Целые числа
Главное — правила знаков.
Содержание
- Сложение и вычитание в пределах 20Сложить или вычесть целые числа со знаком в пределах двадцати.
- Сложение и вычитание в пределах 50Сложить или вычесть целые числа со знаком в пределах пятидесяти.
- Сложение и вычитание в пределах 100Сложить или вычесть целые числа со знаком в пределах сотни.
- Умножение и деление в пределах 20Умножить или разделить целые числа со знаком в пределах двадцати.
- Умножение и деление в пределах 50Умножить или разделить целые числа со знаком в пределах пятидесяти.
- Умножение и деление в пределах 100Умножить или разделить целые числа со знаком в пределах сотни.
- Сравнение чиселСравнить два целых числа со знаком.
- Все действия вперемешкуВсе действия с целыми числами вперемешку.
Сложение и вычитание в пределах 20
Определения
- Целые числа
- Натуральные числа, им противоположные отрицательные и ноль: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 … Отрицательные числа нужны там, где величина может уйти ниже выбранной точки отсчёта: температура, долг, глубина.
- Модуль числа
- Расстояние от числа до нуля на координатной прямой, всегда неотрицательное. Обозначается двумя вертикальными чертами: |−7| = 7, |7| = 7.
- Противоположные числа
- Два числа, отличающиеся только знаком: 7 и −7. Их сумма равна нулю.
Объяснение
Отрицательные числа появляются, когда вычитание не помещается в натуральные: из трёх пяти не вычесть, если считать предметы, но вполне можно, если считать температуру или деньги. Три градуса мороза, долг в пять рублей, два этажа вниз - все эти величины требуют чисел меньше нуля.
Удобнее всего представлять целые числа точками на координатной прямой: ноль посередине, положительные вправо, отрицательные влево. Тогда сложение - это движение по прямой. Прибавить положительное число значит шагнуть вправо, прибавить отрицательное - влево. Вычитание же означает шаг в обратную сторону.
Из этой картинки выводятся оба правила знаков. Если складывают числа одного знака, шаги идут в одну сторону, поэтому модули складывают, а знак остаётся общим: −4 + (−3) = −7. Если знаки разные, шаги идут навстречу и частично гасят друг друга: побеждает тот, у кого модуль больше, а результат равен разности модулей. Так −9 + 4 = −5, потому что девять «сильнее» четырёх на пять.
Вычитание отдельного правила не требует - его сводят к сложению. Вычесть число значит прибавить противоположное: 5 − 8 = 5 + (−8) = −3. Это позволяет не запоминать четыре случая вычитания, а свести всё к двум случаям сложения. Приём выглядит формальным, но именно он потом работает в алгебре, где под знаком минус стоит целое выражение.
Два минуса подряд превращаются в плюс: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Смысл прост: «убрать долг» - то же самое, что «прибавить деньги». Если из температуры вычесть минус три градуса, станет теплее, а не холоднее.
Модуль в этих правилах служит рабочим инструментом: он отделяет величину от направления. Сначала решают, каким будет знак ответа, потом отдельно считают модуль. Такое разделение сильно сокращает ошибки: не надо держать в голове знак и счёт одновременно.
Правила и формулы
- Одинаковые знаки: модули складываем, знак сохраняем
−4 + (−3) = −7 - Разные знаки: из большего модуля вычитаем меньший, берём знак большего
−9 + 4 = −5 - Вычитание сводится к сложению противоположного
a − b = a + (−b) - Два минуса дают плюс
5 − (−3) = 5 + 3 = 8 - Сумма противоположных чисел равна нулю
7 + (−7) = 0
Порядок действий
- Замените вычитание сложением с противоположным числом.
- Сравните знаки слагаемых.
- При одинаковых знаках сложите модули и поставьте общий знак.
- При разных знаках вычтите меньший модуль из большего и возьмите знак числа с большим модулем.
- Проверьте по координатной прямой: сдвиг влево или вправо.
Разбор примеров
- Знаки разные, значит вычитаем модули.
- 9 − 4 = 5.
