Обыкновенные дроби
Дробь — это числитель над знаменателем.
Содержание
- Сокращение дробейСократить дробь.
- Приведение к общему знаменателюПривести дроби к общему знаменателю.
- Смешанные и неправильные дробиПеревести неправильную дробь в смешанное число и обратно.
- Сложение и вычитание дробейСложить или вычесть обыкновенные дроби.
- Умножение и деление дробейУмножить или разделить обыкновенные дроби.
- Сравнение дробейСравнить две обыкновенные дроби.
- Нахождение части от числаНайти часть от числа.
- Нахождение числа по его частиНайти число, если известна его часть.
- Десятичная дробь в обыкновеннуюЗаписать десятичную дробь обыкновенной несократимой.
Сокращение дробей
Определения
- Обыкновенная дробь
- Запись вида a/b, где b не равно нулю. Знаменатель b показывает, на сколько равных долей разделили целое, числитель a - сколько таких долей взяли.
- Сокращение дроби
- Деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Значение дроби при этом не меняется, меняется только её запись.
- Несократимая дробь
- Дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, 3/8 несократима, а 6/8 - нет.
Объяснение
Дробь появляется там, где целого не хватает и приходится делить его на части. Разрезали пирог на восемь кусков, взяли три - получилась дробь три восьмых. Знаменатель отвечает на вопрос «на сколько частей разделили», числитель - «сколько частей взяли». Именно поэтому знаменатель не может быть нулём: разделить на ноль частей невозможно.
Одно и то же количество можно записать разными дробями. Половина пирога и два кусочка из четырёх - это одинаковое количество пирога, поэтому 1/2 и 2/4 равны. Отсюда основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля, значение дроби не изменится.
Сократить дробь - значит воспользоваться этим свойством в сторону уменьшения: разделить обе части на общий делитель. Зачем это нужно? Во-первых, с меньшими числами легче считать дальше. Во-вторых, ответ принято записывать в несократимом виде - это стандарт записи, как приведение подобных в алгебре.
Быстрее всего разделить сразу на наибольший общий делитель. Но если он не виден, ничего страшного: можно сокращать в несколько приёмов, по одному общему делителю за раз. Результат получится тот же самый, просто шагов будет больше. Дробь 24/36 можно сократить сразу на 12, а можно сначала на 2, потом на 2, потом на 3 - в обоих случаях выйдет 2/3.
Дробь называют несократимой, когда общих делителей, кроме единицы, не осталось. Проверить это можно так: разложить числитель и знаменатель на простые множители и посмотреть, есть ли среди них общие. Если общих нет, сокращать больше нечего.
Есть важное ограничение, о которое спотыкаются постоянно: сокращать можно только множители, но не слагаемые. В дроби (2 + 4)/2 двойку в числителе «убрать» нельзя, потому что она там слагаемое, а не множитель. Проверить легко: посчитайте значение - (2 + 4)/2 = 3, а не 4/1 = 4.
Правила и формулы
- Основное свойство дроби
a/b = (a : k) / (b : k), k ≠ 0 - То же в сторону увеличения
a/b = (a · k) / (b · k), k ≠ 0 - Дробь несократима, когда общих делителей больше нет
3/8 - несократимая - Сокращать можно только множители, но не слагаемые
(2 + 4)/2 ≠ 4 - Знаменатель не может быть нулём
Порядок действий
- Найдите общий делитель числителя и знаменателя - лучше сразу наибольший.
- Разделите на него обе части дроби.
- Проверьте, остались ли ещё общие делители.
- Повторяйте, пока дробь не станет несократимой.
- Убедитесь, что сокращали именно множители, а не слагаемые.
Разбор примеров
- Оба числа делятся на 6 - это их наибольший общий делитель.
- 18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4.
- У 3 и 4 общих делителей нет - дробь несократима.
- Сократим по шагам: оба делятся на 2, получаем 12/18.
- Снова на 2: 6/9.
- Теперь на 3: 2/3.
- Оба оканчиваются так, что делятся на 5.
