Большие задачи и логика
Такие задачи решают не в одно действие: сначала разбирают условие, потом составляют выражение и только затем считают.
Содержание
- Движение навстречуНайти время до встречи при движении навстречу.
- Движение вдогонкуНайти время до момента, когда один догонит другого.
- Движение по рекеНайти путь или скорость при движении по реке.
- Совместная работаНайти время совместной работы.
- Смеси и растворыНайти концентрацию смеси.
- Деление в отношенииРазделить число в данном отношении.
- Задачи на возрастРешить задачу на возраст.
- Цифры числаРешить задачу про цифры числа.
- Логические задачиРешить логическую задачу.
Движение навстречу
Определения
- Скорость сближения
- Скорость, с которой сокращается расстояние между двумя телами. При движении навстречу равна сумме скоростей.
- Встреча
- Момент, когда расстояние между телами становится нулевым. Время до встречи равно начальному расстоянию, делённому на скорость сближения.
Объяснение
Задачи на встречное движение решаются одним приёмом: вместо того чтобы следить за каждым телом по отдельности, следят за расстоянием между ними. Оно сокращается равномерно, и вся задача превращается в обычную задачу на движение.
Скорость сокращения расстояния называют скоростью сближения. При движении навстречу друг другу оба тела работают на уменьшение разрыва, поэтому их скорости складываются. Если один идёт со скоростью 5 км/ч, а другой едет со скоростью 15 км/ч, расстояние между ними убывает на 20 километров за час.
Отсюда основная формула: время до встречи равно начальному расстоянию, делённому на скорость сближения. Для расстояния 100 километров и скорости сближения 20 км/ч время равно 100 : 20 = 5 часов.
Понять, почему складываются именно скорости, а не расстояния, помогает мысленный опыт: представьте, что второе тело стоит, а первое движется со скоростью, равной сумме. Разрыв будет сокращаться точно так же, и момент встречи наступит в тот же миг.
Найдя время, легко найти и место встречи: умножьте скорость любого из тел на это время - получите путь, пройденный им до встречи. Проверить можно вторым телом: сумма двух путей обязана дать начальное расстояние.
Отдельный случай - когда тела выходят не одновременно. Тогда сначала считают, сколько успело пройти вышедшее раньше тело, вычитают этот путь из начального расстояния, и только потом применяют формулу к оставшемуся разрыву.
Единицы должны быть согласованы: если скорость в километрах в час, то расстояние в километрах, а время получится в часах. Смешение километров с метрами - самая частая техническая ошибка в этих задачах.
Правила и формулы
- Скорость сближения при встречном движении
v = v₁ + v₂ - Время до встречи
t = S : (v₁ + v₂) - Путь каждого до встречи
S₁ = v₁ · t - Проверка
S₁ + S₂ = S - При разном времени выхода сначала вычитают пройденный путь
Порядок действий
- Выпишите скорости обоих тел и расстояние между ними.
- Приведите единицы в согласие.
- Сложите скорости - получите скорость сближения.
- Разделите расстояние на скорость сближения.
- При необходимости найдите путь каждого и проверьте сумму.
Разбор примеров
- Скорость сближения: 5 + 15 = 20 км/ч.
- Время: 100 : 20 = 5 ч.
- Проверка: 5 · 5 = 25 и 15 · 5 = 75, вместе 100.
- Сближение: 20 + 40 = 60 км/ч.
- 60 : 60 = 1 ч.
- Время встречи: 1 ч.
- Путь: 20 · 1 = 20 км.
Где обычно ошибаются
- Берут разность скоростей вместо суммы.
- Делят расстояние на одну из скоростей, а не на скорость сближения.
- Смешивают километры с метрами и часы с минутами.
Движение вдогонку
Определения
- Скорость удаления и сближения при движении вдогонку
- Разность скоростей. Разрыв сокращается только если догоняющий быстрее.
- Фора
- Расстояние, на которое ушёл вперёд первый участник к моменту старта второго.
Объяснение
Движение вдогонку устроено так же, как встречное, но разрыв сокращается медленнее: второе тело не идёт навстречу, а движется в ту же сторону. Поэтому скорости не складывают, а вычитают.
Скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей. Если велосипедист едет со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист со скоростью 17 км/ч, разрыв сокращается всего на 5 километров в час.
