Сколько корней у уравнения: как решать
Определить, сколько корней у квадратного уравнения.
Определения
- Количество корней
- Число различных значений переменной, обращающих уравнение в верное равенство. У квадратного уравнения их может быть два, один или ни одного.
Объяснение
Иногда сами корни не нужны - достаточно знать, сколько их. Такой вопрос встречается в задачах на параметр, при исследовании функций и просто как быстрая проверка перед решением.
Ответ полностью определяется знаком дискриминанта, и считать корни для этого не требуется. Положительный дискриминант - два различных корня. Нулевой - один корень, который иногда называют двукратным. Отрицательный - действительных корней нет.
Геометрический смысл нагляден: график квадратичной функции - парабола, а корни уравнения это точки её пересечения с осью x. Парабола может пересечь ось в двух точках, коснуться её в одной или пройти мимо, не задев. Три случая дискриминанта - это ровно три положения параболы.
Считать дискриминант целиком часто не обязательно. Если a и c имеют разные знаки, произведение 4ac отрицательно, значит −4ac положительно, и дискриминант заведомо положителен - корня всегда два. Это соображение экономит время и уменьшает шанс арифметической ошибки.
В задачах с параметром вопрос обычно ставится наоборот: при каких значениях параметра корней два, один или ни одного. Тогда составляют неравенство относительно дискриминанта и решают его. Условие «один корень» даёт уравнение D = 0.
Важно не забывать условие a ≠ 0. Если коэффициент при квадрате обращается в ноль, уравнение перестаёт быть квадратным и становится линейным, а у линейного уравнения свои правила подсчёта корней.
Правила и формулы
- Количество корней определяет знак дискриминанта
D = b² − 4ac - D > 0 - два корня
- D = 0 - один корень
- D < 0 - корней нет
- Если a и c разных знаков, корня всегда два
Порядок действий
- Приведите уравнение к стандартному виду.
- Проверьте, что коэффициент при квадрате не равен нулю.
- Посмотрите на знаки a и c - при разных знаках ответ уже известен.
- Иначе посчитайте дискриминант.
- Сделайте вывод по его знаку.
Разбор примеров
- a = 1, b = −4, c = 4.
- D = 16 − 16 = 0.
- Дискриминант равен нулю.
- a = 1, b = 1, c = 3.
- D = 1 − 12 = −11.
- Дискриминант отрицательный.
- a = 2 и c = −5 разных знаков.
- Значит −4ac положительно и дискриминант заведомо больше нуля.
Где обычно ошибаются
- Считают, что нулевой дискриминант означает отсутствие корней.
- Забывают проверить, что уравнение действительно квадратное.
- В задачах с параметром решают уравнение вместо неравенства для дискриминанта.
Примеры с решением
- D = 6² − 4 · 1 · 15 = −24
- Дискриминант отрицательный — корней нет
- Ответ: 0
- D = 0² − 4 · 1 · 0 = 0
- Дискриминант равен нулю — корень один
- Ответ: 1
- D = 0² − 4 · 1 · −9 = 36
- Дискриминант положительный — корня два
- Ответ: 2
- D = 18² − 4 · 3 · 15 = 144
- Дискриминант положительный — корня два
- Ответ: 2
- D = 1² − 4 · 2 · 7 = −55
- Дискриминант отрицательный — корней нет
- Ответ: 0
Подсказки, если не получается
- Считать сами корни не нужно — достаточно дискриминанта.
- D = b² − 4ac.
- Здесь D = −24.
Другие темы раздела «Выражения и уравнения»
- Значение буквенного выражения
- Линейное уравнение
- Уравнение с x в обеих частях
- Формулы сокращённого умножения
- Теорема Виета
- Квадратное уравнение: дискриминант
- Система двух линейных уравнений
- Модуль числа
- Уравнение с модулем
Полная справка по разделу — на странице Выражения и уравнения.