Натуральные числа
Считаем по разрядам: единицы с единицами, десятки с десятками.
Содержание
- Сложение и вычитание в пределах 20Сложить или вычесть два числа в пределах двадцати.
- Сложение и вычитание в пределах 50Сложить или вычесть числа в пределах пятидесяти.
- Сложение и вычитание в пределах 100Сложить или вычесть числа в пределах сотни.
- Умножение и деление в пределах 20Умножить или разделить в пределах двадцати.
- Умножение и деление в пределах 50Умножить или разделить в пределах пятидесяти.
- Умножение и деление в пределах 100Умножить или разделить в пределах сотни.
- Сравнение чиселСравнить два натуральных числа и поставить знак больше, меньше или равно.
- Все действия вперемешкуВсе четыре действия вперемешку - здесь проверяется не счёт, а выбор действия.
Сложение и вычитание в пределах 20
Определения
- Натуральные числа
- Числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3, 4 и так далее без конца. Ноль к натуральным числам не относят - им ничего не сосчитаешь, он показывает отсутствие предметов.
- Сумма
- Результат сложения. Числа, которые складывают, называют слагаемыми: в записи 8 + 5 = 13 слагаемые - это 8 и 5, а сумма - 13.
- Разность
- Результат вычитания. Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым, число, которое вычитают, - вычитаемым: в записи 15 − 8 = 7 уменьшаемое 15, вычитаемое 8, разность 7.
Объяснение
Сложение отвечает на вопрос «сколько стало вместе». Если к восьми яблокам добавили пять, спрашивать надо не «сколько яблок было», а «сколько их теперь» - и ответ находят сложением. Вычитание отвечает на обратный вопрос: сколько осталось, если часть убрали, или на сколько одно количество больше другого.
В пределах первого десятка ответы просто запоминают наизусть, как таблицу. Это не лень и не зубрёжка ради зубрёжки: пока состав числа приходится каждый раз пересчитывать по пальцам, на всё остальное - на задачу, на порядок действий, на проверку - внимания уже не остаётся. Поэтому состав чисел до десяти учат до автоматизма.
Настоящая трудность начинается там, где счёт переходит через десяток. Ответ 8 + 5 не влезает в первый десяток, и пересчитывать по одному долго и ненадёжно. Приём тут один и работает всегда: доводим первое число до круглого десятка, а остаток прибавляем уже к десятку. Чтобы дополнить восьмёрку до десяти, нужно два - берём эти два из пятёрки, остаётся три, и к десяти прибавляем три. Получается 13.
Почему так можно делать? Потому что пятёрку мы не изменили, а только разложили на две части: 5 = 2 + 3. Сумма от того, как разбить одно из слагаемых, не меняется. Это свойство называют сочетательным: складывать числа можно в любой группировке.
При вычитании тот же приём разворачивают в обратную сторону. Из 15 вычесть 8 - значит сначала спуститься до круглого десятка, то есть убрать 5, и только потом убрать оставшиеся 3. Здесь важно точно разложить вычитаемое: 8 = 5 + 3, а не 5 + 2. Именно на этом разложении чаще всего и теряют единицу.
Слагаемые можно менять местами - от перестановки сумма не изменится, это переместительное свойство сложения. С вычитанием так нельзя: 15 − 8 и 8 − 15 - разные вещи, и второе в натуральных числах вообще не выполняется. Проверить вычитание проще всего сложением: если разность верна, то она вместе с вычитаемым обязана дать уменьшаемое.
Правила и формулы
- Сложение
слагаемое + слагаемое = сумма - Вычитание
уменьшаемое − вычитаемое = разность - Переход через десяток: дополняем до 10, прибавляем остаток
8 + 5 = (8 + 2) + 3 = 10 + 3 = 13 - Переместительное свойство сложения
a + b = b + a - Проверка вычитания сложением
если 15 − 8 = 7, то 7 + 8 = 15
Порядок действий
- Посмотрите, переходит ли счёт через десяток. Если оба числа в пределах одного десятка, считайте сразу.
- Если переходит, дополните первое число до ближайшего десятка.
