная исчезнет. Если коэффициенты уже противоположны или равны, множители не нужны. Метод особенно удобен, когда обе переменные имеют неудобные коэффициенты.
Геометрический смысл помогает понять число решений. Каждое линейное уравнение задаёт прямую на плоскости, а решение системы - точку их пересечения. Прямые могут пересечься в одной точке (единственное решение), быть параллельными (решений нет) или совпасть (решений бесконечно много).
Найдя одну переменную, вторую находят подстановкой в любое из исходных уравнений - обычно в то, что проще. Записывать ответ надо парой, указывая, какое число какой переменной соответствует.
Правила и формулы
- Решение системы - пара чисел, подходящая обоим уравнениям
- Метод подстановки: выразить и подставить
- Метод сложения: уравнять коэффициенты и сложить
- Геометрически решение - точка пересечения прямых
- Прямые параллельны - решений нет, совпадают - решений бесконечно много
Порядок действий
- Выберите метод: подстановка удобна при коэффициенте единица, сложение - в остальных случаях.
- Избавьтесь от одной переменной.
- Решите полученное уравнение с одной переменной.
- Подставьте найденное значение в любое исходное уравнение и найдите вторую переменную.
- Проверьте пару подстановкой в оба уравнения.
Разбор примеров
- Коэффициенты при y противоположны - складываем уравнения.
- 2x = 8, значит x = 4.
- Подставляем в первое: 4 + y = 7, значит y = 3.
- Проверка: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1.
- Первое уравнение уже выражает y.
- Подставляем во второе: 3x + 2x − 1 = 9.
- 5x = 10, значит x = 2.
- Тогда y = 2 · 2 − 1 = 3.
- Из второго выражаем x = y + 1.
- Подставляем: 2(y + 1) + 3y = 12.
- 5y + 2 = 12, значит y = 2.
- Тогда x = 3.
Где обычно ошибаются
- Находят одну переменную и забывают найти вторую.
- Проверяют ответ подстановкой только в одно уравнение.
- При сложении уравнений складывают левые части, а правые вычитают.
Модуль числа
Определения
- Модуль числа
- Расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Модуль неотрицателен: |−7| = 7, |7| = 7, |0| = 0.
- Раскрытие модуля
- Замена знака модуля на выражение без него: если под модулем неотрицательное число, модуль просто убирают; если отрицательное, выражение берут с противоположным знаком.
Объяснение
Модуль отвечает на вопрос «как далеко от нуля», игнорируя направление. Поэтому он никогда не бывает отрицательным: расстояние не может быть меньше нуля.
Правило раскрытия зависит от знака того, что стоит под модулем, и только от него. Если подмодульное выражение неотрицательно, модуль убирают без изменений. Если отрицательно, выражение записывают с противоположным знаком: |−7| = −(−7) = 7.
В числовых выражениях порядок работы такой: сначала полностью вычисляют то, что стоит под модулем, потом раскрывают модуль, и только затем выполняют оставшиеся действия. Модуль работает как скобка - его содержимое считают целиком.
Частая ошибка - раскрывать модуль по слагаемым. Выражение |3 − 8| равно |−5| = 5, а не |3| − |8| = −5. Модуль суммы или разности не равен сумме или разности модулей.
Свойства, которые действительно есть: модуль произведения равен произведению модулей, модуль частного равен частному модулей. То есть для умножения и деления модуль распределяется, а для сложения и вычитания - нет.
Полезно помнить: |a| = |−a| для любого числа, и |a|² = a². Первое свойство означает, что противоположные числа имеют одинаковый модуль, второе часто используют при решении уравнений с модулем, где обе части возводят в квадрат.
Правила и формулы
- Модуль неотрицателен
|a| ≥ 0 - Раскрытие модуля
|a| = a при a ≥ 0; |a| = −a при a < 0 - Модуль работает как скобка
|3 − 8| = |−5| = 5 - Модуль произведения
|ab| = |a| · |b| - Для суммы такого свойства нет
|a + b| ≠ |a| + |b|
Порядок действий
- Вычислите полностью всё, что стоит под знаком модуля.