- 35 : 5 = 7, 50 : 5 = 10.
- У 7 и 10 общих делителей нет.
Где обычно ошибаются
- Делят только числитель или только знаменатель - дробь при этом меняет значение.
- Сокращают слагаемые: в дроби (2 + 4)/2 «убирают» двойку.
- Останавливаются на полпути и оставляют дробь сократимой, например 6/8 вместо 3/4.
Приведение к общему знаменателю
Определения
- Общий знаменатель
- Число, которое делится нацело на знаменатели всех данных дробей. Для 3/4 и 5/6 общими знаменателями будут 12, 24, 36 и другие.
- Наименьший общий знаменатель
- Наименьшее общее кратное знаменателей - самый маленький из возможных общих знаменателей. Для 4 и 6 это 12.
- Дополнительный множитель
- Число, показывающее, во сколько раз новый знаменатель больше старого. На него умножают и числитель, и знаменатель дроби.
Объяснение
Складывать и сравнивать доли можно только тогда, когда они одинакового размера. Треть и четверть - куски разной величины, поэтому напрямую сложить их нельзя, как нельзя сложить метры с килограммами. Сначала обе величины переводят в доли одного размера, и только потом складывают.
Общим знаменателем годится любое число, которое делится на оба знаменателя. Проще всего взять их произведение: оно точно подойдёт, потому что делится и на первый, и на второй. Но удобнее брать наименьшее общее кратное - числа получатся меньше, счёт легче, и сокращать в конце придётся реже.
Найдя общий знаменатель, для каждой дроби вычисляют дополнительный множитель: делят новый знаменатель на старый. Если общий знаменатель 12, а у дроби 3/4 знаменатель 4, то дополнительный множитель равен 12 : 4 = 3. На него умножают и числитель, и знаменатель: 3/4 = 9/12.
Умножать надо обязательно обе части. Это прямое следствие основного свойства дроби: только тогда её значение не изменится. Если умножить один знаменатель, получится совсем другое число, и все дальнейшие вычисления окажутся про другую задачу.
Есть частый случай, который стоит замечать: если один знаменатель делится на другой, больший и будет общим. Для 5/6 и 7/12 общий знаменатель просто 12, потому что 12 делится на 6. Никакого перемножения не требуется - достаточно привести только первую дробь.
Приведение к общему знаменателю нужно не только для сложения. Оно же используется при сравнении дробей и при решении уравнений с дробными коэффициентами. Приём один и тот же, поэтому имеет смысл разобраться в нём один раз как следует.
Правила и формулы
- Общий знаменатель - общее кратное знаменателей
НОК(4, 6) = 12 - Дополнительный множитель
12 : 4 = 3, значит 3/4 = 9/12 - Умножать надо обе части дроби
a/b = (a · k)/(b · k) - Если один знаменатель делится на другой, он и есть общий
для 5/6 и 7/12 общий знаменатель 12 - Произведение знаменателей всегда годится, но не всегда удобно
Порядок действий
- Проверьте, не делится ли один знаменатель на другой - тогда он и будет общим.
- Иначе найдите наименьшее общее кратное знаменателей.
- Для каждой дроби разделите общий знаменатель на её знаменатель - получите дополнительный множитель.
- Умножьте на него числитель и знаменатель этой дроби.
- Проверьте, что у всех дробей знаменатели совпали.
Разбор примеров
- Ни один знаменатель не делится на другой.
- НОК(6, 8) = 24.
- Для первой: 24 : 6 = 4, значит 5/6 = 20/24.
- Для второй: 24 : 8 = 3, значит 3/8 = 9/24.
- 12 делится на 6, значит общий знаменатель 12.
- Дополнительный множитель для первой: 12 : 6 = 2.
- 5/6 = 10/12, вторая дробь не меняется.
- Знаменатели взаимно простые.
- НОК(3, 5) = 15 - это их произведение.
- 2/3 = 10/15, 4/5 = 12/15.
Где обычно ошибаются
- Умножают только знаменатель, забыв про числитель.