Отсюда важное условие: догнать можно только если догоняющий быстрее. Если скорости равны, разрыв не меняется, и встречи не будет никогда. Если догоняющий медленнее, разрыв растёт. Проверять это стоит до вычислений - иначе получится отрицательное время.
Обычно догоняющий стартует позже, и первое действие задачи - найти фору. Это путь, который успел пройти первый за время до старта второго: умножаем его скорость на это время.
Дальше работает обычная формула: время равно форе, делённой на разность скоростей. Если велосипедист выехал на час раньше со скоростью 12 км/ч, фора равна 12 километрам, и мотоциклист догонит его через 12 : 5 = 2,4 часа.
Проверять надо сравнением путей: за найденное время оба должны оказаться на одном расстоянии от старта с учётом форы. Для нашего примера велосипедист пройдёт 12 + 12 · 2,4 = 40,8 км, мотоциклист 17 · 2,4 = 40,8 км - сходится.
Ответ часто получается дробным, и это нормально. Переводить его в часы и минуты стоит, только если задача просит именно такую форму ответа.
Правила и формулы
- Скорость сближения вдогонку
v = v₂ − v₁ - Догнать можно, только если догоняющий быстрее
- Фора
S₀ = v₁ · t₀ - Время до встречи
t = S₀ : (v₂ − v₁) - Проверка: расстояния от старта совпадают
Порядок действий
- Убедитесь, что догоняющий быстрее.
- Найдите фору: путь первого за время до старта второго.
- Вычтите меньшую скорость из большей.
- Разделите фору на полученную разность.
- Проверьте, сравнив пройденные пути.
Разбор примеров
- Фора: 12 · 1 = 12 км.
- Разность скоростей: 17 − 12 = 5 км/ч.
- Время: 12 : 5 = 2,4 ч.
- Разность: 60 − 40 = 20 км/ч.
- 30 : 20 = 1,5 ч.
- Разность скоростей равна нулю.
- Разрыв не сокращается.
Где обычно ошибаются
- Складывают скорости вместо вычитания.
- Забывают посчитать фору и делят на разность не то расстояние.
- Не проверяют, что догоняющий действительно быстрее.
Движение по реке
Определения
- Собственная скорость
- Скорость лодки в стоячей воде, без учёта течения.
- Скорость по течению
- Сумма собственной скорости и скорости течения: течение помогает.
- Скорость против течения
- Разность собственной скорости и скорости течения: течение мешает.
Объяснение
Задачи на движение по реке отличаются от обычных только тем, что к скорости лодки добавляется или вычитается скорость течения. Всё остальное - те же формулы пути, скорости и времени.
По течению река помогает, и скорости складываются. Против течения река мешает, и скорости вычитаются. Лодка с собственной скоростью 12 км/ч на реке с течением 2 км/ч идёт по течению со скоростью 14 км/ч, а против - 10 км/ч.
Отсюда следует, что путь туда и обратно занимает разное время, даже если расстояние одинаковое. Более того, среднее время оказывается больше, чем если бы течения не было вовсе: выигрыш по течению не покрывает потерь против него.
Обратные задачи решаются через полусумму и полуразность. Если известны скорости по течению и против, то собственная скорость равна их полусумме, а скорость течения - полуразности. Для 14 и 10 получаем собственную 12 и течение 2.
Понять это можно так: складывая обе скорости, мы дважды учитываем собственную и взаимно уничтожаем течение; вычитая - наоборот. Отсюда деление пополам в обоих случаях.
Отдельно стоит помнить про плот: он не имеет собственной скорости и движется ровно со скоростью течения. Задачи, где плот проплывает расстояние за известное время, дают скорость течения напрямую.
Проверка: скорость по течению обязана быть больше собственной, а против - меньше. Если получилось наоборот, значит сложение и вычитание перепутаны местами.
Правила и формулы
- По течению
v = v_соб + v_теч - Против течения
v = v_соб − v_теч - Собственная скорость
v_соб = (v_по + v_против) / 2 - Скорость течения
v_теч = (v_по − v_против) / 2 - Плот движется со скоростью течения
Порядок действий
- Выпишите собственную скорость и скорость течения.
- Определите направление движения относительно течения.
- Сложите скорости для движения по течению, вычтите для движения против.
- Примените обычную формулу пути или времени.
- Проверьте: по течению скорость больше собственной, против - меньше.
Разбор примеров
- Скорость по течению: 12 + 2 = 14 км/ч.