- Разложите второе число на две части: одна пошла на дополнение, вторую прибавляете (или вычитаете) отдельно.
- Выполните действие с круглым десятком - это всегда просто.
- Проверьте себя обратным действием: сложение проверяют вычитанием, вычитание - сложением.
Разбор примеров
- Девятке до десяти не хватает единицы.
- Разложим семёрку: 7 = 1 + 6.
- 9 + 1 = 10, остаётся прибавить 6.
- 10 + 6 = 16
- Спускаемся до десяти: от 14 надо убрать 4.
- Разложим шестёрку: 6 = 4 + 2.
- 14 − 4 = 10, остаётся убрать 2.
- 10 − 2 = 8
- Семёрке до десяти не хватает трёх.
- Разложим восьмёрку: 8 = 3 + 5.
- 7 + 3 = 10, прибавляем 5.
- 10 + 5 = 15
Где обычно ошибаются
- При переходе через десяток теряют единицу: 15 − 8 - это 15 − 5 − 3, а не 15 − 5 − 2. Всегда проверяйте, что части вычитаемого в сумме дают само вычитаемое.
- Меняют местами уменьшаемое и вычитаемое. Слагаемые переставлять можно, уменьшаемое с вычитаемым - нельзя.
- Считают по одному вместо приёма с десятком. Ответ выходит верный, но медленно и с ошибками на длинных примерах.
Сложение и вычитание в пределах 50
Определения
- Разряд
- Место цифры в записи числа. В числе 47 цифра 4 стоит в разряде десятков и означает 40, цифра 7 - в разряде единиц и означает 7.
- Разрядные слагаемые
- Части, на которые число раскладывают по разрядам: 47 = 40 + 7. Любое двузначное число равно сумме своих разрядных слагаемых.
- Круглое число
- Число, у которого в разряде единиц стоит ноль: 10, 20, 30. С круглыми числами считать проще всего, поэтому к ним стараются свести любой пример.
Объяснение
За пределами двадцати запоминать все ответы наизусть уже невозможно - и не нужно. Вместо этого пользуются устройством самой записи числа: любое двузначное число складывается из десятков и единиц. Число 47 - это четыре десятка и семь единиц, то есть 40 + 7. Такая запись называется разложением на разрядные слагаемые, и она превращает сложение двузначных чисел в несколько простых действий.
Приём такой: складываем отдельно десятки, отдельно единицы, потом соединяем. Для 34 + 12 берём 30 + 10 = 40 и 4 + 2 = 6, вместе получается 46. Работает это потому, что слагаемые можно переставлять и группировать как угодно - сумма от этого не меняется.
Сложность появляется, когда единицы в сумме перевалили за десяток. В примере 28 + 15 единицы дают 8 + 5 = 13, а тринадцать - это ещё один целый десяток и три единицы. Этот десяток передают к десяткам: 20 + 10 = 30, плюс полученный десяток - 40, и ещё 3. Итого 43. Именно это в столбике называют «переходом через разряд».
При вычитании бывает обратная история: единиц не хватает. В примере 42 − 17 из двух единиц семь не вычесть. Тогда один десяток уменьшаемого разменивают на десять единиц: 42 - это 30 и 12. Теперь 12 − 7 = 5, а 30 − 10 = 20, ответ 25. Размен - это не особое правило, а всё то же разложение числа, только выбранное поудобнее.
Есть и приём для устного счёта - округление. Прибавить 19 удобно так: прибавить 20, а потом вернуть лишнюю единицу. 34 + 19 = 34 + 20 − 1 = 53. Тот же ход годится для вычитания: 51 − 19 = 51 − 20 + 1 = 32. Главное не перепутать направление поправки, и здесь помогает простая мысль: если прибавили лишнее, лишнее надо убрать.
Проверять себя стоит прикидкой. Если складывают два числа около тридцати, ответ обязан быть около шестидесяти; получилось 24 - значит где-то потерян десяток. Прикидка не заменяет счёт, но ловит грубую ошибку мгновенно.