- Посмотрите на знак получившегося числа.
- Если оно неотрицательно, уберите модуль.
- Если отрицательно, запишите его с противоположным знаком.
- Выполните оставшиеся действия в обычном порядке.
Разбор примеров
- Считаем под первым модулем: 3 − 8 = −5.
- |−5| = 5.
- |−2| = 2.
- 5 + 2 = 7
- Модуль произведения равен произведению модулей.
- 7 · 2 = 14
- Под модулем: 5 − 5 = 0.
- |0| = 0.
- 0 − 3 = −3
Где обычно ошибаются
- Раскрывают модуль по слагаемым: |3 − 8| считают как |3| − |8|.
- Получают отрицательный модуль.
- Раскрывают модуль до того, как вычислили его содержимое.
Уравнение с модулем
Определения
- Уравнение с модулем
- Уравнение, в котором переменная стоит под знаком модуля: |x − 3| = 5. Обычно распадается на несколько случаев.
Объяснение
Уравнение с модулем решают, избавляясь от модуля. Поскольку модуль раскрывается по-разному в зависимости от знака подмодульного выражения, уравнение распадается на два случая, и оба надо рассмотреть.
Простейший вид - |выражение| = число. Если число положительное, подмодульное выражение может равняться и ему, и ему же с минусом. Уравнение |x − 3| = 5 распадается на x − 3 = 5 и x − 3 = −5, откуда x = 8 и x = −2.
Смысл этого виден на прямой: |x − 3| - это расстояние от точки x до точки 3. Условие «расстояние равно пяти» выполняется для двух точек: одна на пять правее тройки, другая на пять левее. Отсюда сразу два корня.
Правая часть решает всё. Если справа стоит положительное число, корней два. Если ноль - корень один, потому что расстояние нулевое только до самой точки. Если справа отрицательное число, корней нет вовсе: модуль не может быть отрицательным.
Когда переменная есть и справа, случаев по-прежнему два, но каждый требует проверки. Из уравнения |x| = 2x − 3 получаем x = 2x − 3 и −x = 2x − 3, то есть x = 3 и x = 1. Но подстановка показывает, что x = 1 не подходит: слева 1, справа −1. Такие посторонние корни надо отсеивать проверкой.
Проверка в уравнениях с модулем не формальность, а обязательный шаг решения. Раскрытие модуля расширяет множество решений, и лишние корни появляются закономерно, а не из-за ошибок.
Правила и формулы
- Простейшее уравнение распадается на два
|x − 3| = 5 → x − 3 = 5 или x − 3 = −5 - Правая часть положительна - два корня
- Правая часть равна нулю - один корень
- Правая часть отрицательна - корней нет
|x| = −4 решений не имеет - Найденные корни обязательно проверяют подстановкой
Порядок действий
- Посмотрите на правую часть: если там отрицательное число, ответ - корней нет.
- Приравняйте подмодульное выражение к правой части.
- Приравняйте его же к правой части с противоположным знаком.
- Решите оба уравнения.
- Подставьте каждый корень в исходное уравнение и отсейте посторонние.
Разбор примеров
- Первый случай: x − 3 = 5, значит x = 8.
- Второй случай: x − 3 = −5, значит x = −2.
- Проверка: |8 − 3| = 5 и |−2 − 3| = 5.
- Первый случай: 2x = 10, значит x = 5.
- Второй случай: 2x = −10, значит x = −5.
- Справа отрицательное число.
- Модуль не может быть отрицательным.
Где обычно ошибаются
- Рассматривают только один случай и теряют корень.
- Не проверяют корни и оставляют посторонние.
- Решают уравнение с отрицательной правой частью вместо того, чтобы сразу сказать «корней нет».
Пример с решением
- 9(x + 14) = 9 · (7 + 14)
- = 9 · 21 = 189
- 6(x + 20) = 6 · (3 + 20)
- = 6 · 23 = 138
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.