Смеси и растворы: как решать

Найти концентрацию смеси.

Определения

Концентрация: Доля растворённого вещества в смеси. Может выражаться дробью или процентами.
Масса вещества: Количество чистого вещества в растворе. Равно массе раствора, умноженной на концентрацию.

Объяснение

Задачи на смеси решаются одним приёмом: считают не проценты, а массу чистого вещества. Проценты складывать нельзя, а массы - можно, и в этом весь секрет.

Масса вещества в растворе равна массе раствора, умноженной на концентрацию. В 200 граммах десятипроцентного раствора содержится 200 · 0,1 = 20 граммов вещества.

При смешивании двух растворов массы вещества складываются, и массы растворов тоже складываются. А вот концентрации не складываются и не усредняются простым способом - новая концентрация получается делением общей массы вещества на общую массу смеси.

Разберём: смешали 200 г десятипроцентного раствора и 300 г двадцатипроцентного. Вещества в первом 20 г, во втором 60 г, всего 80 г. Общая масса раствора 500 г. Концентрация: 80 : 500 = 0,16, то есть 16 процентов.

Заметьте, что 16 процентов - это не среднее между 10 и 20, а число ближе к двадцати, потому что второго раствора взяли больше. Простое усреднение дало бы 15 и было бы неверным.

Добавление чистой воды - частный случай: вода содержит ноль вещества, поэтому масса вещества не меняется, а масса раствора растёт. Добавление чистого вещества - наоборот: растут обе массы на одну и ту же величину.

Проверять надо на границах: концентрация смеси обязана лежать между концентрациями исходных растворов. Если вышла вне этого промежутка, значит где-то ошибка в массах.

Правила и формулы

Масса веществаm = M · c
При смешивании складывают массы вещества и массы растворов
Новая концентрацияc = (m₁ + m₂) / (M₁ + M₂)
Концентрации напрямую не складываются
Результат лежит между исходными концентрациями

Порядок действий

Найдите массу чистого вещества в каждом растворе.
Сложите массы вещества.
Сложите массы растворов.
Разделите общую массу вещества на общую массу смеси.
Проверьте: концентрация между исходными.

Разбор примеров

Смешали 200 г 10 % и 300 г 20 % раствора. Найти концентрацию.

Вещества: 200 · 0,1 = 20 и 300 · 0,2 = 60.
Всего вещества: 80 г.
Всего раствора: 500 г.
80 : 500 = 0,16 = 16 %.

Ответ: 16 %

К 100 г 20 % раствора добавили 100 г воды. Найти концентрацию.

Вещества было 20 г, вода его не добавляет.
Масса раствора стала 200 г.
20 : 200 = 0,1 = 10 %.

Ответ: 10 %

Сколько вещества в 400 г 15 % раствора?

m = M · c.
400 · 0,15 = 60.

Ответ: 60 г

Где обычно ошибаются

Складывают проценты вместо масс вещества.
Берут среднее арифметическое концентраций, не учитывая массы.
При добавлении воды меняют массу вещества.

Примеры с решением

1. Смешали 600 г раствора с концентрацией 20% и 600 г раствора с концентрацией 30%. Какова концентрация полученного раствора в процентах?

Вещества в первом растворе: 600 · 20 : 100 = 120 г
Во втором: 600 · 30 : 100 = 180 г
Всего вещества 300 г, всего смеси 1200 г
300 : 1200 · 100 = 25%

Ответ: 25

2. Смешали 300 г раствора с концентрацией 10% и 300 г раствора с концентрацией 20%. Какова концентрация полученного раствора в процентах?

Вещества в первом растворе: 300 · 10 : 100 = 30 г
Во втором: 300 · 20 : 100 = 60 г
Всего вещества 90 г, всего смеси 600 г
90 : 600 · 100 = 15%

Ответ: 15

3. Смешали 600 г раствора с концентрацией 10% и 800 г раствора с концентрацией 80%. Какова концентрация полученного раствора в процентах?

Вещества в первом растворе: 600 · 10 : 100 = 60 г
Во втором: 800 · 80 : 100 = 640 г
Всего вещества 700 г, всего смеси 1400 г
700 : 1400 · 100 = 50%

Ответ: 50

4. Смешали 100 г раствора с концентрацией 60% и 400 г раствора с концентрацией 30%. Какова концентрация полученного раствора в процентах?

Вещества в первом растворе: 100 · 60 : 100 = 60 г
Во втором: 400 · 30 : 100 = 120 г
Всего вещества 180 г, всего смеси 500 г
180 : 500 · 100 = 36%

Ответ: 36

5. Смешали 100 г раствора с концентрацией 10% и 100 г раствора с концентрацией 20%. Какова концентрация полученного раствора в процентах?

Вещества в первом растворе: 100 · 10 : 100 = 10 г
Во втором: 100 · 20 : 100 = 20 г
Всего вещества 30 г, всего смеси 200 г
30 : 200 · 100 = 15%

Ответ: 15

Подсказки, если не получается

Проценты складывать нельзя - складывают массу вещества.
В первом растворе 120 г вещества, во втором 180 г.
Разделите всё вещество на всю массу смеси.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Большие задачи и логика»

Полная справка по разделу — на странице Большие задачи и логика.