Сокращение дробей: как решать

Сократить дробь.

Определения

Обыкновенная дробь

Запись вида a/b, где b не равно нулю. Знаменатель b показывает, на сколько равных долей разделили целое, числитель a - сколько таких долей взяли.

Сокращение дроби

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Значение дроби при этом не меняется, меняется только её запись.

Несократимая дробь

Дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, 3/8 несократима, а 6/8 - нет.

Объяснение

Дробь появляется там, где целого не хватает и приходится делить его на части. Разрезали пирог на восемь кусков, взяли три - получилась дробь три восьмых. Знаменатель отвечает на вопрос «на сколько частей разделили», числитель - «сколько частей взяли». Именно поэтому знаменатель не может быть нулём: разделить на ноль частей невозможно.

Одно и то же количество можно записать разными дробями. Половина пирога и два кусочка из четырёх - это одинаковое количество пирога, поэтому 1/2 и 2/4 равны. Отсюда основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля, значение дроби не изменится.

Сократить дробь - значит воспользоваться этим свойством в сторону уменьшения: разделить обе части на общий делитель. Зачем это нужно? Во-первых, с меньшими числами легче считать дальше. Во-вторых, ответ принято записывать в несократимом виде - это стандарт записи, как приведение подобных в алгебре.

Быстрее всего разделить сразу на наибольший общий делитель. Но если он не виден, ничего страшного: можно сокращать в несколько приёмов, по одному общему делителю за раз. Результат получится тот же самый, просто шагов будет больше. Дробь 24/36 можно сократить сразу на 12, а можно сначала на 2, потом на 2, потом на 3 - в обоих случаях выйдет 2/3.

Дробь называют несократимой, когда общих делителей, кроме единицы, не осталось. Проверить это можно так: разложить числитель и знаменатель на простые множители и посмотреть, есть ли среди них общие. Если общих нет, сокращать больше нечего.

Есть важное ограничение, о которое спотыкаются постоянно: сокращать можно только множители, но не слагаемые. В дроби (2 + 4)/2 двойку в числителе «убрать» нельзя, потому что она там слагаемое, а не множитель. Проверить легко: посчитайте значение - (2 + 4)/2 = 3, а не 4/1 = 4.

Правила и формулы

• Основное свойство дробиa/b = (a : k) / (b : k), k ≠ 0
• То же в сторону увеличенияa/b = (a · k) / (b · k), k ≠ 0
• Дробь несократима, когда общих делителей больше нет3/8 - несократимая
• Сокращать можно только множители, но не слагаемые(2 + 4)/2 ≠ 4
• Знаменатель не может быть нулём

Порядок действий

1. Найдите общий делитель числителя и знаменателя - лучше сразу наибольший.
2. Разделите на него обе части дроби.
3. Проверьте, остались ли ещё общие делители.
4. Повторяйте, пока дробь не станет несократимой.
5. Убедитесь, что сокращали именно множители, а не слагаемые.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Делят только числитель или только знаменатель - дробь при этом меняет значение.
• Сокращают слагаемые: в дроби (2 + 4)/2 «убирают» двойку.
• Останавливаются на полпути и оставляют дробь сократимой, например 6/8 вместо 3/4.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Сокращать — значит делить числитель и знаменатель на общий делитель.
• Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 9.
• Раздели 99 и 36 на 9.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Обыкновенные дроби»

• Приведение к общему знаменателю
• Смешанные и неправильные дроби
• Сложение и вычитание дробей
• Умножение и деление дробей
• Сравнение дробей
• Нахождение части от числа
• Нахождение числа по его части
• Десятичная дробь в обыкновенную

Полная справка по разделу — на странице Обыкновенные дроби.