Правила и формулы
- Разложение на разрядные слагаемые
47 = 40 + 7 - Складываем по разрядам
34 + 12 = (30 + 10) + (4 + 2) = 46 - Переход через разряд: лишний десяток передаём к десяткам
28 + 15 = 30 + (13) = 43 - Размен десятка при вычитании
42 − 17 = (30 + 12) − (10 + 7) = 25 - Округление с поправкой
34 + 19 = 34 + 20 − 1 = 53
Порядок действий
- Разложите оба числа на десятки и единицы.
- Выполните действие отдельно с десятками и отдельно с единицами.
- Если единиц набралось десять и больше, передайте целый десяток к десяткам.
- Если единиц не хватает для вычитания, разменяйте один десяток уменьшаемого.
- Прикиньте ответ грубо и сравните с полученным.
Разбор примеров
- Десятки: 20 + 10 = 30.
- Единицы: 8 + 5 = 13.
- Тринадцать - это десяток и три: 30 + 10 = 40, плюс 3.
- 40 + 3 = 43
- Единиц не хватает: из 2 семь не вычесть.
- Разменяем десяток: 42 = 30 + 12.
- Единицы: 12 − 7 = 5. Десятки: 30 − 10 = 20.
- 20 + 5 = 25
- Прибавим круглое: 36 + 20 = 56.
- Прибавили на единицу больше нужного.
- 56 − 1 = 55
Где обычно ошибаются
- Забывают передать десяток: в 28 + 15 пишут 33, потому что 13 единиц оставили на месте единиц.
- При вычитании с разменом уменьшают не тот разряд: разменяли десяток, но забыли, что десятков стало на один меньше.
- При округлении возвращают поправку не в ту сторону: после «прибавили 20 вместо 19» надо вычесть единицу, а не прибавить.
Сложение и вычитание в пределах 100
Определения
- Сложение столбиком
- Запись, при которой числа пишут одно под другим так, чтобы единицы стояли под единицами, а десятки под десятками, и складывают по разрядам справа налево.
- Перенос
- Целый десяток, полученный при сложении единиц, который передают в разряд десятков. В столбике его помечают единицей над следующим разрядом.
- Заём
- Один десяток уменьшаемого, размененный на десять единиц, когда единиц не хватает для вычитания.
Объяснение
В пределах сотни числа те же двузначные, и работает то же разложение по разрядам. Отличие в том, что теперь при сложении переносы случаются постоянно, а держать всё в голове тяжело. Поэтому вводят запись столбиком - она не добавляет новых правил, а только раскладывает уже знакомые действия по местам, чтобы ничего не потерялось.
Главное в столбике - выравнивание. Единицы обязаны стоять строго под единицами, десятки под десятками. Если запись съехала, складываться будут числа из разных разрядов, и ответ окажется неверным, хотя каждое отдельное действие выполнено правильно. Поэтому в тетради столбик пишут по клеткам: одна цифра - одна клетка.
Считают справа налево, с младшего разряда. Если сумма единиц оказалась не меньше десяти, записывают только её последнюю цифру, а целый десяток переносят к десяткам - помечают маленькой единицей сверху. Например, в 47 + 38 единицы дают 15: пишем 5, переносим 1. Десятки дают 4 + 3 = 7, плюс перенесённая единица - 8. Ответ 85.
Вычитание устроено зеркально. Если единиц уменьшаемого не хватает, занимают десяток у соседнего разряда: он превращается в десять единиц. В примере 63 − 28 из трёх восемь не вычесть, поэтому берём десяток - теперь единиц 13, а десятков осталось 5. Считаем: 13 − 8 = 5, 5 − 2 = 3. Ответ 35. Занятый десяток обязательно надо вычеркнуть или отметить, иначе его посчитают дважды.
Устные приёмы никуда не деваются и часто быстрее столбика. Круглые числа складывают сразу; число вида 99 удобно считать как 100 без единицы; разность 100 − 37 находят как 63, потому что 37 и 63 дополняют друг друга до сотни. Такие дополнения до круглого числа стоит знать наизусть - они постоянно встречаются в задачах на сдачу и на остаток.
Проверка обязательна, и она бесплатная: сложение проверяют вычитанием одного из слагаемых из суммы, вычитание - сложением разности с вычитаемым. Если проверка не сошлась, ошибка почти всегда в переносе или займе, а не в таблице сложения.
