Движение по реке: как решать

Найти путь или скорость при движении по реке.

Определения

Собственная скорость: Скорость лодки в стоячей воде, без учёта течения.
Скорость по течению: Сумма собственной скорости и скорости течения: течение помогает.
Скорость против течения: Разность собственной скорости и скорости течения: течение мешает.

Объяснение

Задачи на движение по реке отличаются от обычных только тем, что к скорости лодки добавляется или вычитается скорость течения. Всё остальное - те же формулы пути, скорости и времени.

По течению река помогает, и скорости складываются. Против течения река мешает, и скорости вычитаются. Лодка с собственной скоростью 12 км/ч на реке с течением 2 км/ч идёт по течению со скоростью 14 км/ч, а против - 10 км/ч.

Отсюда следует, что путь туда и обратно занимает разное время, даже если расстояние одинаковое. Более того, среднее время оказывается больше, чем если бы течения не было вовсе: выигрыш по течению не покрывает потерь против него.

Обратные задачи решаются через полусумму и полуразность. Если известны скорости по течению и против, то собственная скорость равна их полусумме, а скорость течения - полуразности. Для 14 и 10 получаем собственную 12 и течение 2.

Понять это можно так: складывая обе скорости, мы дважды учитываем собственную и взаимно уничтожаем течение; вычитая - наоборот. Отсюда деление пополам в обоих случаях.

Отдельно стоит помнить про плот: он не имеет собственной скорости и движется ровно со скоростью течения. Задачи, где плот проплывает расстояние за известное время, дают скорость течения напрямую.

Проверка: скорость по течению обязана быть больше собственной, а против - меньше. Если получилось наоборот, значит сложение и вычитание перепутаны местами.

Правила и формулы

По течениюv = v_соб + v_теч
Против теченияv = v_соб − v_теч
Собственная скоростьv_соб = (v_по + v_против) / 2
Скорость теченияv_теч = (v_по − v_против) / 2
Плот движется со скоростью течения

Порядок действий

Выпишите собственную скорость и скорость течения.
Определите направление движения относительно течения.
Сложите скорости для движения по течению, вычтите для движения против.
Примените обычную формулу пути или времени.
Проверьте: по течению скорость больше собственной, против - меньше.

Разбор примеров

Собственная скорость 12 км/ч, течение 2 км/ч. Путь по течению за 3 ч.

Скорость по течению: 12 + 2 = 14 км/ч.
Путь: 14 · 3 = 42 км.

Ответ: 42 км

Скорость по течению 14, против 10. Найти собственную.

Собственная - полусумма.
(14 + 10)/2 = 12.

Ответ: 12 км/ч

Те же данные: найти скорость течения.

Течение - полуразность.
(14 − 10)/2 = 2.

Ответ: 2 км/ч

Где обычно ошибаются

Складывают скорости при движении против течения.
В обратных задачах берут разность и сумму, но забывают разделить пополам.
Приписывают плоту собственную скорость.

Примеры с решением

1. Собственная скорость катера 23 км/ч, скорость течения 4 км/ч. Какой путь пройдёт катер за 3 часа по течению?

Скорость по течению: 23 + 4 = 27 км/ч
Путь: 27 · 3 = 81 км

Ответ: 81

2. Собственная скорость катера 21 км/ч, скорость течения 4 км/ч. Какой путь пройдёт катер за 3 часа по течению?

Скорость по течению: 21 + 4 = 25 км/ч
Путь: 25 · 3 = 75 км

Ответ: 75

3. Собственная скорость катера 9 км/ч, скорость течения 1 км/ч. Какой путь пройдёт катер за 6 часов против течения?

Скорость против течения: 9 − 1 = 8 км/ч
Путь: 8 · 6 = 48 км

Ответ: 48

4. Собственная скорость катера 8 км/ч, скорость течения 2 км/ч. Какой путь пройдёт катер за 6 часов против течения?

Скорость против течения: 8 − 2 = 6 км/ч
Путь: 6 · 6 = 36 км

Ответ: 36

5. Собственная скорость катера 10 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Какой путь пройдёт катер за 4 часа по течению?

Скорость по течению: 10 + 3 = 13 км/ч
Путь: 13 · 4 = 52 км

Ответ: 52

Подсказки, если не получается

Течение помогает лодке по течению и мешает против.
Скорость относительно берега равна 27 км/ч.
Умножьте её на время.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Большие задачи и логика»

Полная справка по разделу — на странице Большие задачи и логика.