- Путь: 14 · 3 = 42 км.
- Собственная - полусумма.
- (14 + 10)/2 = 12.
- Течение - полуразность.
- (14 − 10)/2 = 2.
Где обычно ошибаются
- Складывают скорости при движении против течения.
- В обратных задачах берут разность и сумму, но забывают разделить пополам.
- Приписывают плоту собственную скорость.
Совместная работа
Определения
- Производительность
- Доля работы, выполняемая за единицу времени. Если работа делается за 6 часов, производительность равна 1/6 работы в час.
- Совместная производительность
- Сумма производительностей всех работающих одновременно.
Объяснение
Задачи на совместную работу решаются одним приёмом: всю работу принимают за единицу. Тогда производительность каждого исполнителя - это дробь, показывающая, какую часть работы он делает за час.
Если один делает работу за 6 часов, то за час он выполняет одну шестую. Если второй справляется за 3 часа, его производительность одна треть. Эти дроби и есть рабочие величины задачи.
При совместной работе производительности складываются: за час двое вместе делают 1/6 + 1/3 = 1/2 работы. Складываются именно производительности, а не времена - это ключевой момент темы.
Почему нельзя складывать времена, видно из здравого смысла: если один справляется за 3 часа, то вдвоём они точно уложатся быстрее трёх часов, а сумма 9 часов противоречит этому очевидным образом.
Найдя совместную производительность, время находят делением: вся работа, то есть единица, делится на производительность. Половина работы в час означает, что вся работа займёт 1 : 1/2 = 2 часа.
Проверять надо по смыслу: время совместной работы обязано быть меньше времени самого быстрого исполнителя. Если получилось больше, значит где-то сложили не то.
Задачи на трубы, наполняющие бассейн, устроены точно так же. Если одна труба наполняет бассейн, а другая опорожняет, производительность второй берут со знаком минус, и они вычитаются.
Правила и формулы
- Всю работу принимают за единицу
- Производительность
p = 1 / t - При совместной работе производительности складываются
p = p₁ + p₂ - Время совместной работы
t = 1 : (p₁ + p₂) - Труба на слив даёт отрицательную производительность
Порядок действий
- Примите всю работу за единицу.
- Найдите производительность каждого как единицу, делённую на его время.
- Сложите производительности работающих вместе.
- Разделите единицу на полученную сумму.
- Проверьте: результат меньше времени самого быстрого.
Разбор примеров
- Производительности: 1/6 и 1/3.
- Сумма: 1/6 + 2/6 = 1/2.
- Время: 1 : 1/2 = 2 ч.
- Проверка: меньше трёх часов.
- Производительности: 1/4 и 1/12.
- Сумма: 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3.
- Время: 3 ч.
- Производительности: 1/5 и −1/10.
- Сумма: 2/10 − 1/10 = 1/10.
- Время: 10 ч.
Где обычно ошибаются
- Складывают времена вместо производительностей.
- Забывают разделить единицу на сумму и дают в ответе саму производительность.
- Не проверяют, что совместное время меньше времени самого быстрого.
Смеси и растворы
Определения
- Концентрация
- Доля растворённого вещества в смеси. Может выражаться дробью или процентами.
- Масса вещества
- Количество чистого вещества в растворе. Равно массе раствора, умноженной на концентрацию.
Объяснение
Задачи на смеси решаются одним приёмом: считают не проценты, а массу чистого вещества. Проценты складывать нельзя, а массы - можно, и в этом весь секрет.
Масса вещества в растворе равна массе раствора, умноженной на концентрацию. В 200 граммах десятипроцентного раствора содержится 200 · 0,1 = 20 граммов вещества.
При смешивании двух растворов массы вещества складываются, и массы растворов тоже складываются. А вот концентрации не складываются и не усредняются простым способом - новая концентрация получается делением общей массы вещества на общую массу смеси.
Разберём: смешали 200 г десятипроцентного раствора и 300 г двадцатипроцентного. Вещества в первом 20 г, во втором 60 г, всего 80 г. Общая масса раствора 500 г. Концентрация: 80 : 500 = 0,16, то есть 16 процентов.
Заметьте, что 16 процентов - это не среднее между 10 и 20, а число ближе к двадцати, потому что второго раствора взяли больше. Простое усреднение дало бы 15 и было бы неверным.