- Берут произведение знаменателей там, где НОК заметно меньше: ответ верный, но счёт тяжелее.
- Считают дополнительный множитель делением старого знаменателя на новый, а не наоборот.
Смешанные и неправильные дроби
Определения
- Правильная дробь
- Дробь, у которой числитель меньше знаменателя: 3/7. Она всегда меньше единицы.
- Неправильная дробь
- Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему: 7/3, 5/5. Она не меньше единицы.
- Смешанное число
- Запись, состоящая из целой части и правильной дроби: 2 целых 1/3. Означает сумму 2 + 1/3.
Объяснение
Дробь показывает, сколько долей взято. Если долей взяли меньше, чем составляет целое, дробь называют правильной, и она меньше единицы. Если взяли столько же или больше - дробь неправильная, и в ней спрятано хотя бы одно целое.
Смешанное число - это способ показать спрятанное целое явно. Семь третей - это два целых и ещё одна треть, и записать 2 целых 1/3 нагляднее, чем 7/3: сразу видно, что величина чуть больше двух. Именно поэтому в ответах задач про количество и величину предпочитают смешанную запись.
Чтобы вытащить целую часть, делят числитель на знаменатель с остатком. Частное становится целой частью, остаток - новым числителем, знаменатель не меняется. Для 7/3 получаем 7 : 3 = 2 и остаток 1, значит 7/3 = 2 целых 1/3. Работает это потому, что 7/3 = (6 + 1)/3 = 6/3 + 1/3 = 2 + 1/3.
Обратный перевод устроен так же, только наоборот: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель, знаменатель остаётся прежним. Из 2 целых 1/3 получаем (2 · 3 + 1)/3 = 7/3. Смысл тот же: два целых - это шесть третей, плюс ещё одна треть.
Зачем нужен обратный перевод, если смешанная запись нагляднее? Затем, что умножать и делить смешанные числа напрямую нельзя. Перед умножением их обязательно переводят в неправильные дроби, иначе получится грубая ошибка - целые части перемножатся отдельно от дробных.
Отдельно стоит запомнить, что дробь вида 5/5 равна единице, а 10/5 равно двум - у них остаток нулевой, и дробной части в ответе не будет. Записывать «2 целых 0/5» не принято, пишут просто 2.
Правила и формулы
- Правильная дробь меньше единицы, неправильная - не меньше
3/7 < 1, 7/3 > 1 - Выделение целой части
7 : 3 = 2 (ост. 1), значит 7/3 = 2 целых 1/3 - Обратный перевод
2 целых 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3 - Знаменатель при переводе не меняется
- Перед умножением и делением смешанные числа переводят в неправильные
Порядок действий
- Для выделения целой части разделите числитель на знаменатель с остатком.
- Частное запишите целой частью, остаток - числителем, знаменатель оставьте прежним.
- Для обратного перевода умножьте целую часть на знаменатель.
- Прибавьте числитель - получится числитель неправильной дроби.
- Проверьте: остаток обязан быть меньше знаменателя.
Разбор примеров
- Делим с остатком: 23 : 5 = 4, остаток 3.
- Целая часть 4, числитель 3, знаменатель 5.
- Остаток 3 меньше знаменателя 5 - верно.
- Умножаем целую часть на знаменатель: 3 · 7 = 21.
- Прибавляем числитель: 21 + 2 = 23.
- Знаменатель остаётся 7.
- 15 : 5 = 3, остаток 0.
- Дробной части нет.
Где обычно ошибаются
- Меняют местами частное и остаток: пишут 3 целых 4/5 вместо 4 целых 3/5.
- При обратном переводе забывают прибавить числитель.
- Меняют знаменатель при переводе - он обязан остаться прежним.
Сложение и вычитание дробей
Определения
- Сложение дробей
- Действие, при котором складывают количество одинаковых долей. Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями.
- Одноимённые дроби
- Дроби с одинаковыми знаменателями. Только их можно складывать и вычитать напрямую.