Правила и формулы
- В столбике разряд пишется под своим разрядом
единицы под единицами, десятки под десятками - Считаем справа налево, с единиц
- Перенос при сложении
47 + 38: единицы 15 → пишем 5, переносим 1 - Заём при вычитании
63 − 28: занимаем десяток, единиц становится 13 - Дополнение до сотни
100 − 37 = 63, потому что 37 + 63 = 100
Порядок действий
- Запишите числа столбиком, выровняв разряды.
- Сложите или вычтите единицы.
- При сложении лишний десяток перенесите, при вычитании недостающие единицы займите.
- Выполните действие с десятками, не забыв про перенос или заём.
- Проверьте результат обратным действием.
Разбор примеров
- Единицы: 7 + 8 = 15, пишем 5, переносим 1.
- Десятки: 4 + 3 = 7, плюс перенос 1, всего 8.
- Получилось 85.
- Проверка: 85 − 38 = 47.
- Из 3 восемь не вычесть, занимаем десяток.
- Единиц стало 13, десятков осталось 5.
- 13 − 8 = 5, 5 − 2 = 3.
- Проверка: 35 + 28 = 63.
- Ищем дополнение 37 до сотни.
- До 40 не хватает 3, от 40 до 100 ещё 60.
- 3 + 60 = 63
Где обычно ошибаются
- Съехавшая запись: десятки складывают с единицами. Ошибка не в счёте, а в выравнивании.
- Забывают прибавить перенос к следующему разряду.
- Занятый десяток учитывают дважды: и заняли, и оставили старую цифру десятков.
Умножение и деление в пределах 20
Определения
- Умножение
- Краткая запись сложения одинаковых слагаемых: 3 · 4 означает «взять по 3 четыре раза», то есть 3 + 3 + 3 + 3.
- Множители и произведение
- Числа, которые умножают, называют множителями, а результат - произведением: в записи 3 · 4 = 12 множители 3 и 4, произведение 12.
- Деление
- Действие, обратное умножению: разделить 12 на 3 - значит найти число, которое при умножении на 3 даёт 12. Делимое 12, делитель 3, частное 4.
Объяснение
Умножение придумали, чтобы не писать длинных сумм. Если к трём прибавить три четыре раза подряд, получится то же самое, что 3 · 4. Из этого сразу видно, зачем нужно умножение: оно сокращает счёт там, где одинаковое повторяется много раз - строки в таблице, детали в коробках, цена за штуку.
Из определения выводится и переместительное свойство: 3 · 4 и 4 · 3 дают одно и то же. Наглядно это видно на прямоугольнике из точек - три ряда по четыре или четыре ряда по три содержат одинаковое количество точек, просто смотрим на них с разных сторон. Поэтому таблицу умножения учат вдвое короче, чем кажется: половина ответов повторяется.
Деление - обратное действие. Вопрос «сколько будет 12 : 3» на самом деле означает «на сколько надо умножить 3, чтобы получить 12». Отсюда сразу два способа проверки и два смысла деления: разделить 12 конфет на 3 человека поровну (по сколько досталось каждому) и разложить 12 конфет по 3 в пакет (сколько получилось пакетов). Число получается одно, а вопросы разные.
Особые случаи стоит запомнить отдельно, потому что они выпадают из общей логики. Умножение на единицу число не меняет. Умножение на ноль всегда даёт ноль: сколько раз ни бери ничего, ничего и останется. Деление на единицу оставляет число прежним, деление числа на само себя даёт единицу. А вот делить на ноль нельзя вообще: не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы, скажем, семь.
В пределах двадцати таблица небольшая, но именно на ней закладывается скорость дальнейшего счёта. Если 7 · 2 приходится складывать в уме как 7 + 7, то в дробях и уравнениях на это будет уходить всё внимание. Поэтому таблицу до 20 доводят до автоматизма, а не пересчитывают каждый раз.
Проверять деление надо умножением: частное умножить на делитель и сравнить с делимым. Это надёжнее, чем перепроверять тот же ход мысли второй раз - обратное действие ловит ошибку, которую прямое повторение просто воспроизведёт.