Добавление чистой воды - частный случай: вода содержит ноль вещества, поэтому масса вещества не меняется, а масса раствора растёт. Добавление чистого вещества - наоборот: растут обе массы на одну и ту же величину.
Проверять надо на границах: концентрация смеси обязана лежать между концентрациями исходных растворов. Если вышла вне этого промежутка, значит где-то ошибка в массах.
Правила и формулы
- Масса вещества
m = M · c - При смешивании складывают массы вещества и массы растворов
- Новая концентрация
c = (m₁ + m₂) / (M₁ + M₂) - Концентрации напрямую не складываются
- Результат лежит между исходными концентрациями
Порядок действий
- Найдите массу чистого вещества в каждом растворе.
- Сложите массы вещества.
- Сложите массы растворов.
- Разделите общую массу вещества на общую массу смеси.
- Проверьте: концентрация между исходными.
Разбор примеров
- Вещества: 200 · 0,1 = 20 и 300 · 0,2 = 60.
- Всего вещества: 80 г.
- Всего раствора: 500 г.
- 80 : 500 = 0,16 = 16 %.
- Вещества было 20 г, вода его не добавляет.
- Масса раствора стала 200 г.
- 20 : 200 = 0,1 = 10 %.
- m = M · c.
- 400 · 0,15 = 60.
Где обычно ошибаются
- Складывают проценты вместо масс вещества.
- Берут среднее арифметическое концентраций, не учитывая массы.
- При добавлении воды меняют массу вещества.
Деление в отношении
Определения
- Отношение
- Запись вида 2 : 3, показывающая, во сколько раз одна часть больше другой.
- Одна часть
- Величина, приходящаяся на единицу отношения. Находится делением всего количества на сумму членов отношения.
Объяснение
Задачи на деление в отношении решаются через понятие одной части. Отношение 2 : 3 означает, что всё количество состоит из пяти равных частей: две из них идут одному, три другому.
Первый шаг - найти общее число частей, сложив члены отношения. Для 2 : 3 это 5. Для отношения из трёх чисел, например 1 : 2 : 3, складываем все три и получаем 6.
Второй шаг - найти величину одной части: делим всё количество на число частей. Если делим 40 конфет в отношении 2 : 3, одна часть равна 40 : 5 = 8 конфет.
Третий шаг - найти каждую долю: умножаем величину одной части на соответствующий член отношения. Первому достаётся 8 · 2 = 16, второму 8 · 3 = 24.
Проверять надо суммой: доли обязаны сложиться в исходное число. 16 + 24 = 40 - сходится. Это ловит и ошибку в делении, и ошибку в умножении.
Полезно проверить и само отношение: разделите большую долю на меньшую и сравните с отношением из условия. Для 24 и 16 получаем 3 : 2 - совпадает.
Иногда в условии дана не сумма, а разность долей или одна из долей. Тогда сначала находят величину одной части из этих данных: если разность долей равна 8, а в отношении разница составляет одну часть, значит часть равна 8. Дальше действуют как обычно: умножают часть на каждый член отношения.
Правила и формулы
- Число частей - сумма членов отношения
2 : 3 → 5 частей - Одна часть
часть = всего : число частей - Каждая доля
доля = часть · член отношения - Проверка суммой
16 + 24 = 40 - Проверка отношением
24 : 16 = 3 : 2
Порядок действий
- Сложите все члены отношения - получите число частей.
- Разделите общее количество на число частей.
- Умножьте величину одной части на каждый член отношения.
- Сложите полученные доли и сравните с исходным числом.
- Проверьте, что доли относятся как в условии.
Разбор примеров
- Частей: 2 + 3 = 5.
- Одна часть: 40 : 5 = 8.
- Доли: 8 · 2 = 16 и 8 · 3 = 24.
- Проверка: 16 + 24 = 40.
- Частей: 1 + 2 + 3 = 6.
- Одна часть: 60 : 6 = 10.
- Доли: 10, 20, 30.
- Разница в отношении - одна часть.
- Значит часть равна 8.
- Доли: 16 и 24.
Где обычно ошибаются
- Делят число на количество долей вместо суммы членов отношения.
- Забывают умножить одну часть на член отношения.
- Не проверяют сумму долей и не замечают ошибки.
Задачи на возраст
Определения
- Разность возрастов
- Величина, которая никогда не меняется: если отец старше сына на 25 лет, эта разница остаётся такой всю жизнь.
