Все действия вперемешку: как решать
Все действия с целыми числами вперемешку.
Определения
- Выражение со знаками
- Запись, в которой целые числа соединены действиями и скобками. Значение выражения находят, соблюдая порядок действий и правила знаков.
- Раскрытие скобок
- Замена выражения со скобками равным ему выражением без них. Перед скобкой плюс - знаки внутри сохраняются, минус - все знаки внутри меняются на противоположные.
Объяснение
В смешанных примерах встречаются сразу две системы правил, и путать их нельзя. Порядок действий отвечает на вопрос «что считать раньше», правила знаков - на вопрос «какой знак у результата». Эти правила независимы: сначала определяют очерёдность, потом внутри каждого действия применяют знаки.
Порядок прежний: сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание, а действия одной ступени - слева направо. Знак минус перед скобкой не делает выражение особым: скобка всё равно считается первой.
Важно помнить, что правило знаков у сложения и у умножения разное, хотя записывается похоже. При сложении разных знаков модули вычитают и берут знак большего. При умножении разных знаков модули перемножают, а знак всегда минус. Смешение этих двух правил - главный источник ошибок в теме.
Раскрытие скобок нужно, когда перед скобкой стоит минус. Выражение −(7 − 12) равно −7 + 12, то есть 5: минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри. Понять это можно так: −(7 − 12) = (−1) · (7 − 12), а умножение на минус единицу переворачивает знаки обоих слагаемых.
Когда действий много, полезно записывать промежуточные результаты в столбик, по одному действию на строку. Попытка удержать всю цепочку в голове почти всегда заканчивается потерянным минусом - причём заметить это постфактум труднее, чем ошибку в счёте.
Проверка складывается из двух частей: прикинуть величину и отдельно проверить знак. Если по смыслу выражение обязано быть отрицательным - например, из небольшого положительного вычитают большое, - а вышло положительное, дальше можно не считать, ошибка в знаке.
Правила и формулы
- Сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание
- Действия одной ступени - слева направо
- Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри
−(7 − 12) = −7 + 12 = 5 - Знаки при сложении и при умножении подчиняются разным правилам
- Умножение разных знаков всегда даёт минус
(−3) · 4 = −12
Порядок действий
- Расставьте порядок действий, не глядя пока на знаки.
- Раскройте скобки, если перед ними стоит минус.
- Выполняйте действия по одному, записывая промежуточный результат.
- Для каждого действия применяйте своё правило знаков - сложения или умножения.
- Проверьте отдельно величину прикидкой и отдельно знак по смыслу.
Разбор примеров
- Сначала умножение: разные знаки дают минус, 3 · 4 = 12, значит −12.
- Остаётся −12 + (−12).
- Знаки одинаковые: складываем модули, знак минус.
- В скобках: 7 − 12 = −5.
- Минус перед скобкой меняет знак: −(−5) = 5.
- Деление первым: разные знаки дают минус, 18 : 3 = 6, значит −6.
- Затем сложение: −6 + 5.
- Знаки разные, больший модуль у 6 - ответ отрицательный, 6 − 5 = 1.
Где обычно ошибаются
- Применяют к сложению правило умножения: считают, что «минус на минус даёт плюс» и в сумме −4 + (−3).
- При раскрытии скобок меняют знак только у первого слагаемого.
- Выполняют сложение раньше умножения, потому что оно записано левее.
Примеры с решением
- (−56) − (−60) = -56 + 60
- = 4
- 16 + 33 = 49
- (−35) : (−7) = 5
- Проверка: 5 · (−7) = (−35)
- (−61) − 69 = -130
- (−96) + (−39) = -135
Подсказки, если не получается
- Это вычитание.
- Вычесть число — это прибавить противоположное: a − (−b) = a + b.
- Теперь вычти (−56) и (−60).
Другие темы раздела «Целые числа»
- Сложение и вычитание в пределах 20
- Сложение и вычитание в пределах 50
- Сложение и вычитание в пределах 100
- Умножение и деление в пределах 20
- Умножение и деление в пределах 50
- Умножение и деление в пределах 100
- Сравнение чисел
Полная справка по разделу — на странице Целые числа.