Правила и формулы
- Умножение - сложение одинаковых слагаемых
3 · 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 - Переместительное свойство
a · b = b · a - Деление обратно умножению
12 : 3 = 4, потому что 4 · 3 = 12 - Особые случаи
a · 1 = a, a · 0 = 0, a : 1 = a, a : a = 1 - На ноль делить нельзя
Порядок действий
- Определите действие: умножение соединяет равные части, деление их разбирает.
- Для умножения найдите ответ по таблице; если забыли, посчитайте сложением.
- Для деления подберите число, которое при умножении на делитель даёт делимое.
- Проверьте результат обратным действием.
Разбор примеров
- Это 6 + 6 + 6.
- 6 + 6 = 12, 12 + 6 = 18.
- Ищем число, которое при умножении на 3 даёт 18.
- 3 · 6 = 18, значит частное 6.
- Проверка: 6 · 3 = 18.
- Умножить на два - значит удвоить.
- 7 + 7 = 14
Где обычно ошибаются
- Путают, что на что делят: 18 : 3 и 3 : 18 - разные примеры, и второй в натуральных числах не выполняется.
- Считают, что умножение на ноль даёт само число. Нет: любое число, умноженное на ноль, даёт ноль.
- Пытаются делить на ноль. Такого действия не существует, а не «получается ноль».
Умножение и деление в пределах 50
Определения
- Таблица умножения
- Готовые произведения однозначных чисел от 1 · 1 до 9 · 9. Её знают наизусть: она основа всех остальных вычислений.
- Деление с остатком
- Деление, при котором делимое не делится нацело: 47 : 5 = 9 и 2 в остатке. Остаток всегда меньше делителя.
- Кратное
- Число, которое делится на данное нацело. Числа 5, 10, 15, 20 - кратные пяти.
Объяснение
В пределах пятидесяти умножение почти целиком опирается на таблицу. Но встречаются и примеры, где один из множителей двузначный, - тогда его раскладывают на разрядные слагаемые и умножают по частям. Умножить 14 на 3 - значит умножить на 3 отдельно десяток и отдельно четвёрку: 30 + 12 = 42. Это распределительное свойство умножения, и оно работает всегда.
Тот же приём объясняет, почему удобно умножать на круглые числа. Умножить на 20 - значит умножить на 2 и приписать ноль, потому что 20 = 2 · 10. Разложение множителя на удобные части - главный устный приём: 15 · 4 считают как 15 · 2 · 2 = 60, а не подбирают по таблице.
Деление в этих пределах чаще всего сводится к подбору по той же таблице: чтобы найти 42 : 6, вспоминают, что 6 · 7 = 42. Если делимое двузначное и в таблице не встречается, его раскладывают: 48 : 4 - это (40 + 8) : 4 = 10 + 2 = 12.
Отдельная тема - деление с остатком. Не всякое число делится нацело, и это нормально: 47 конфет на 5 человек поровну не разложить, каждому достанется по 9, а две останутся. Записывают это так: 47 = 5 · 9 + 2. Ключевое требование - остаток обязан быть меньше делителя. Если в остатке получилось число не меньше делителя, значит частное занижено и в нём можно взять ещё единицу.
Проверка деления с остатком выглядит как обратная сборка: частное умножить на делитель и прибавить остаток - должно получиться делимое. Эта же формула потом работает в дробях, в задачах на части и в делимости, поэтому её стоит понять, а не запомнить как отдельный случай.
Прикидка помогает и здесь. Если делят число около сорока на число около шести, частное обязано быть около семи. Ответ 14 или 2 говорит, что где-то потеряли или добавили разряд.
Правила и формулы
- Распределительное свойство
14 · 3 = (10 + 4) · 3 = 30 + 12 = 42 - Умножение на круглое число
15 · 20 = 15 · 2 · 10 = 300 - Деление по частям
48 : 4 = (40 + 8) : 4 = 10 + 2 = 12 - Деление с остатком
a = b · q + r, где 0 ≤ r < b - Остаток всегда меньше делителя
47 : 5 = 9 (ост. 2)
Порядок действий
- Если оба числа однозначные, берите ответ из таблицы.