- Больший модуль у −9, знак минус.
- Вычесть минус три - значит прибавить три.
- 5 + 3 = 8
- Переписываем как сложение: −6 + (−7).
- Знаки одинаковые, складываем модули: 6 + 7 = 13.
- Общий знак минус.
Где обычно ошибаются
- Складывают модули при разных знаках: получают −13 там, где должно быть −5.
- Теряют знак результата: считают модуль верно, а минус не ставят.
- Путаются в двойном минусе: 5 − (−3) считают как 5 − 3.
Сложение и вычитание в пределах 50
Определения
- Алгебраическая сумма
- Выражение, в котором сложение и вычитание записаны подряд: 34 − 17 + 8. Его удобно читать как сумму чисел со знаками: +34, −17, +8.
- Слагаемое со знаком
- Число вместе со своим знаком, взятое как единое целое. В выражении 34 − 17 слагаемые - это +34 и −17.
Объяснение
В пределах пятидесяти правила знаков остаются теми же, но чисел в выражении становится больше, и появляется цепочка из нескольких действий. Разбирать её по одному действию слева направо можно, но неудобно: на каждом шаге приходится заново решать про знаки.
Гораздо надёжнее переписать всё выражение как сумму слагаемых со знаками. Запись 34 − 17 + 8 - это сумма трёх чисел: +34, −17 и +8. После такой перезаписи вычитания в выражении не остаётся вообще, а сумму можно складывать в любом порядке, потому что слагаемые переставлять разрешено.
Отсюда главный приём: сгруппировать отдельно все положительные и отдельно все отрицательные. Положительные дают 34 + 8 = 42, отрицательные - только −17. Остаётся сложить два числа с разными знаками: 42 − 17 = 25. Такой ход особенно выручает, когда слагаемых пять или шесть.
Счёт модулей в этих пределах уже двузначный, поэтому работают приёмы из натуральных чисел: разрядные слагаемые, округление с поправкой, размен десятка. Знак к этому отношения не имеет - его определяют один раз, до вычислений.
Полезно помнить, что сумма противоположных чисел равна нулю, и высматривать такие пары. В выражении −23 + 15 + 23 не нужно считать по порядку: −23 и +23 гасят друг друга, остаётся 15. Это не хитрость, а прямое следствие переместительного свойства.
Проверять удобно прикидкой по координатной прямой: если начали в районе тридцати и в сумме сдвинулись влево примерно на семнадцать, ответ обязан оказаться около двадцати пяти. Ответ противоположного знака сразу говорит, что перепутано направление.
Правила и формулы
- Выражение переписываем как сумму слагаемых со знаками
34 − 17 + 8 = (+34) + (−17) + (+8) - Слагаемые можно переставлять и группировать
−23 + 15 + 23 = (−23 + 23) + 15 = 15 - Одинаковые знаки: складываем модули
−12 + (−19) = −31 - Разные знаки: вычитаем модули, берём знак большего
42 − 17 = 25 - Сумма противоположных равна нулю
a + (−a) = 0
Порядок действий
- Перепишите выражение как сумму чисел со знаками.
- Найдите пары противоположных чисел и вычеркните их.
- Сложите отдельно все положительные, отдельно все отрицательные.
- Сложите два полученных числа по правилу разных знаков.
- Проверьте прикидкой: в какую сторону и насколько сместились от первого числа.
Разбор примеров
- Переписываем: (+34) + (−17) + (+8).
- Положительные: 34 + 8 = 42.
- Отрицательные: −17.
- 42 − 17 = 25
- Замечаем противоположные: −23 и +23.
- Их сумма равна нулю.
- Остаётся 15.
- Переписываем: (−12) + (−19).
- Знаки одинаковые, складываем модули: 12 + 19 = 31.
- Знак минус.
Где обычно ошибаются
- При перезаписи теряют знак: в 34 − 17 второе слагаемое считают как +17.
- Группируют положительные и отрицательные, но в конце складывают их модули вместо вычитания.
- Не замечают противоположных пар и считают всё подряд, накапливая ошибки.
