Сложение и вычитание дробей: как решать

Сложить или вычесть обыкновенные дроби.

Определения

Сложение дробей: Действие, при котором складывают количество одинаковых долей. Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями.
Одноимённые дроби: Дроби с одинаковыми знаменателями. Только их можно складывать и вычитать напрямую.

Объяснение

Смысл сложения дробей проще всего увидеть на долях. Две пятых и одна пятая - это три пятых, потому что складывают количество одинаковых кусков, а размер куска не меняется. Отсюда правило: при одинаковых знаменателях складывают числители, а знаменатель оставляют прежним.

Знаменатель не складывают именно потому, что он не количество, а размер доли. Если сложить и знаменатели, получится, что от сложения двух пятых с одной пятой куски вдруг стали десятыми - это бессмыслица. Проверить легко на числах: 1/2 + 1/2 равно единице, а не 2/4.

Если знаменатели разные, доли разного размера, и сложить их напрямую нельзя. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, а потом складывают уже как одноимённые. Это и есть главная работа в теме: само сложение занимает секунду, а приведение - все остальные шаги.

Смешанные числа складывают по частям: отдельно целые, отдельно дробные. Если дробные части в сумме дали больше единицы, лишнее целое передают к целой части - в точности как перенос десятка при сложении столбиком.

При вычитании смешанных чисел бывает обратная история: дробной части не хватает. Тогда одно целое размeнивают на дроби. Например, в примере 5 целых 1/4 минус 2 целых 3/4 из одной четверти три не вычесть, поэтому берём одно целое: 5 целых 1/4 = 4 целых 5/4. Теперь 5/4 − 3/4 = 2/4 = 1/2, а целых 4 − 2 = 2.

Ответ принято приводить к несократимому виду и, если дробь получилась неправильной, выделять целую часть. Это не отдельное правило сложения, а общее требование к записи ответа.

Правила и формулы

Одинаковые знаменатели: складываем числителиa/c + b/c = (a + b)/c
Знаменатель при этом не меняется2/5 + 1/5 = 3/5
Разные знаменатели - сначала общий знаменатель1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
Смешанные числа складывают по частямцелые с целыми, дробные с дробными
Размен целого при вычитании5 целых 1/4 = 4 целых 5/4

Порядок действий

Сравните знаменатели. Если они разные, приведите дроби к общему знаменателю.
Сложите или вычтите числители, знаменатель оставьте прежним.
Для смешанных чисел работайте отдельно с целыми и отдельно с дробными частями.
Если дробной части не хватает для вычитания, разменяйте одно целое.
Сократите результат и при необходимости выделите целую часть.

Разбор примеров

1/3 + 1/4

Знаменатели разные, НОК(3, 4) = 12.
1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12.
Складываем числители: 4 + 3 = 7.
Дробь 7/12 несократима.

Ответ: 7/12

5/6 − 1/2

НОК(6, 2) = 6, значит 1/2 = 3/6.
5/6 − 3/6 = 2/6.
Сокращаем на 2: 1/3.

Ответ: 1/3

5 целых 1/4 − 2 целых 3/4

Из 1/4 три четверти не вычесть.
Разменяем целое: 5 целых 1/4 = 4 целых 5/4.
Дробные: 5/4 − 3/4 = 2/4 = 1/2.
Целые: 4 − 2 = 2.

Ответ: 2 целых 1/2

Где обычно ошибаются

Складывают знаменатели: получают 1/2 + 1/2 = 2/4.
Приводят к общему знаменателю только одну дробь.
При вычитании смешанных чисел забывают уменьшить целую часть после размена.

Примеры с решением

1. 1/4 − 3/5

Общий знаменатель: НОК(4, 5) = 20
1/4 = 5/20, 3/5 = 12/20
5/20 − 12/20 = -7/20

Ответ: -7/20

2. 6/8 − 1/2

Общий знаменатель: НОК(8, 2) = 8
6/8 = 6/8, 1/2 = 4/8
6/8 − 4/8 = 2/8
Сокращаем: 2/8 = 1/4

Ответ: 1/4

3. 1/2 + 1/2

Общий знаменатель: НОК(2, 2) = 2
1/2 = 1/2, 1/2 = 1/2
1/2 + 1/2 = 2/2
Сокращаем: 2/2 = 1

Ответ: 1

4. 6/9 − 2/9

Общий знаменатель: НОК(9, 9) = 9
6/9 = 6/9, 2/9 = 2/9
6/9 − 2/9 = 4/9

Ответ: 4/9

5. 1/9 + 5/9

Общий знаменатель: НОК(9, 9) = 9
1/9 = 1/9, 5/9 = 5/9
1/9 + 5/9 = 6/9
Сокращаем: 6/9 = 2/3

Ответ: 2/3

Подсказки, если не получается

Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему.
Общий знаменатель — это НОК(4, 5) = 20.
Приведи дроби, сложи/вычти числители, потом сократи.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Обыкновенные дроби»

Полная справка по разделу — на странице Обыкновенные дроби.