- Если один множитель двузначный, разложите его на десятки и единицы и умножьте по частям.
- При делении подберите частное по таблице или разложите делимое на удобные части.
- Если нацело не делится, найдите наибольшее подходящее частное и запишите остаток.
- Проверьте: частное умножить на делитель, прибавить остаток - выйдет делимое.
Разбор примеров
- Разложим 14 на 10 и 4.
- 10 · 3 = 30, 4 · 3 = 12.
- 30 + 12 = 42
- Ближайшее кратное пяти снизу - 45.
- 45 : 5 = 9, до 47 остаётся 2.
- Остаток 2 меньше делителя 5 - значит верно.
- Проверка: 5 · 9 + 2 = 47.
- Разложим 48 на 40 и 8.
- 40 : 4 = 10, 8 : 4 = 2.
- 10 + 2 = 12
Где обычно ошибаются
- Оставляют остаток не меньше делителя: в 47 : 5 пишут 8 и остаток 7. Значит, частное можно увеличить.
- При умножении по частям умножают только десятки и забывают единицы.
- В проверке деления с остатком забывают прибавить сам остаток.
Умножение и деление в пределах 100
Определения
- Умножение столбиком
- Запись, при которой двузначное число умножают на однозначное по разрядам справа налево, перенося лишние десятки в следующий разряд.
- Делимое, делитель, частное
- В записи 96 : 8 = 12 делимое 96 - то, что делят; делитель 8 - на сколько делят; частное 12 - результат.
- Деление уголком
- Запись деления многозначного числа, при которой делимое разбирают по разрядам слева направо, на каждом шаге находя очередную цифру частного.
Объяснение
В пределах сотни умножение двузначного числа на однозначное всё ещё удобно делать в уме через разрядные слагаемые: 24 · 4 - это 80 + 16 = 96. Но когда чисел много и они неудобные, ту же работу записывают столбиком. Столбик не вводит нового правила, он только фиксирует порядок: сначала единицы, потом десятки, лишнее переносим.
Порядок в столбике тот же, что и при сложении, - справа налево. Умножая 24 на 4, сначала берём 4 · 4 = 16: пишем 6, переносим 1. Затем 2 · 4 = 8, прибавляем перенесённую единицу, получаем 9. Ответ 96. Перенос обязательно прибавляют после умножения разряда, а не до него - это самая частая ошибка в записи.
Деление в пределах сотни чаще всего решают подбором по таблице: 72 : 8 = 9, потому что 8 · 9 = 72. Если делимое неудобное, его разбирают по частям: 84 : 6 = (60 + 24) : 6 = 10 + 4 = 14. Разбивать надо на слагаемые, каждое из которых делится на делитель нацело, - иначе приём не сработает.
Полезно помнить признаки делимости, они экономят время. На 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 - оканчивающиеся на 0 или 5, на 10 - оканчивающиеся на 0, на 3 - те, у которых сумма цифр делится на 3. Проверив признак, вы сразу знаете, будет ли остаток, и не тратите времени на подбор.
Умножение и деление на круглые числа сводятся к приписыванию и отбрасыванию нулей, но с оговоркой. Умножить на 10 - приписать ноль, это следует из устройства десятичной записи: каждый разряд сдвигается влево. Разделить на 10 можно только число, оканчивающееся нулём, иначе получится не целое.
Проверка остаётся прежней: умножение проверяют делением, деление - умножением. При делении с остатком к произведению прибавляют остаток. Прикидка тоже работает: 84 : 6 обязано дать около четырнадцати, потому что 6 · 14 = 84, а вот ответ 4 или 40 сразу выдаёт потерянный разряд.
Правила и формулы
- Умножение по разрядам
24 · 4 = (20 + 4) · 4 = 80 + 16 = 96 - В столбике перенос прибавляют ПОСЛЕ умножения разряда
4 · 4 = 16 → пишем 6, переносим 1 - Деление по частям
84 : 6 = (60 + 24) : 6 = 10 + 4 = 14 - Признаки делимости
на 2 - чётная последняя цифра; на 5 - 0 или 5; на 3 - сумма цифр кратна 3 - Умножение на 10 приписывает ноль
37 · 10 = 370
Порядок действий
- Разложите двузначный множитель на десятки и единицы либо запишите столбиком.
