Цифры числа: как решать

Решить задачу про цифры числа.

Определения

Разрядная запись двузначного числа

Число с цифрой десятков a и цифрой единиц b равно 10a + b, а не a · b и не ab как произведению.

Перестановка цифр

Замена числа 10a + b на число 10b + a. Разность таких чисел всегда кратна девяти.

Объяснение

Задачи про цифры требуют одного навыка: правильно записать число через его цифры. Двузначное число с цифрой десятков a и цифрой единиц b равно 10a + b. Записать его как ab - значит получить произведение цифр, а это совсем другое число.

Из этой записи выводится всё остальное. Число, полученное перестановкой цифр, равно 10b + a. Сумма цифр равна a + b, произведение - a · b.

Разберём задачу: сумма цифр двузначного числа равна 12, а при перестановке цифр число увеличивается на 18. Записываем: a + b = 12 и 10b + a = 10a + b + 18.

Второе уравнение упрощается: 9b − 9a = 18, то есть b − a = 2. Вместе с a + b = 12 получаем систему, откуда a = 5, b = 7. Число 57, проверка: 75 − 57 = 18, сумма цифр 12.

Полезно запомнить следствие: разность числа и числа с переставленными цифрами всегда делится на 9. Это следует из того, что она равна 9(b − a). Если в задаче такая разность не кратна девяти, значит условие противоречиво.

Не забывайте про ограничения на цифры. Каждая цифра - целое число от 0 до 9, причём первая цифра числа не может быть нулём. Найденное решение обязано этим ограничениям удовлетворять, иначе оно не годится.

Для трёхзначных чисел запись аналогична: 100a + 10b + c. Приём тот же, только уравнений и неизвестных больше.

Правила и формулы

• Двузначное число10a + b
• Число с переставленными цифрами10b + a
• Разность кратна девяти(10b + a) − (10a + b) = 9(b − a)
• Трёхзначное число100a + 10b + c
• Цифры целые от 0 до 9, первая не ноль

Порядок действий

1. Обозначьте цифры буквами и запишите число через разряды.
2. Запишите через те же буквы все величины из условия.
3. Составьте уравнения по условию.
4. Решите систему.
5. Проверьте, что цифры целые, от 0 до 9, и первая не ноль.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Записывают двузначное число как произведение цифр.
• Забывают, что первая цифра не может быть нулём.
• Получают нецелые или больше девяти значения цифр и не отбрасывают их.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Соберите новое число из тех же цифр.
• После перестановки получится 98.
• Найдите разность и возьмите её модуль.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Большие задачи и логика»

• Движение навстречу
• Движение вдогонку
• Движение по реке
• Совместная работа
• Смеси и растворы
• Деление в отношении
• Задачи на возраст
• Логические задачи

Полная справка по разделу — на странице Большие задачи и логика.