Объяснение
Смысл сложения дробей проще всего увидеть на долях. Две пятых и одна пятая - это три пятых, потому что складывают количество одинаковых кусков, а размер куска не меняется. Отсюда правило: при одинаковых знаменателях складывают числители, а знаменатель оставляют прежним.
Знаменатель не складывают именно потому, что он не количество, а размер доли. Если сложить и знаменатели, получится, что от сложения двух пятых с одной пятой куски вдруг стали десятыми - это бессмыслица. Проверить легко на числах: 1/2 + 1/2 равно единице, а не 2/4.
Если знаменатели разные, доли разного размера, и сложить их напрямую нельзя. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, а потом складывают уже как одноимённые. Это и есть главная работа в теме: само сложение занимает секунду, а приведение - все остальные шаги.
Смешанные числа складывают по частям: отдельно целые, отдельно дробные. Если дробные части в сумме дали больше единицы, лишнее целое передают к целой части - в точности как перенос десятка при сложении столбиком.
При вычитании смешанных чисел бывает обратная история: дробной части не хватает. Тогда одно целое размeнивают на дроби. Например, в примере 5 целых 1/4 минус 2 целых 3/4 из одной четверти три не вычесть, поэтому берём одно целое: 5 целых 1/4 = 4 целых 5/4. Теперь 5/4 − 3/4 = 2/4 = 1/2, а целых 4 − 2 = 2.
Ответ принято приводить к несократимому виду и, если дробь получилась неправильной, выделять целую часть. Это не отдельное правило сложения, а общее требование к записи ответа.
Правила и формулы
- Одинаковые знаменатели: складываем числители
a/c + b/c = (a + b)/c - Знаменатель при этом не меняется
2/5 + 1/5 = 3/5 - Разные знаменатели - сначала общий знаменатель
1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 - Смешанные числа складывают по частям
целые с целыми, дробные с дробными - Размен целого при вычитании
5 целых 1/4 = 4 целых 5/4
Порядок действий
- Сравните знаменатели. Если они разные, приведите дроби к общему знаменателю.
- Сложите или вычтите числители, знаменатель оставьте прежним.
- Для смешанных чисел работайте отдельно с целыми и отдельно с дробными частями.
- Если дробной части не хватает для вычитания, разменяйте одно целое.
- Сократите результат и при необходимости выделите целую часть.
Разбор примеров
- Знаменатели разные, НОК(3, 4) = 12.
- 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12.
- Складываем числители: 4 + 3 = 7.
- Дробь 7/12 несократима.
- НОК(6, 2) = 6, значит 1/2 = 3/6.
- 5/6 − 3/6 = 2/6.
- Сокращаем на 2: 1/3.
- Из 1/4 три четверти не вычесть.
- Разменяем целое: 5 целых 1/4 = 4 целых 5/4.
- Дробные: 5/4 − 3/4 = 2/4 = 1/2.
- Целые: 4 − 2 = 2.
Где обычно ошибаются
- Складывают знаменатели: получают 1/2 + 1/2 = 2/4.
- Приводят к общему знаменателю только одну дробь.
- При вычитании смешанных чисел забывают уменьшить целую часть после размена.
Умножение и деление дробей
Определения
- Взаимно обратные числа
- Два числа, произведение которых равно единице: 3/4 и 4/3. Чтобы получить обратное число к дроби, её переворачивают.
- Умножение дробей
- Действие, при котором числитель умножают на числитель, а знаменатель на знаменатель. Приводить к общему знаменателю не требуется.
Объяснение
Умножение дробей устроено проще сложения, и это удивляет: общий знаменатель тут не нужен вовсе. Числители перемножают между собой, знаменатели - между собой. Понять, почему так, можно на смысле: взять две трети от трёх четвертей - значит разделить три четверти на три части и взять две. Знаменатели перемножаются, потому что деление на части накладывается на уже сделанное деление.
Отсюда же понятно, что означает умножение на правильную дробь: результат становится меньше исходного числа. Это ломает привычку, вынесенную из натуральных чисел, где умножение всегда увеличивало. Взять половину от восьми - значит получить четыре, а не шестнадцать.
