Движение навстречу: как решать
Найти время до встречи при движении навстречу.
Определения
- Скорость сближения
- Скорость, с которой сокращается расстояние между двумя телами. При движении навстречу равна сумме скоростей.
- Встреча
- Момент, когда расстояние между телами становится нулевым. Время до встречи равно начальному расстоянию, делённому на скорость сближения.
Объяснение
Задачи на встречное движение решаются одним приёмом: вместо того чтобы следить за каждым телом по отдельности, следят за расстоянием между ними. Оно сокращается равномерно, и вся задача превращается в обычную задачу на движение.
Скорость сокращения расстояния называют скоростью сближения. При движении навстречу друг другу оба тела работают на уменьшение разрыва, поэтому их скорости складываются. Если один идёт со скоростью 5 км/ч, а другой едет со скоростью 15 км/ч, расстояние между ними убывает на 20 километров за час.
Отсюда основная формула: время до встречи равно начальному расстоянию, делённому на скорость сближения. Для расстояния 100 километров и скорости сближения 20 км/ч время равно 100 : 20 = 5 часов.
Понять, почему складываются именно скорости, а не расстояния, помогает мысленный опыт: представьте, что второе тело стоит, а первое движется со скоростью, равной сумме. Разрыв будет сокращаться точно так же, и момент встречи наступит в тот же миг.
Найдя время, легко найти и место встречи: умножьте скорость любого из тел на это время - получите путь, пройденный им до встречи. Проверить можно вторым телом: сумма двух путей обязана дать начальное расстояние.
Отдельный случай - когда тела выходят не одновременно. Тогда сначала считают, сколько успело пройти вышедшее раньше тело, вычитают этот путь из начального расстояния, и только потом применяют формулу к оставшемуся разрыву.
Единицы должны быть согласованы: если скорость в километрах в час, то расстояние в километрах, а время получится в часах. Смешение километров с метрами - самая частая техническая ошибка в этих задачах.
Правила и формулы
- Скорость сближения при встречном движении
v = v₁ + v₂ - Время до встречи
t = S : (v₁ + v₂) - Путь каждого до встречи
S₁ = v₁ · t - Проверка
S₁ + S₂ = S - При разном времени выхода сначала вычитают пройденный путь
Порядок действий
- Выпишите скорости обоих тел и расстояние между ними.
- Приведите единицы в согласие.
- Сложите скорости - получите скорость сближения.
- Разделите расстояние на скорость сближения.
- При необходимости найдите путь каждого и проверьте сумму.
Разбор примеров
- Скорость сближения: 5 + 15 = 20 км/ч.
- Время: 100 : 20 = 5 ч.
- Проверка: 5 · 5 = 25 и 15 · 5 = 75, вместе 100.
- Сближение: 20 + 40 = 60 км/ч.
- 60 : 60 = 1 ч.
- Время встречи: 1 ч.
- Путь: 20 · 1 = 20 км.
Где обычно ошибаются
- Берут разность скоростей вместо суммы.
- Делят расстояние на одну из скоростей, а не на скорость сближения.
- Смешивают километры с метрами и часы с минутами.
Примеры с решением
- Скорость сближения: 3 + 8 = 11 км/ч
- Время до встречи: 33 : 11 = 3 ч
- Скорость сближения: 7 + 7 = 14 км/ч
- Время до встречи: 70 : 14 = 5 ч
- Скорость сближения: 8 + 4 = 12 км/ч
- Время до встречи: 72 : 12 = 6 ч
- Скорость сближения: 15 + 4 = 19 км/ч
- Время до встречи: 95 : 19 = 5 ч
- Скорость сближения: 8 + 10 = 18 км/ч
- Время до встречи: 108 : 18 = 6 ч
Подсказки, если не получается
- Навстречу - значит расстояние сокращается за счёт обоих сразу.
- За час они сближаются на 3 + 8 км.
- Разделите всё расстояние на скорость сближения.
Другие темы раздела «Большие задачи и логика»
- Движение вдогонку
- Движение по реке
- Совместная работа
- Смеси и растворы
- Деление в отношении
- Задачи на возраст
- Цифры числа
- Логические задачи
Полная справка по разделу — на странице Большие задачи и логика.