Движение вдогонку: как решать
Найти время до момента, когда один догонит другого.
Определения
- Скорость удаления и сближения при движении вдогонку
- Разность скоростей. Разрыв сокращается только если догоняющий быстрее.
- Фора
- Расстояние, на которое ушёл вперёд первый участник к моменту старта второго.
Объяснение
Движение вдогонку устроено так же, как встречное, но разрыв сокращается медленнее: второе тело не идёт навстречу, а движется в ту же сторону. Поэтому скорости не складывают, а вычитают.
Скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей. Если велосипедист едет со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист со скоростью 17 км/ч, разрыв сокращается всего на 5 километров в час.
Отсюда важное условие: догнать можно только если догоняющий быстрее. Если скорости равны, разрыв не меняется, и встречи не будет никогда. Если догоняющий медленнее, разрыв растёт. Проверять это стоит до вычислений - иначе получится отрицательное время.
Обычно догоняющий стартует позже, и первое действие задачи - найти фору. Это путь, который успел пройти первый за время до старта второго: умножаем его скорость на это время.
Дальше работает обычная формула: время равно форе, делённой на разность скоростей. Если велосипедист выехал на час раньше со скоростью 12 км/ч, фора равна 12 километрам, и мотоциклист догонит его через 12 : 5 = 2,4 часа.
Проверять надо сравнением путей: за найденное время оба должны оказаться на одном расстоянии от старта с учётом форы. Для нашего примера велосипедист пройдёт 12 + 12 · 2,4 = 40,8 км, мотоциклист 17 · 2,4 = 40,8 км - сходится.
Ответ часто получается дробным, и это нормально. Переводить его в часы и минуты стоит, только если задача просит именно такую форму ответа.
Правила и формулы
- Скорость сближения вдогонку
v = v₂ − v₁ - Догнать можно, только если догоняющий быстрее
- Фора
S₀ = v₁ · t₀ - Время до встречи
t = S₀ : (v₂ − v₁) - Проверка: расстояния от старта совпадают
Порядок действий
- Убедитесь, что догоняющий быстрее.
- Найдите фору: путь первого за время до старта второго.
- Вычтите меньшую скорость из большей.
- Разделите фору на полученную разность.
- Проверьте, сравнив пройденные пути.
Разбор примеров
- Фора: 12 · 1 = 12 км.
- Разность скоростей: 17 − 12 = 5 км/ч.
- Время: 12 : 5 = 2,4 ч.
- Разность: 60 − 40 = 20 км/ч.
- 30 : 20 = 1,5 ч.
- Разность скоростей равна нулю.
- Разрыв не сокращается.
Где обычно ошибаются
- Складывают скорости вместо вычитания.
- Забывают посчитать фору и делят на разность не то расстояние.
- Не проверяют, что догоняющий действительно быстрее.
Примеры с решением
- Скорость сближения: 19 − 12 = 7 км/ч
- Время: 42 : 7 = 6 ч
- Скорость сближения: 10 − 3 = 7 км/ч
- Время: 21 : 7 = 3 ч
- Скорость сближения: 6 − 4 = 2 км/ч
- Время: 4 : 2 = 2 ч
- Скорость сближения: 12 − 7 = 5 км/ч
- Время: 20 : 5 = 4 ч
- Скорость сближения: 18 − 9 = 9 км/ч
- Время: 36 : 9 = 4 ч
Подсказки, если не получается
- Вдогонку - значит важна разность скоростей.
- За час разрыв сокращается на 7 км.
- Разделите разрыв на эту разность.
Другие темы раздела «Большие задачи и логика»
- Движение навстречу
- Движение по реке
- Совместная работа
- Смеси и растворы
- Деление в отношении
- Задачи на возраст
- Цифры числа
- Логические задачи
Полная справка по разделу — на странице Большие задачи и логика.