Сложение и вычитание в пределах 100
Определения
- Координатная прямая
- Прямая с выбранным началом отсчёта, направлением и единичным отрезком. Каждому целому числу на ней отвечает своя точка.
- Расстояние между точками
- Модуль разности координат: между точками −13 и 46 расстояние |46 − (−13)| = 59.
Объяснение
В пределах сотни к правилам знаков добавляется вся техника двузначного счёта: столбик, перенос, заём, размен десятка. Ошибки тут делятся на два несвязанных вида - ошибка в знаке и ошибка в модуле. Разделять их полезно и в работе: сначала определить знак ответа, потом отдельно и спокойно посчитать модуль.
Определить знак заранее почти всегда можно без вычислений. Если знаки слагаемых совпадают, знак ответа такой же. Если разные - знак ответа совпадает со знаком того числа, у которого модуль больше, а какой из модулей больше, видно сразу по разрядам. В примере −67 + 42 модуль первого больше, значит ответ отрицательный, и остаётся посчитать 67 − 42 = 25.
Вычитание по-прежнему сводится к сложению с противоположным числом, и это особенно важно при больших числах: 38 − 75 куда понятнее в виде 38 + (−75). Знаки разные, больший модуль у 75, значит ответ отрицательный, а его величина равна 75 − 38 = 37.
Отдельного внимания требует разность двух отрицательных: −45 − (−28). Раскрываем двойной минус: −45 + 28. Знаки разные, больший модуль у 45, ответ отрицательный, величина 45 − 28 = 17. Такие примеры чаще всего и путают, потому что в записи стоят три знака минус подряд.
Задачи на разность температур и расстояний между точками сводятся к одному действию: расстояние между точками равно модулю разности координат. От −13 до 46 расстояние равно 59, потому что 46 − (−13) = 59. Модуль тут нужен, чтобы результат не зависел от порядка точек.
Проверка: прикинуть по прямой, куда и насколько сдвинулись. Если из отрицательного числа вычли положительное, результат обязан стать ещё меньше - ответ с плюсом означает ошибку в знаке, и пересчитывать модуль бессмысленно.
Правила и формулы
- Знак ответа определяют до вычислений
−67 + 42: больший модуль у 67, ответ отрицательный - Вычитание - сложение с противоположным
38 − 75 = 38 + (−75) = −37 - Двойной минус раскрывается в плюс
−45 − (−28) = −45 + 28 = −17 - Расстояние между точками
|46 − (−13)| = 59 - Из отрицательного вычесть положительное - станет ещё меньше
Порядок действий
- Замените все вычитания сложением с противоположными числами.
- Определите знак ответа по знакам и модулям слагаемых.
- Посчитайте модуль ответа обычным двузначным счётом.
- Поставьте найденный знак.
- Проверьте по координатной прямой направление сдвига.
Разбор примеров
- Знаки разные, больший модуль у 67 - ответ отрицательный.
- Считаем модуль: 67 − 42 = 25.
- Ставим знак минус.
- Переписываем: 38 + (−75).
- Больший модуль у 75 - ответ отрицательный.
- 75 − 38 = 37
- Двойной минус даёт плюс: −45 + 28.
- Больший модуль у 45 - ответ отрицательный.
- 45 − 28 = 17
Где обычно ошибаются
- Считают модуль верно, но ставят знак по первому числу, не сравнив модули.
- В выражении с тремя минусами подряд раскрывают только один.
- Считают расстояние между точками как сумму координат вместо модуля разности.
Умножение и деление в пределах 20
Определения
- Правило знаков
- При умножении и делении двух чисел одинакового знака результат положителен, разного - отрицателен.
- Чётное число минусов
- Количество отрицательных множителей в произведении. Если оно чётное, произведение положительно, если нечётное - отрицательно.
Объяснение
Умножение целых чисел устроено проще сложения: знак и модуль здесь не мешают друг другу совсем. Модуль ответа - это произведение модулей, а знак определяется отдельно по короткому правилу. Никаких «больший модуль побеждает», как при сложении, тут нет.
