Сравнение дробей: как решать

Сравнить две обыкновенные дроби.

Определения

Сравнение дробей

Установление, какая из двух дробей больше. Напрямую сравнивать можно только дроби с одинаковыми знаменателями или с одинаковыми числителями.

Перекрёстное умножение

Приём сравнения: числитель первой дроби умножают на знаменатель второй и наоборот; какое произведение больше, та дробь и больше.

Объяснение

Сравнивать дроби напрямую по числителю или по знаменателю нельзя: 2/3 больше, чем 3/5, хотя и числитель, и знаменатель у неё меньше. Нужен приём, который сводит обе дроби к сопоставимому виду.

Самый понятный случай - одинаковые знаменатели. Тогда доли одного размера, и больше та дробь, у которой взято больше долей: 5/8 больше 3/8. Отсюда общий способ: привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители.

Второй простой случай - одинаковые числители. Взяли поровну долей, но доли разного размера. Чем больше знаменатель, тем на большее число частей разрезано целое, тем мельче каждая часть. Значит, из 3/5 и 3/7 больше первая: пятые доли крупнее седьмых. Это правило часто ускоряет решение без всяких вычислений.

Универсальный приём - перекрёстное умножение. Чтобы сравнить a/b и c/d, сравнивают произведения a · d и b · c. По сути это то же приведение к общему знаменателю b · d, только знаменатель не выписывают: он у обеих дробей одинаковый и на сравнение не влияет.

Есть и приём сравнения с опорным числом, обычно с единицей или с половиной. Дробь 7/8 меньше единицы, а 9/8 больше, значит вторая больше первой, и считать ничего не нужно. Похоже работает сравнение с 1/2: 5/9 больше половины, а 4/9 меньше.

Для отрицательных дробей всё переворачивается, как и для целых чисел: из двух отрицательных больше та, у которой модуль меньше. Проще всего сравнить модули по обычным правилам, а потом поменять знак сравнения.

Правила и формулы

• Одинаковые знаменатели: больше та, у которой числитель больше5/8 > 3/8
• Одинаковые числители: больше та, у которой знаменатель меньше3/5 > 3/7
• Перекрёстное умножениеa/b и c/d: сравниваем a · d и b · c
• Сравнение с опорным числом7/8 < 1 < 9/8
• У отрицательных дробей сравнение модулей переворачивается

Порядок действий

1. Посмотрите, не совпадают ли знаменатели или числители - тогда ответ получается сразу.
2. Проверьте, не лежат ли дроби по разные стороны от единицы или половины.
3. Иначе примените перекрёстное умножение либо приведите к общему знаменателю.
4. Сравните полученные числа.
5. Запишите знак так, чтобы острый конец смотрел на меньшую дробь.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Сравнивают дроби покомпонентно: раз 2 < 3 и 3 < 5, значит 2/3 < 3/5. Это неверно.
• При одинаковых числителях считают, что больше дробь с большим знаменателем.
• В перекрёстном умножении сравнивают не те произведения, перепутав, к какой дроби относится результат.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Дроби удобно сравнивать перекрёстным умножением.
• Умножь числитель первой на знаменатель второй (1·9) и наоборот (6·2).
• Чей результат больше — та дробь и больше.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Обыкновенные дроби»

• Сокращение дробей
• Приведение к общему знаменателю
• Смешанные и неправильные дроби
• Сложение и вычитание дробей
• Умножение и деление дробей
• Нахождение части от числа
• Нахождение числа по его части
• Десятичная дробь в обыкновенную

Полная справка по разделу — на странице Обыкновенные дроби.