Перед умножением полезно сокращать крест-накрест: числитель одной дроби с знаменателем другой. Это законно, потому что в произведении все числители стоят множителями в общем числителе, а знаменатели - в общем знаменателе. Сократив заранее, вы избавитесь от больших чисел и от необходимости сокращать громоздкий ответ.
Деление на дробь заменяют умножением на перевёрнутую дробь. Почему это верно? Разделить на 2/3 - значит узнать, сколько раз две трети помещаются в числе. Две трети помещаются полтора раза в единице, то есть деление на 2/3 равносильно умножению на 3/2. Формально: деление на число - это умножение на обратное ему.
Смешанные числа перед умножением и делением обязательно переводят в неправильные дроби. Перемножать отдельно целые и отдельно дробные части нельзя: 1 целая 1/2, умноженная на 2, равна 3, а не «2 целых 1/2».
Как и в сложении, ответ приводят к несократимому виду и при необходимости выделяют целую часть. Если после сокращения в знаменателе осталась единица, дробь записывают целым числом.
Правила и формулы
- Умножение дробей
a/b · c/d = (a · c)/(b · d) - Деление - умножение на перевёрнутую дробь
a/b : c/d = a/b · d/c - Сокращать можно до умножения, крест-накрест
3/4 · 2/9 = (3 · 2)/(4 · 9) = 1/6 - Смешанные числа сначала переводят в неправильные
1 целая 1/2 = 3/2 - Умножение на правильную дробь уменьшает число
Порядок действий
- Переведите смешанные числа в неправильные дроби.
- Если это деление, замените его умножением на перевёрнутую вторую дробь.
- Сократите числители со знаменателями крест-накрест.
- Перемножьте числители и отдельно знаменатели.
- Сократите ответ и при необходимости выделите целую часть.
Разбор примеров
- Сократим крест-накрест: 3 и 9 делятся на 3, 2 и 4 делятся на 2.
- Остаётся 1/2 · 1/3.
- Перемножаем: (1 · 1)/(2 · 3) = 1/6.
- Заменяем делением на умножение: 2/3 · 9/4.
- Сокращаем: 2 и 4 на 2, 3 и 9 на 3.
- Остаётся 1/1 · 3/2 = 3/2.
- Выделяем целую часть.
- Переводим: 1 целая 1/2 = 3/2.
- 3/2 · 2/5, сокращаем двойки.
- (3 · 1)/(1 · 5) = 3/5.
Где обычно ошибаются
- Приводят дроби к общему знаменателю перед умножением - лишняя работа, а часто и ошибка.
- При делении переворачивают первую дробь вместо второй.
- Умножают смешанные числа по частям, не переведя их в неправильные.
Сравнение дробей
Определения
- Сравнение дробей
- Установление, какая из двух дробей больше. Напрямую сравнивать можно только дроби с одинаковыми знаменателями или с одинаковыми числителями.
- Перекрёстное умножение
- Приём сравнения: числитель первой дроби умножают на знаменатель второй и наоборот; какое произведение больше, та дробь и больше.
Объяснение
Сравнивать дроби напрямую по числителю или по знаменателю нельзя: 2/3 больше, чем 3/5, хотя и числитель, и знаменатель у неё меньше. Нужен приём, который сводит обе дроби к сопоставимому виду.
Самый понятный случай - одинаковые знаменатели. Тогда доли одного размера, и больше та дробь, у которой взято больше долей: 5/8 больше 3/8. Отсюда общий способ: привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители.
Второй простой случай - одинаковые числители. Взяли поровну долей, но доли разного размера. Чем больше знаменатель, тем на большее число частей разрезано целое, тем мельче каждая часть. Значит, из 3/5 и 3/7 больше первая: пятые доли крупнее седьмых. Это правило часто ускоряет решение без всяких вычислений.
Универсальный приём - перекрёстное умножение. Чтобы сравнить a/b и c/d, сравнивают произведения a · d и b · c. По сути это то же приведение к общему знаменателю b · d, только знаменатель не выписывают: он у обеих дробей одинаковый и на сравнение не влияет.