Откуда берётся правило знаков, видно из смысла умножения. Взять долг в 4 рубля три раза - значит получить долг в 12 рублей: 4 · (−3) = −12. А вот минус на минус даёт плюс потому, что умножение на отрицательное число разворачивает направление: если −4 повторить −3 раза, направление переворачивается дважды и возвращается к исходному. Формально это следует из того, что произведение обязано сохранять свойства: −4 · (3 + (−3)) = 0, откуда −4 · (−3) = 12.
Правило удобно запомнить так: одинаковые знаки дают плюс, разные - минус. Это верно и для умножения, и для деления, потому что деление - обратное действие: если 12 : (−3) = −4, то проверка −4 · (−3) = 12 сходится.
Когда множителей больше двух, считать знаки попарно не нужно. Достаточно сосчитать, сколько среди них отрицательных: чётное количество даёт плюс, нечётное - минус. Произведение −2 · 3 · (−5) содержит два минуса, значит ответ положительный: 30.
Ноль в умножении ведёт себя особо: произведение с нулевым множителем равно нулю независимо от знаков остальных. При делении ноль можно делить на любое ненулевое число - получится ноль, а вот делить на ноль по-прежнему нельзя.
Проверять стоит обратным действием, и проверка обязана сходиться и по модулю, и по знаку. Если частное умножили на делитель и получили делимое с другим знаком - ошибка именно в знаке, модуль пересчитывать не нужно.
Правила и формулы
- Одинаковые знаки дают плюс
(−4) · (−3) = 12, (−12) : (−3) = 4 - Разные знаки дают минус
4 · (−3) = −12, 12 : (−3) = −4 - Модуль ответа - произведение или частное модулей
- Чётное число минусов - плюс, нечётное - минус
−2 · 3 · (−5) = 30 - Умножение на ноль даёт ноль, делить на ноль нельзя
Порядок действий
- Сосчитайте, сколько отрицательных чисел участвует в действии.
- Определите знак ответа: чётное количество минусов - плюс, нечётное - минус.
- Перемножьте или разделите модули, не глядя на знаки.
- Поставьте найденный знак к полученному модулю.
- Проверьте обратным действием - и по модулю, и по знаку.
Разбор примеров
- Один минус - количество нечётное, ответ отрицательный.
- Модули: 4 · 5 = 20.
- Два минуса - количество чётное, ответ положительный.
- Модули: 18 : 3 = 6.
- Проверка: 6 · (−3) = −18.
- Минусов два - ответ положительный.
- Модули: 2 · 3 · 5 = 30.
Где обычно ошибаются
- Переносят на умножение правило сложения: считают, что «побеждает больший модуль».
- В произведении трёх множителей определяют знак только по первым двум.
- Считают, что минус на минус в сложении тоже даёт плюс: −4 + (−3) остаётся отрицательным.
Умножение и деление в пределах 50
Определения
- Кратное со знаком
- Целое число, которое делится на данное нацело, включая отрицательные: −12, −6, 0, 6, 12 - кратные шести.
- Делимость целых чисел
- Число a делится на b, если существует целое q, для которого a = b · q. Знак на делимость не влияет: если 12 делится на 3, то и −12 делится на 3.
Объяснение
В пределах пятидесяти к правилу знаков добавляется работа с двузначными модулями, поэтому действие естественно распадается на два независимых шага. Сначала определяют знак - это одно движение мысли и оно не требует счёта. Потом считают модуль обычными приёмами: разложение на разрядные слагаемые, таблица, деление по частям.
Разделение шагов не формальность. Пока знак и величина считаются одновременно, внимание разрывается, и ошибка появляется там, где счёт сам по себе простой. Привычка «сначала знак, потом модуль» снимает большую часть ошибок в этой теме.
Умножение двузначного на однозначное со знаком выполняется так же, как в натуральных числах: (−14) · 3 - это минус, а модуль 14 · 3 = 42, значит ответ −42. Раскладывать удобно тот же множитель: 10 · 3 = 30 и 4 · 3 = 12.
