Приведение к общему знаменателю: как решать

Привести дроби к общему знаменателю.

Определения

Общий знаменатель

Число, которое делится нацело на знаменатели всех данных дробей. Для 3/4 и 5/6 общими знаменателями будут 12, 24, 36 и другие.

Наименьший общий знаменатель

Наименьшее общее кратное знаменателей - самый маленький из возможных общих знаменателей. Для 4 и 6 это 12.

Дополнительный множитель

Число, показывающее, во сколько раз новый знаменатель больше старого. На него умножают и числитель, и знаменатель дроби.

Объяснение

Складывать и сравнивать доли можно только тогда, когда они одинакового размера. Треть и четверть - куски разной величины, поэтому напрямую сложить их нельзя, как нельзя сложить метры с килограммами. Сначала обе величины переводят в доли одного размера, и только потом складывают.

Общим знаменателем годится любое число, которое делится на оба знаменателя. Проще всего взять их произведение: оно точно подойдёт, потому что делится и на первый, и на второй. Но удобнее брать наименьшее общее кратное - числа получатся меньше, счёт легче, и сокращать в конце придётся реже.

Найдя общий знаменатель, для каждой дроби вычисляют дополнительный множитель: делят новый знаменатель на старый. Если общий знаменатель 12, а у дроби 3/4 знаменатель 4, то дополнительный множитель равен 12 : 4 = 3. На него умножают и числитель, и знаменатель: 3/4 = 9/12.

Умножать надо обязательно обе части. Это прямое следствие основного свойства дроби: только тогда её значение не изменится. Если умножить один знаменатель, получится совсем другое число, и все дальнейшие вычисления окажутся про другую задачу.

Есть частый случай, который стоит замечать: если один знаменатель делится на другой, больший и будет общим. Для 5/6 и 7/12 общий знаменатель просто 12, потому что 12 делится на 6. Никакого перемножения не требуется - достаточно привести только первую дробь.

Приведение к общему знаменателю нужно не только для сложения. Оно же используется при сравнении дробей и при решении уравнений с дробными коэффициентами. Приём один и тот же, поэтому имеет смысл разобраться в нём один раз как следует.

Правила и формулы

• Общий знаменатель - общее кратное знаменателейНОК(4, 6) = 12
• Дополнительный множитель12 : 4 = 3, значит 3/4 = 9/12
• Умножать надо обе части дробиa/b = (a · k)/(b · k)
• Если один знаменатель делится на другой, он и есть общийдля 5/6 и 7/12 общий знаменатель 12
• Произведение знаменателей всегда годится, но не всегда удобно

Порядок действий

1. Проверьте, не делится ли один знаменатель на другой - тогда он и будет общим.
2. Иначе найдите наименьшее общее кратное знаменателей.
3. Для каждой дроби разделите общий знаменатель на её знаменатель - получите дополнительный множитель.
4. Умножьте на него числитель и знаменатель этой дроби.
5. Проверьте, что у всех дробей знаменатели совпали.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Умножают только знаменатель, забыв про числитель.
• Берут произведение знаменателей там, где НОК заметно меньше: ответ верный, но счёт тяжелее.
• Считают дополнительный множитель делением старого знаменателя на новый, а не наоборот.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Знаменатель увеличили в несколько раз — во столько же раз растёт и числитель.
• Новый знаменатель больше старого в 14 : 7 = 2 раз.
• Умножь числитель 2 на 2.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Обыкновенные дроби»

• Сокращение дробей
• Смешанные и неправильные дроби
• Сложение и вычитание дробей
• Умножение и деление дробей
• Сравнение дробей
• Нахождение части от числа
• Нахождение числа по его части
• Десятичная дробь в обыкновенную

Полная справка по разделу — на странице Обыкновенные дроби.