Совместная работа: как решать

Найти время совместной работы.

Определения

Производительность: Доля работы, выполняемая за единицу времени. Если работа делается за 6 часов, производительность равна 1/6 работы в час.
Совместная производительность: Сумма производительностей всех работающих одновременно.

Объяснение

Задачи на совместную работу решаются одним приёмом: всю работу принимают за единицу. Тогда производительность каждого исполнителя - это дробь, показывающая, какую часть работы он делает за час.

Если один делает работу за 6 часов, то за час он выполняет одну шестую. Если второй справляется за 3 часа, его производительность одна треть. Эти дроби и есть рабочие величины задачи.

При совместной работе производительности складываются: за час двое вместе делают 1/6 + 1/3 = 1/2 работы. Складываются именно производительности, а не времена - это ключевой момент темы.

Почему нельзя складывать времена, видно из здравого смысла: если один справляется за 3 часа, то вдвоём они точно уложатся быстрее трёх часов, а сумма 9 часов противоречит этому очевидным образом.

Найдя совместную производительность, время находят делением: вся работа, то есть единица, делится на производительность. Половина работы в час означает, что вся работа займёт 1 : 1/2 = 2 часа.

Проверять надо по смыслу: время совместной работы обязано быть меньше времени самого быстрого исполнителя. Если получилось больше, значит где-то сложили не то.

Задачи на трубы, наполняющие бассейн, устроены точно так же. Если одна труба наполняет бассейн, а другая опорожняет, производительность второй берут со знаком минус, и они вычитаются.

Правила и формулы

Всю работу принимают за единицу
Производительностьp = 1 / t
При совместной работе производительности складываютсяp = p₁ + p₂
Время совместной работыt = 1 : (p₁ + p₂)
Труба на слив даёт отрицательную производительность

Порядок действий

Примите всю работу за единицу.
Найдите производительность каждого как единицу, делённую на его время.
Сложите производительности работающих вместе.
Разделите единицу на полученную сумму.
Проверьте: результат меньше времени самого быстрого.

Разбор примеров

Один делает за 6 ч, другой за 3 ч. За сколько вместе?

Производительности: 1/6 и 1/3.
Сумма: 1/6 + 2/6 = 1/2.
Время: 1 : 1/2 = 2 ч.
Проверка: меньше трёх часов.

Ответ: 2 ч

Один за 4 ч, другой за 12 ч. За сколько вместе?

Производительности: 1/4 и 1/12.
Сумма: 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3.
Время: 3 ч.

Ответ: 3 ч

Труба наполняет за 5 ч, слив опорожняет за 10 ч. За сколько наполнится?

Производительности: 1/5 и −1/10.
Сумма: 2/10 − 1/10 = 1/10.
Время: 10 ч.

Ответ: 10 ч

Где обычно ошибаются

Складывают времена вместо производительностей.
Забывают разделить единицу на сумму и дают в ответе саму производительность.
Не проверяют, что совместное время меньше времени самого быстрого.

Примеры с решением

1. Первый принтер печатает 9 страниц в час, второй — 8 страниц в час. За сколько часов они вместе сделают 34 страницы?

Вместе за час: 9 + 8 = 17
Время: 34 : 17 = 2 ч

Ответ: 2

2. Первый принтер печатает 12 страниц в час, второй — 3 страницы в час. За сколько часов они вместе сделают 30 страниц?

Вместе за час: 12 + 3 = 15
Время: 30 : 15 = 2 ч

Ответ: 2

3. Первый рабочий делает 10 деталей в час, второй — 10 деталей в час. За сколько часов они вместе сделают 160 деталей?

Вместе за час: 10 + 10 = 20
Время: 160 : 20 = 8 ч

Ответ: 8

4. Первый рабочий делает 12 деталей в час, второй — 11 деталей в час. За сколько часов они вместе сделают 161 деталь?

Вместе за час: 12 + 11 = 23
Время: 161 : 23 = 7 ч

Ответ: 7

5. Первый принтер печатает 10 страниц в час, второй — 7 страниц в час. За сколько часов они вместе сделают 136 страниц?

Вместе за час: 10 + 7 = 17
Время: 136 : 17 = 8 ч

Ответ: 8

Подсказки, если не получается

Складывать надо производительности, а не времена.
Вместе за час получается 17 страниц.
Разделите весь объём на эту величину.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Большие задачи и логика»

Полная справка по разделу — на странице Большие задачи и логика.