Деление со знаком часто требует проверки на делимость: не всякое частное окажется целым. Признаки делимости работают по модулю и на знак не смотрят - если 42 делится на 6, то и −42 делится на 6. Это важно: минус не мешает делимости и не создаёт остатка.
С делением с остатком у отрицательных чисел есть тонкость, и в школьном курсе её обходят стороной: договариваются, что остаток берут неотрицательным. В задачах этой темы деление обычно нацело, поэтому достаточно помнить, что знак определяется правилом знаков, а модуль - обычным делением.
Проверка обратным действием остаётся главным инструментом. Умножили частное на делитель - обязано получиться делимое, причём и по знаку тоже. Прикидка по модулю тоже работает: (−14) · 3 обязано быть около сорока по величине, ответ −17 или −420 сразу выдаёт ошибку разряда.
Правила и формулы
- Сначала знак, потом модуль
- Одинаковые знаки - плюс, разные - минус
(−14) · 3 = −42, (−42) : (−6) = 7 - Модуль считаем обычными приёмами
14 · 3 = (10 + 4) · 3 = 30 + 12 = 42 - Знак не влияет на делимость
если 42 : 6 = 7, то −42 : 6 = −7 - Проверка обратным действием
−7 · 6 = −42
Порядок действий
- Определите знак результата по числу минусов.
- Отбросьте знаки и работайте с модулями.
- Умножьте по разрядам или разделите подбором либо по частям.
- Верните знак к полученному модулю.
- Проверьте обратным действием, сверяя и знак, и величину.
Разбор примеров
- Минус один - ответ отрицательный.
- Модуль: 10 · 3 = 30, 4 · 3 = 12, всего 42.
- Минусов два - ответ положительный.
- Модуль: 42 : 6 = 7.
- Проверка: 7 · (−6) = −42.
- Минус один - ответ отрицательный.
- Модуль: 48 : 4 = 12.
Где обычно ошибаются
- Считают, что отрицательное число «хуже делится»: знак на делимость не влияет.
- Ставят знак по первому числу, а не по количеству минусов.
- Теряют разряд при умножении по частям: складывают 30 и 12 как 42, но записывают 24.
Умножение и деление в пределах 100
Определения
- Произведение нескольких множителей
- Результат последовательного умножения. Его знак определяется чётностью количества отрицательных множителей, а модуль - произведением модулей.
- Частное
- Результат деления. Знак частного подчиняется тому же правилу знаков, что и знак произведения.
Объяснение
В пределах сотни модули становятся заметно больше, и умножение чаще записывают столбиком. Правило знаков от этого не меняется: столбик считает только модуль, а знак ставят к готовому результату. Смешивать эти два дела не нужно - минус в столбик не пишут.
При умножении двузначного на однозначное действуют по разрядам: (−24) · 4 - ответ отрицательный, модуль 24 · 4 = 96. Если множитель круглый, работает сдвиг разрядов: (−17) · 10 = −170, потому что умножение на десять приписывает ноль, а знак остаётся прежним.
Деление в этих пределах решают подбором по таблице или разбиением делимого на удобные части: (−84) : 6 - знак минус, модуль (60 + 24) : 6 = 10 + 4 = 14, ответ −14. Разбивать нужно на части, каждая из которых делится нацело, иначе приём не даст целых промежуточных значений.
Когда множителей несколько, порядок значения не имеет - произведение можно группировать как удобно. Часто выгодно сначала перемножить те числа, что дают круглый результат: (−4) · 7 · 25 удобно считать как (−4 · 25) · 7 = −100 · 7 = −700. Это то же сочетательное свойство, что и в натуральных числах, просто со знаками.
Ноль остаётся особым: произведение с нулём равно нулю при любых знаках, ноль делится на любое ненулевое число и даёт ноль, а деление на ноль по-прежнему невозможно. Эти случаи не выводятся из правила знаков, их надо помнить отдельно.
Прикидка помогает и здесь. Если умножают число около двадцати на число около пяти, модуль ответа обязан быть около сотни. Ответ около десяти или около тысячи означает потерянный или лишний разряд, а не ошибку в знаке.
