Умножение и деление дробей: как решать

Умножить или разделить обыкновенные дроби.

Определения

Взаимно обратные числа

Два числа, произведение которых равно единице: 3/4 и 4/3. Чтобы получить обратное число к дроби, её переворачивают.

Умножение дробей

Действие, при котором числитель умножают на числитель, а знаменатель на знаменатель. Приводить к общему знаменателю не требуется.

Объяснение

Умножение дробей устроено проще сложения, и это удивляет: общий знаменатель тут не нужен вовсе. Числители перемножают между собой, знаменатели - между собой. Понять, почему так, можно на смысле: взять две трети от трёх четвертей - значит разделить три четверти на три части и взять две. Знаменатели перемножаются, потому что деление на части накладывается на уже сделанное деление.

Отсюда же понятно, что означает умножение на правильную дробь: результат становится меньше исходного числа. Это ломает привычку, вынесенную из натуральных чисел, где умножение всегда увеличивало. Взять половину от восьми - значит получить четыре, а не шестнадцать.

Перед умножением полезно сокращать крест-накрест: числитель одной дроби с знаменателем другой. Это законно, потому что в произведении все числители стоят множителями в общем числителе, а знаменатели - в общем знаменателе. Сократив заранее, вы избавитесь от больших чисел и от необходимости сокращать громоздкий ответ.

Деление на дробь заменяют умножением на перевёрнутую дробь. Почему это верно? Разделить на 2/3 - значит узнать, сколько раз две трети помещаются в числе. Две трети помещаются полтора раза в единице, то есть деление на 2/3 равносильно умножению на 3/2. Формально: деление на число - это умножение на обратное ему.

Смешанные числа перед умножением и делением обязательно переводят в неправильные дроби. Перемножать отдельно целые и отдельно дробные части нельзя: 1 целая 1/2, умноженная на 2, равна 3, а не «2 целых 1/2».

Как и в сложении, ответ приводят к несократимому виду и при необходимости выделяют целую часть. Если после сокращения в знаменателе осталась единица, дробь записывают целым числом.

Правила и формулы

• Умножение дробейa/b · c/d = (a · c)/(b · d)
• Деление - умножение на перевёрнутую дробьa/b : c/d = a/b · d/c
• Сокращать можно до умножения, крест-накрест3/4 · 2/9 = (3 · 2)/(4 · 9) = 1/6
• Смешанные числа сначала переводят в неправильные1 целая 1/2 = 3/2
• Умножение на правильную дробь уменьшает число

Порядок действий

1. Переведите смешанные числа в неправильные дроби.
2. Если это деление, замените его умножением на перевёрнутую вторую дробь.
3. Сократите числители со знаменателями крест-накрест.
4. Перемножьте числители и отдельно знаменатели.
5. Сократите ответ и при необходимости выделите целую часть.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Приводят дроби к общему знаменателю перед умножением - лишняя работа, а часто и ошибка.
• При делении переворачивают первую дробь вместо второй.
• Умножают смешанные числа по частям, не переведя их в неправильные.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Дроби умножают напрямую.
• Числитель · числитель, знаменатель · знаменатель.
• Перемножь и сократи результат.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Обыкновенные дроби»

• Сокращение дробей
• Приведение к общему знаменателю
• Смешанные и неправильные дроби
• Сложение и вычитание дробей
• Сравнение дробей
• Нахождение части от числа
• Нахождение числа по его части
• Десятичная дробь в обыкновенную

Полная справка по разделу — на странице Обыкновенные дроби.