Объяснение
Задачи на возраст кажутся запутанными из-за слов «через сколько лет» и «сколько лет назад», но у них есть надёжная опора: разность возрастов постоянна.
Это главный факт темы. Оба человека стареют одинаково: за пять лет каждый становится старше на пять лет, поэтому разница между ними не меняется никогда. На этом и строится решение.
Обычный ход - обозначить неизвестное буквой и составить уравнение. Если сыну сейчас x лет, а отец старше на 25, то через 10 лет сыну будет x + 10, а отцу x + 35. Прибавлять надо обоим, и это самое частое место ошибок.
Разберём задачу: отец старше сына на 25 лет, а через 10 лет будет вдвое старше. Составляем: x + 35 = 2(x + 10). Раскрываем: x + 35 = 2x + 20, откуда x = 15. Сыну сейчас 15, отцу 40.
Проверять надо подстановкой в условие целиком, а не в уравнение. Через 10 лет сыну будет 25, отцу 50 - действительно вдвое больше. Разница осталась 25 лет, как и должна.
Слова «сколько лет назад» дают вычитание: возраст в прошлом равен нынешнему минус число лет. Здесь надо следить, чтобы результат не получился отрицательным - это признак ошибки в составлении уравнения.
Полезно записать данные таблицей: строки - люди, столбцы - моменты времени. Тогда сразу видно, что в каждом столбце разница одинакова, и уравнение составляется почти механически.
Правила и формулы
- Разность возрастов постоянна
- Через n лет прибавляют n обоим
x + n и y + n - n лет назад вычитают n у обоих
x − n и y − n - Отношение возрастов со временем меняется
- Проверка - подстановкой в условие, а не в уравнение
Порядок действий
- Обозначьте буквой возраст того, о ком спрашивают.
- Выразите через неё возраст второго с учётом разницы.
- Запишите возрасты в нужный момент, прибавив или вычтя годы обоим.
- Составьте уравнение по условию и решите его.
- Проверьте ответ подстановкой в исходное условие.
Разбор примеров
- Пусть сыну x лет, отцу x + 25.
- Через 10 лет: x + 10 и x + 35.
- Уравнение: x + 35 = 2(x + 10).
- x + 35 = 2x + 20, значит x = 15.
- Через n лет: 8 + n и 12 + n.
- Уравнение: 12 + n = 1,5(8 + n).
- 12 + n = 12 + 1,5n, значит n = 0.
- Через n лет: 40 + n и 10 + n.
- 40 + n = 2(10 + n).
- 40 + n = 20 + 2n, значит n = 20.
Где обычно ошибаются
- Прибавляют годы только одному из участников.
- Считают, что отношение возрастов не меняется со временем.
- Проверяют ответ в составленном уравнении вместо исходного условия.
Цифры числа
Определения
- Разрядная запись двузначного числа
- Число с цифрой десятков a и цифрой единиц b равно 10a + b, а не a · b и не ab как произведению.
- Перестановка цифр
- Замена числа 10a + b на число 10b + a. Разность таких чисел всегда кратна девяти.
Объяснение
Задачи про цифры требуют одного навыка: правильно записать число через его цифры. Двузначное число с цифрой десятков a и цифрой единиц b равно 10a + b. Записать его как ab - значит получить произведение цифр, а это совсем другое число.
Из этой записи выводится всё остальное. Число, полученное перестановкой цифр, равно 10b + a. Сумма цифр равна a + b, произведение - a · b.
Разберём задачу: сумма цифр двузначного числа равна 12, а при перестановке цифр число увеличивается на 18. Записываем: a + b = 12 и 10b + a = 10a + b + 18.
Второе уравнение упрощается: 9b − 9a = 18, то есть b − a = 2. Вместе с a + b = 12 получаем систему, откуда a = 5, b = 7. Число 57, проверка: 75 − 57 = 18, сумма цифр 12.
Полезно запомнить следствие: разность числа и числа с переставленными цифрами всегда делится на 9. Это следует из того, что она равна 9(b − a). Если в задаче такая разность не кратна девяти, значит условие противоречиво.
Не забывайте про ограничения на цифры. Каждая цифра - целое число от 0 до 9, причём первая цифра числа не может быть нулём. Найденное решение обязано этим ограничениям удовлетворять, иначе оно не годится.