Правила и формулы
- Знак ставят к готовому модулю - в столбик минус не пишут
- Правило знаков
минус · минус = плюс, минус · плюс = минус - Умножение на круглое число
(−17) · 10 = −170 - Деление по частям
(−84) : 6 = −(60 + 24) : 6 = −14 - Группировать множители можно как удобно
(−4) · 7 · 25 = (−4 · 25) · 7 = −700
Порядок действий
- Сосчитайте отрицательные множители и определите знак ответа.
- Отбросьте знаки, оставив только модули.
- Перемножьте столбиком или по разрядам, деление выполните подбором либо по частям.
- Поставьте знак к найденному модулю.
- Проверьте прикидкой величину и обратным действием - знак.
Разбор примеров
- Минус один - ответ отрицательный.
- Модуль столбиком: 4 · 4 = 16, пишем 6, переносим 1; 2 · 4 = 8, плюс 1 - девять.
- Модуль 96.
- Минусов два - ответ положительный.
- Модуль: 84 = 60 + 24, значит 10 + 4 = 14.
- Проверка: 14 · (−6) = −84.
- Минус один - ответ отрицательный.
- Удобно сгруппировать: 4 · 25 = 100.
- 100 · 7 = 700.
Где обычно ошибаются
- Пишут минус внутри столбика и путаются в переносах.
- При группировке множителей теряют один из них.
- Считают, что деление на отрицательное число даёт остаток - на делимость знак не влияет.
Сравнение чисел
Определения
- Порядок на координатной прямой
- Из двух целых чисел больше то, которое на координатной прямой стоит правее. Это определение работает и для отрицательных чисел, где правило «больше цифр - больше число» неверно.
- Сравнение отрицательных
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: −3 больше, чем −8, потому что −3 ближе к нулю.
Объяснение
С появлением отрицательных чисел привычные способы сравнения перестают работать. В натуральных числах больше было то, у которого цифр больше или старший разряд крупнее. Для целых чисел это неверно: −100 меньше, чем 5, хотя цифр в нём втрое больше.
Единственный надёжный ориентир - координатная прямая. Числа расставлены на ней по порядку, и «больше» означает «правее». Отсюда сразу три очевидных следствия: любое положительное число больше любого отрицательного, ноль больше любого отрицательного и меньше любого положительного, а из двух чисел одного знака ближе к правому краю то, что стоит дальше по прямой.
Отдельно стоит разобрать сравнение двух отрицательных, потому что именно тут ошибаются чаще всего. Число −3 больше, чем −8. Это кажется странным, если смотреть на модули: восемь ведь больше трёх. Но на прямой −8 лежит левее, дальше от нуля влево. Проще всего думать про долг: долг в три рубля лучше долга в восемь, значит −3 «выгоднее», то есть больше.
Из этого получается рабочее правило: у отрицательных чисел сравнение модулей переворачивается. Больше то отрицательное, у которого модуль меньше. У положительных всё как раньше: больше то, у которого модуль больше.
Температура даёт удобную опору для проверки. Минус три градуса теплее, чем минус восемь, - и это ровно то же самое утверждение, что −3 > −8. Если ответ противоречит бытовому смыслу, значит правило применено наоборот.
Знак сравнения записывают, как обычно: острый конец смотрит на меньшее число. Запись −8 < −3 читают «минус восемь меньше минус трёх». Ту же мысль можно записать и с другой стороны: −3 > −8.
Правила и формулы
- Больше то число, которое правее на координатной прямой
- Любое положительное больше любого отрицательного
5 > −100 - Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше
−3 > −8 - Ноль больше любого отрицательного и меньше любого положительного
−4 < 0 < 4 - Острый угол знака смотрит на меньшее число
Порядок действий
- Посмотрите на знаки чисел.
- Если знаки разные, ответ готов: положительное больше.
- Если оба положительные, сравнивайте как натуральные.
- Если оба отрицательные, сравните модули и переверните результат.
- Проверьте себя картинкой прямой или примером с температурой.