Есть и приём сравнения с опорным числом, обычно с единицей или с половиной. Дробь 7/8 меньше единицы, а 9/8 больше, значит вторая больше первой, и считать ничего не нужно. Похоже работает сравнение с 1/2: 5/9 больше половины, а 4/9 меньше.
Для отрицательных дробей всё переворачивается, как и для целых чисел: из двух отрицательных больше та, у которой модуль меньше. Проще всего сравнить модули по обычным правилам, а потом поменять знак сравнения.
Правила и формулы
- Одинаковые знаменатели: больше та, у которой числитель больше
5/8 > 3/8 - Одинаковые числители: больше та, у которой знаменатель меньше
3/5 > 3/7 - Перекрёстное умножение
a/b и c/d: сравниваем a · d и b · c - Сравнение с опорным числом
7/8 < 1 < 9/8 - У отрицательных дробей сравнение модулей переворачивается
Порядок действий
- Посмотрите, не совпадают ли знаменатели или числители - тогда ответ получается сразу.
- Проверьте, не лежат ли дроби по разные стороны от единицы или половины.
- Иначе примените перекрёстное умножение либо приведите к общему знаменателю.
- Сравните полученные числа.
- Запишите знак так, чтобы острый конец смотрел на меньшую дробь.
Разбор примеров
- Знаменатели и числители разные.
- Перекрёстно: 2 · 5 = 10 и 3 · 3 = 9.
- 10 больше 9, значит первая дробь больше.
- Числители одинаковые.
- Пятые доли крупнее седьмых.
- Знаменатели одинаковые.
- Сравниваем числители: 7 меньше 9.
Где обычно ошибаются
- Сравнивают дроби покомпонентно: раз 2 < 3 и 3 < 5, значит 2/3 < 3/5. Это неверно.
- При одинаковых числителях считают, что больше дробь с большим знаменателем.
- В перекрёстном умножении сравнивают не те произведения, перепутав, к какой дроби относится результат.
Нахождение части от числа
Определения
- Часть от числа
- Результат умножения числа на дробь. Найти 3/4 от 40 - значит вычислить 40 · 3/4 = 30.
- Целое
- Число, от которого берут часть. В задаче «найти 3/4 от 40» целое - это 40, и оно принимается за единицу.
Объяснение
Задача «найти часть от числа» встречается постоянно: скидка от цены, доля от урожая, процент от суммы. Действие тут всегда одно - умножение на дробь, но чтобы не путаться, полезно понимать, откуда оно берётся.
Разберём на смысле долей. Найти 3/4 от 40 - значит разделить 40 на четыре равные части и взять три из них. Одна четвёртая от 40 равна 10, три таких части дают 30. Записать этот ход можно как 40 : 4 · 3, а это и есть 40 · 3/4.
Отсюда правило: чтобы найти часть от числа, надо умножить число на эту дробь. Порядок действий внутри можно выбирать любой - сначала разделить на знаменатель, потом умножить на числитель, или наоборот. Первый путь обычно удобнее в уме, потому что деление выполняется на меньших числах.
Важно верно определить, что здесь целое. Целое - это то число, от которого берут часть, и оно всегда стоит после слова «от». В задаче «сколько будет 2/5 от 30» целое - тридцать. Если перепутать целое с искомым, задача превращается в обратную и ответ получается другим.
Проверить ответ помогает прикидка по величине дроби. Если берут правильную дробь, ответ обязан быть меньше исходного числа. Если дробь близка к единице, ответ близок к самому числу; если дробь маленькая, ответ маленький. Результат больше исходного числа при правильной дроби сразу говорит об ошибке.
Тот же приём работает и для смешанных чисел, только их сначала переводят в неправильные дроби. Найти 1 целую 1/2 от 8 - значит вычислить 8 · 3/2 = 12. Здесь ответ больше исходного числа, и это нормально: множитель больше единицы.