- Умножайте по разрядам справа налево, перенося лишние десятки.
- При делении сначала проверьте признак делимости - будет ли остаток.
- Разбейте делимое на части, которые делятся нацело, и разделите каждую.
- Проверьте ответ обратным действием и прикидкой.
Разбор примеров
- Единицы: 4 · 4 = 16, пишем 6, переносим 1.
- Десятки: 2 · 4 = 8, плюс перенос 1, получаем 9.
- Ответ 96.
- Проверка: 96 : 4 = 24.
- Разобьём 84 на 60 и 24 - обе части делятся на 6.
- 60 : 6 = 10, 24 : 6 = 4.
- 10 + 4 = 14
- Проверка: 14 · 6 = 84.
- Разложим 17 на 10 и 7.
- 10 · 5 = 50, 7 · 5 = 35.
- 50 + 35 = 85
Где обычно ошибаются
- В столбике прибавляют перенос до умножения разряда, а не после: считают (2 + 1) · 4 вместо 2 · 4 + 1.
- Разбивают делимое на части, которые сами не делятся нацело, - и получают дробные промежуточные ответы.
- Приписывают ноль при умножении на 10 к неверному месту, например в середине числа.
Сравнение чисел
Определения
- Знаки сравнения
- Знак > означает «больше», < - «меньше», = - «равно». Острый угол знака всегда смотрит на меньшее число, а раскрытая сторона - на большее.
- Разрядность числа
- Количество цифр в записи числа. Из двух натуральных чисел больше то, в котором цифр больше.
- Координатный луч
- Луч, на котором отмечены числа по порядку от нуля. Из двух чисел больше то, которое стоит на луче правее.
Объяснение
Сравнить числа - значит ответить, какое из них больше, или установить, что они равны. Наглядный смысл прост: число больше, если им обозначено большее количество. Пятнадцать яблок больше девяти, потому что девять - это часть пятнадцати, там ещё шесть остаётся.
Для натуральных чисел есть быстрый способ, не требующий пересчёта. Сначала сравнивают количество цифр: любое трёхзначное число больше любого двузначного, потому что даже самое маленькое трёхзначное - 100 - уже больше самого большого двузначного 99. Это правило работает всегда и решает половину примеров сразу.
Если цифр поровну, сравнивают поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда. Первое же расхождение и решает дело: в числах 472 и 439 сотни одинаковые, а десятков четыре против трёх - значит первое число больше, и остальные цифры смотреть уже не нужно. Именно поэтому сравнение начинают слева, а не справа: старший разряд весит больше всех младших вместе взятых.
Полезно держать в голове картинку координатного луча. Числа на нём расставлены по порядку слева направо, и «больше» означает «правее». Такое понимание пригодится сразу, как только появятся отрицательные числа: там правило «больше цифр - больше число» ломается, а правило «правее на прямой» остаётся верным.
Знак сравнения записывают так, чтобы острый конец смотрел на меньшее число. Способ запомнить: знак похож на раскрытый клюв, который поворачивается к большему куску. Запись 9 < 15 читают «девять меньше пятнадцати», запись 15 > 9 - «пятнадцать больше девяти». Это одно и то же утверждение, записанное с разных сторон.
Отдельно стоит следить за равенством. Если числа совпали во всех разрядах, ставят знак равно, а не «больше или равно» - последний используют, когда возможны оба случая, и в этой теме он не нужен.
Правила и формулы
- Больше цифр - больше число
100 > 99 - При равном числе цифр сравниваем поразрядно слева
472 > 439, потому что 7 > 3 в разряде десятков - Острый угол знака смотрит на меньшее число
9 < 15, 15 > 9 - На координатном луче большее число стоит правее
Порядок действий
- Сравните количество цифр. Если оно разное, ответ уже получен.
- Если цифр поровну, сравнивайте разряды слева направо.
- Остановитесь на первом разряде, где цифры различаются, - он и определяет ответ.
- Если различий нет, числа равны.