Разбор примеров
- Оба числа отрицательные.
- Модули: 3 и 8, у первого меньше.
- У отрицательных меньший модуль означает большее число.
- Знаки разные.
- Положительное всегда больше отрицательного.
- Ноль стоит на прямой правее любого отрицательного числа.
- Значит −4 лежит левее нуля и меньше его.
Где обычно ошибаются
- Сравнивают отрицательные по модулю без переворота: пишут −8 > −3.
- Считают, что число с большим количеством цифр больше: −100 не больше 5.
- Забывают, что ноль больше всех отрицательных чисел.
Все действия вперемешку
Определения
- Выражение со знаками
- Запись, в которой целые числа соединены действиями и скобками. Значение выражения находят, соблюдая порядок действий и правила знаков.
- Раскрытие скобок
- Замена выражения со скобками равным ему выражением без них. Перед скобкой плюс - знаки внутри сохраняются, минус - все знаки внутри меняются на противоположные.
Объяснение
В смешанных примерах встречаются сразу две системы правил, и путать их нельзя. Порядок действий отвечает на вопрос «что считать раньше», правила знаков - на вопрос «какой знак у результата». Эти правила независимы: сначала определяют очерёдность, потом внутри каждого действия применяют знаки.
Порядок прежний: сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание, а действия одной ступени - слева направо. Знак минус перед скобкой не делает выражение особым: скобка всё равно считается первой.
Важно помнить, что правило знаков у сложения и у умножения разное, хотя записывается похоже. При сложении разных знаков модули вычитают и берут знак большего. При умножении разных знаков модули перемножают, а знак всегда минус. Смешение этих двух правил - главный источник ошибок в теме.
Раскрытие скобок нужно, когда перед скобкой стоит минус. Выражение −(7 − 12) равно −7 + 12, то есть 5: минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри. Понять это можно так: −(7 − 12) = (−1) · (7 − 12), а умножение на минус единицу переворачивает знаки обоих слагаемых.
Когда действий много, полезно записывать промежуточные результаты в столбик, по одному действию на строку. Попытка удержать всю цепочку в голове почти всегда заканчивается потерянным минусом - причём заметить это постфактум труднее, чем ошибку в счёте.
Проверка складывается из двух частей: прикинуть величину и отдельно проверить знак. Если по смыслу выражение обязано быть отрицательным - например, из небольшого положительного вычитают большое, - а вышло положительное, дальше можно не считать, ошибка в знаке.
Правила и формулы
- Сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание
- Действия одной ступени - слева направо
- Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри
−(7 − 12) = −7 + 12 = 5 - Знаки при сложении и при умножении подчиняются разным правилам
- Умножение разных знаков всегда даёт минус
(−3) · 4 = −12
Порядок действий
- Расставьте порядок действий, не глядя пока на знаки.
- Раскройте скобки, если перед ними стоит минус.
- Выполняйте действия по одному, записывая промежуточный результат.
- Для каждого действия применяйте своё правило знаков - сложения или умножения.
- Проверьте отдельно величину прикидкой и отдельно знак по смыслу.
Разбор примеров
- Сначала умножение: разные знаки дают минус, 3 · 4 = 12, значит −12.
- Остаётся −12 + (−12).
- Знаки одинаковые: складываем модули, знак минус.
- В скобках: 7 − 12 = −5.
- Минус перед скобкой меняет знак: −(−5) = 5.
- Деление первым: разные знаки дают минус, 18 : 3 = 6, значит −6.
- Затем сложение: −6 + 5.
- Знаки разные, больший модуль у 6 - ответ отрицательный, 6 − 5 = 1.
Где обычно ошибаются
- Применяют к сложению правило умножения: считают, что «минус на минус даёт плюс» и в сумме −4 + (−3).
- При раскрытии скобок меняют знак только у первого слагаемого.
- Выполняют сложение раньше умножения, потому что оно записано левее.
Пример с решением
- (−2) + 16: вычитаем модули 16 − 2
- = 14
- (−14) − 4 = -18
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.