Правила и формулы
- Часть от числа находят умножением
часть = число · дробь - Пример
3/4 от 40 = 40 · 3/4 = 30 - Можно сначала разделить на знаменатель
40 : 4 = 10, затем 10 · 3 = 30 - Целое стоит после слова «от»
- Умножение на правильную дробь уменьшает число
Порядок действий
- Определите, какое число целое - оно стоит после слова «от».
- Переведите смешанное число в неправильную дробь, если оно есть.
- Разделите целое на знаменатель дроби.
- Умножьте результат на числитель.
- Прикиньте: при правильной дроби ответ обязан быть меньше целого.
Разбор примеров
- Целое равно 40.
- Делим на знаменатель: 40 : 4 = 10.
- Умножаем на числитель: 10 · 3 = 30.
- Целое равно 30.
- 30 : 5 = 6.
- 6 · 2 = 12.
- Переводим: 1 целая 1/2 = 3/2.
- 8 : 2 = 4, затем 4 · 3 = 12.
- Множитель больше единицы, поэтому ответ больше восьми.
Где обычно ошибаются
- Путают, что здесь целое, и решают обратную задачу.
- Умножают на знаменатель и делят на числитель - получают перевёрнутый ответ.
- Не переводят смешанное число в неправильную дробь.
Нахождение числа по его части
Определения
- Обратная задача на дроби
- Задача, в которой известна часть и её доля, а найти надо целое. Решается делением: целое = часть : дробь.
Объяснение
Эта задача обратна предыдущей, и именно поэтому в ней так часто ошибаются: условие выглядит похоже, а действие противоположное. Там было известно целое и требовалось найти часть, здесь известна часть и надо восстановить целое.
Разберём на смысле. Известно, что 3/4 какого-то числа равны 30. Три четверти - это три одинаковых куска, значит один кусок равен 30 : 3 = 10. Но целое состоит из четырёх таких кусков, значит оно равно 10 · 4 = 40. Записать ход целиком можно так: 30 : 3 · 4, а это и есть 30 : 3/4.
Отсюда правило: чтобы найти число по его части, надо разделить часть на дробь. Деление на дробь, как известно, заменяется умножением на перевёрнутую: 30 : 3/4 = 30 · 4/3 = 40.
Отличить прямую задачу от обратной помогает вопрос: известно ли целое? Если в условии есть число, от которого берут часть, - задача прямая, умножаем. Если известна только часть и сказано «это составляет столько-то», - задача обратная, делим. Слова «от числа» указывают на прямую задачу, слова «составляет», «это равно» - на обратную.
Проверка тут особенно надёжна и занимает секунду: возьмите найденное целое и найдите от него ту же часть. Если получилось исходное число, ответ верный. Для примера выше: 3/4 от 40 равны 30 - сходится.
Прикидка тоже работает. Если известная часть - правильная дробь целого, то целое обязано быть больше этой части. Ответ меньше данного числа означает, что действия перепутаны местами.
Правила и формулы
- Число по его части находят делением
целое = часть : дробь - Пример
если 3/4 числа равны 30, то число = 30 : 3/4 = 40 - Деление на дробь - умножение на перевёрнутую
30 : 3/4 = 30 · 4/3 - Можно по шагам: часть : числитель · знаменатель
30 : 3 = 10, затем 10 · 4 = 40 - Проверка: найдите ту же часть от ответа
Порядок действий
- Убедитесь, что целое неизвестно, - иначе задача прямая.
- Разделите известную часть на числитель дроби - получите одну долю.
- Умножьте долю на знаменатель - получите целое.
- Либо сразу разделите часть на дробь, перевернув её.
- Проверьте: найдите ту же часть от полученного числа.
Разбор примеров
- Одна четверть равна 30 : 3 = 10.
- Целое состоит из четырёх четвертей: 10 · 4 = 40.
- Проверка: 3/4 от 40 равны 30.
- Одна пятая равна 12 : 2 = 6.
- Целое: 6 · 5 = 30.
- Проверка: 2/5 от 30 равны 12.
- Одна шестая равна 45 : 5 = 9.