- Запишите знак так, чтобы острый конец смотрел на меньшее число.
Разбор примеров
- Цифр поровну - по три.
- Сотни одинаковые: 4 и 4.
- Десятки: 7 против 3, значит первое больше.
- В первом две цифры, во втором три.
- Трёхзначное всегда больше двузначного.
- Цифр поровну.
- Сотни и десятки совпадают.
- Единицы: 0 против 6.
Где обычно ошибаются
- Сравнивают с младшего разряда: в 472 и 439 смотрят на единицы 2 и 9 и делают неверный вывод.
- Разворачивают знак: пишут 9 > 15, читая запись справа налево.
- Считают, что число с большей первой цифрой всегда больше: 9 не больше 103, хотя 9 > 1.
Все действия вперемешку
Определения
- Порядок действий
- Правило, определяющее очерёдность вычислений: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
- Действия первой и второй ступени
- Сложение и вычитание относят к первой ступени, умножение и деление - ко второй. Действия второй ступени выполняются раньше.
- Значение выражения
- Число, которое получается после выполнения всех действий в правильном порядке.
Объяснение
Когда действия перемешаны, главная работа - не сосчитать, а понять, что именно считать и в каком порядке. Ошибки в таких заданиях почти никогда не связаны с таблицей умножения: считают верно, но не то.
Порядок действий - не произвольная договорённость, а следствие смысла умножения. Запись 2 + 3 · 4 означает «к двум прибавить три четвёрки», то есть сначала надо получить эти три четвёрки, а уже потом прибавлять. Если бы считали слева направо, вышло бы 20 вместо 14 - другой ответ на другой вопрос.
Скобки существуют как раз для того, чтобы менять этот естественный порядок, когда он не подходит. Запись (2 + 3) · 4 читается иначе: сначала находим сумму, а потом берём её четырежды. Поэтому скобки - не украшение, а способ сказать «здесь сначала».
Если действий одной ступени несколько подряд, их выполняют слева направо. Для сложения порядок не важен - сумма не изменится, а вот для вычитания и деления важен: 20 − 5 − 3 равно 12, а если сначала посчитать 5 − 3, получится 18. То же с делением: 24 : 4 : 2 - это 3, а не 12.
В текстовых заданиях выбор действия подсказывают слова. «Всего», «вместе» - обычно сложение. «Осталось», «на сколько меньше» - вычитание. «По столько-то каждому», «в несколько раз больше» - умножение. «Разделить поровну», «во сколько раз больше» - деление. Но слова не заменяют разбора: надёжнее всего представить, что происходит с количеством.
Полезная привычка - прикидывать ответ до вычислений. Если из числа около сорока вычитают около десяти, ответ обязан быть около тридцати. Прикидка не даёт точного результата, зато мгновенно ловит перепутанное действие.
Правила и формулы
- Сначала скобки
(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 - Потом умножение и деление
2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 - Потом сложение и вычитание
- Действия одной ступени - слева направо
20 − 5 − 3 = 15 − 3 = 12 - Проверка обратным действием
сложение проверяют вычитанием, умножение - делением
Порядок действий
- Прочитайте задание целиком и решите, что вообще требуется найти.
- Расставьте порядок действий: скобки, потом вторая ступень, потом первая.
- Выполните действия по одному, записывая промежуточные результаты.
- Прикиньте, похож ли ответ на правду.
- Проверьте обратным действием.
Разбор примеров
- Сначала умножение: 3 · 4 = 12.
- Затем сложение: 2 + 12 = 14.
- Скобки первыми: 15 − 7 = 8.
- Затем умножение: 8 · 3 = 24.
- Обе части второй ступени считаем первыми.
- 36 : 6 = 6, 4 · 2 = 8.
- Складываем: 6 + 8 = 14.
Где обычно ошибаются
- Считают слева направо, не глядя на ступень: в 2 + 3 · 4 получают 20.
- В цепочке вычитаний или делений меняют порядок: 20 − 5 − 3 считают как 20 − (5 − 3).
- Раскрывают скобки, когда в них ещё не выполнено действие.
Пример с решением
- 19 + 20 = 39
- 5 + 3 = 8
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.