Для трёхзначных чисел запись аналогична: 100a + 10b + c. Приём тот же, только уравнений и неизвестных больше.
Правила и формулы
- Двузначное число
10a + b - Число с переставленными цифрами
10b + a - Разность кратна девяти
(10b + a) − (10a + b) = 9(b − a) - Трёхзначное число
100a + 10b + c - Цифры целые от 0 до 9, первая не ноль
Порядок действий
- Обозначьте цифры буквами и запишите число через разряды.
- Запишите через те же буквы все величины из условия.
- Составьте уравнения по условию.
- Решите систему.
- Проверьте, что цифры целые, от 0 до 9, и первая не ноль.
Разбор примеров
- Пусть число 10a + b.
- a + b = 12.
- 10b + a = 10a + b + 18 даёт b − a = 2.
- Решая систему: a = 5, b = 7.
- 10a + b = 2(a + b).
- 10a + b = 2a + 2b, значит 8a = b.
- Годится a = 1, b = 8.
- Записываем: 10 · 4 + 7.
- 40 + 7 = 47.
Где обычно ошибаются
- Записывают двузначное число как произведение цифр.
- Забывают, что первая цифра не может быть нулём.
- Получают нецелые или больше девяти значения цифр и не отбрасывают их.
Логические задачи
Определения
- Логическая задача
- Задача, решаемая рассуждением, а не вычислением: перебором вариантов, исключением невозможного, построением таблицы.
- Метод исключения
- Приём, при котором последовательно отбрасывают варианты, противоречащие условию, пока не останется один.
Объяснение
Логические задачи решаются не формулами, а организованным рассуждением. Главное здесь - не сообразительность, а порядок: если перебирать варианты бессистемно, легко пропустить нужный или посчитать один дважды.
Основной приём - таблица. Строки и столбцы отвечают за два сопоставляемых признака: имена и профессии, дома и цвета. В клетках ставят плюс или минус по мере того, как условия исключают варианты.
Каждое утверждение условия переводят в отметки таблицы. Фраза «Петя не химик» ставит минус в соответствующей клетке. Когда в строке остаётся единственная свободная клетка, в неё ставят плюс, а по всему столбцу расставляют минусы.
Второй приём - рассуждение от противного. Предполагаем, что некоторое утверждение верно, и разворачиваем следствия. Если приходим к противоречию с условием, значит предположение неверно, и остаётся альтернатива.
Третий приём - перебор с отсечением. Выписываем все варианты и вычёркиваем те, что противоречат условию. Важно убедиться, что перебор полный: пропущенный вариант может оказаться единственным верным.
Проверять решение надо по всем условиям сразу, а не по тем, что использовали при выводе. Ответ считается найденным, только если он не противоречит ни одному утверждению из условия.
Полезная привычка - выписывать условия списком перед решением. Часть из них обычно оказывается ключевой, а часть - вспомогательной, и увидеть это проще в списке, чем в сплошном тексте.
Правила и формулы
- Таблица соответствий - основной инструмент
- Каждое утверждение переводят в плюс или минус в клетке
- Единственная свободная клетка в строке даёт плюс
- Рассуждение от противного: предположили, получили противоречие - отбросили
- Проверять решение надо по всем условиям сразу
Порядок действий
- Выпишите все условия списком.
- Постройте таблицу из сопоставляемых признаков.
- Отметьте в ней всё, что прямо следует из условий.
- Достройте таблицу, исключая невозможное.
- Проверьте полученный ответ по каждому условию.
Разбор примеров
- Боря не врач и не учитель - значит инженер.
- Аня не врач, инженер занят - значит учитель.
- Вере остаётся врач.
- Худший случай: первые два шара разного цвета.
- Третий шар обязательно совпадёт с одним из них.
- Делится на 2 и на 3 - значит на 6.
- Двузначные кратные шести: 12, 18, 24…
- Меньше 20: 12 и 18.
Где обычно ошибаются
- Перебирают варианты бессистемно и пропускают часть.
- Проверяют ответ только по тем условиям, которые использовали.
- В задачах «наверняка» рассматривают удачный случай вместо худшего.
Пример с решением
- Скорость сближения: 3 + 8 = 11 км/ч
- Время до встречи: 33 : 11 = 3 ч
- Скорость сближения: 7 + 7 = 14 км/ч
- Время до встречи: 70 : 14 = 5 ч
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.