- Целое: 9 · 6 = 54.
- Проверка: 5/6 от 54 равны 45.
Где обычно ошибаются
- Решают как прямую задачу: умножают на дробь вместо деления.
- Делят на знаменатель и умножают на числитель - порядок перепутан.
- Получают ответ меньше известной части, хотя часть была правильной дробью.
Десятичная дробь в обыкновенную
Определения
- Десятичная дробь
- Дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее, записанная без знаменателя через запятую: 0,25 означает 25/100.
- Разряды после запятой
- Первый разряд после запятой - десятые, второй - сотые, третий - тысячные. Название последнего разряда и даёт знаменатель обыкновенной дроби.
Объяснение
Десятичная дробь - это та же обыкновенная, только записанная короче. Знаменатель в ней не пишут, потому что он всегда известен заранее: это 10, 100, 1000 - в зависимости от количества цифр после запятой. Запись 0,25 означает двадцать пять сотых, то есть 25/100.
Отсюда прямой способ перевода. Смотрим, сколько цифр стоит после запятой: одна - знаменатель 10, две - 100, три - 1000. Числителем берём число, записанное без запятой. Для 0,25 это 25 и 100, для 0,4 это 4 и 10, для 1,375 это 1375 и 1000.
Полученную дробь почти всегда можно сократить, и это обязательный шаг: ответ принято записывать несократимым. Дробь 25/100 сокращается на 25 и превращается в 1/4. Дробь 4/10 сокращается на 2 и даёт 2/5.
Если у числа есть целая часть, её можно оставить отдельно и переводить только дробную. Число 1,375 - это 1 целая 375/1000, а 375/1000 после сокращения на 125 даёт 3/8. Ответ: 1 целая 3/8. Второй путь - перевести всё в неправильную дробь 1375/1000, но числа получатся крупнее.
Полезно знать наизусть несколько частых соответствий, они экономят время в вычислениях: 0,5 = 1/2, 0,25 = 1/4, 0,75 = 3/4, 0,2 = 1/5, 0,125 = 1/8. Эти дроби встречаются в задачах чаще остальных.
Обратный перевод - из обыкновенной в десятичную - выполняют делением числителя на знаменатель. Но получается конечная десятичная дробь не всегда: 1/3 даёт бесконечную периодическую запись 0,333… Конечная десятичная выходит только тогда, когда знаменатель несократимой дроби раскладывается лишь на двойки и пятёрки.
Правила и формулы
- Знаменатель определяется количеством цифр после запятой
0,25 = 25/100 - Числитель - число без запятой
1,375 = 1375/1000 - Результат обязательно сокращают
25/100 = 1/4 - Частые соответствия
0,5 = 1/2; 0,75 = 3/4; 0,2 = 1/5; 0,125 = 1/8 - Конечная десятичная получается, если знаменатель состоит из двоек и пятёрок
Порядок действий
- Сосчитайте цифры после запятой - столько нулей будет в знаменателе.
- Запишите числителем всё число без запятой.
- Если есть целая часть, её удобнее оставить отдельно.
- Сократите дробь до несократимой.
- Проверьте обратным делением: числитель разделите на знаменатель.
Разбор примеров
- После запятой две цифры - знаменатель 100.
- Числитель 25, получаем 25/100.
- Сокращаем на 25.
- После запятой одна цифра - знаменатель 10.
- Получаем 4/10.
- Сокращаем на 2.
- Целую часть оставим отдельно: 1 и 375/1000.
- Сокращаем 375/1000 на 125: получаем 3/8.
- Собираем ответ.
Где обычно ошибаются
- Берут знаменатель наугад, не считая цифры после запятой.
- Забывают сократить и оставляют 25/100.
- Теряют целую часть при переводе смешанной десятичной дроби.
Пример с решением
- НОД(99, 36) = 9
- 99 : 9 = 11, 36 : 9 = 4
- 99/36 = 11/4
- НОД(24, 18) = 6
- 24 : 6 = 4, 18 : 6 = 3
- 24/18 = 4/3
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.