Сложение и вычитание в пределах 20: как решать

Сложить или вычесть целые числа со знаком в пределах двадцати.

Определения

Целые числа

Натуральные числа, им противоположные отрицательные и ноль: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 … Отрицательные числа нужны там, где величина может уйти ниже выбранной точки отсчёта: температура, долг, глубина.

Модуль числа

Расстояние от числа до нуля на координатной прямой, всегда неотрицательное. Обозначается двумя вертикальными чертами: |−7| = 7, |7| = 7.

Противоположные числа

Два числа, отличающиеся только знаком: 7 и −7. Их сумма равна нулю.

Объяснение

Отрицательные числа появляются, когда вычитание не помещается в натуральные: из трёх пяти не вычесть, если считать предметы, но вполне можно, если считать температуру или деньги. Три градуса мороза, долг в пять рублей, два этажа вниз - все эти величины требуют чисел меньше нуля.

Удобнее всего представлять целые числа точками на координатной прямой: ноль посередине, положительные вправо, отрицательные влево. Тогда сложение - это движение по прямой. Прибавить положительное число значит шагнуть вправо, прибавить отрицательное - влево. Вычитание же означает шаг в обратную сторону.

Из этой картинки выводятся оба правила знаков. Если складывают числа одного знака, шаги идут в одну сторону, поэтому модули складывают, а знак остаётся общим: −4 + (−3) = −7. Если знаки разные, шаги идут навстречу и частично гасят друг друга: побеждает тот, у кого модуль больше, а результат равен разности модулей. Так −9 + 4 = −5, потому что девять «сильнее» четырёх на пять.

Вычитание отдельного правила не требует - его сводят к сложению. Вычесть число значит прибавить противоположное: 5 − 8 = 5 + (−8) = −3. Это позволяет не запоминать четыре случая вычитания, а свести всё к двум случаям сложения. Приём выглядит формальным, но именно он потом работает в алгебре, где под знаком минус стоит целое выражение.

Два минуса подряд превращаются в плюс: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Смысл прост: «убрать долг» - то же самое, что «прибавить деньги». Если из температуры вычесть минус три градуса, станет теплее, а не холоднее.

Модуль в этих правилах служит рабочим инструментом: он отделяет величину от направления. Сначала решают, каким будет знак ответа, потом отдельно считают модуль. Такое разделение сильно сокращает ошибки: не надо держать в голове знак и счёт одновременно.

Правила и формулы

• Одинаковые знаки: модули складываем, знак сохраняем−4 + (−3) = −7
• Разные знаки: из большего модуля вычитаем меньший, берём знак большего−9 + 4 = −5
• Вычитание сводится к сложению противоположногоa − b = a + (−b)
• Два минуса дают плюс5 − (−3) = 5 + 3 = 8
• Сумма противоположных чисел равна нулю7 + (−7) = 0

Порядок действий

1. Замените вычитание сложением с противоположным числом.
2. Сравните знаки слагаемых.
3. При одинаковых знаках сложите модули и поставьте общий знак.
4. При разных знаках вычтите меньший модуль из большего и возьмите знак числа с большим модулем.
5. Проверьте по координатной прямой: сдвиг влево или вправо.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Складывают модули при разных знаках: получают −13 там, где должно быть −5.
• Теряют знак результата: считают модуль верно, а минус не ставят.
• Путаются в двойном минусе: 5 − (−3) считают как 5 − 3.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Это сложение.
• Правило знаков: одинаковые складываем и оставляем знак, разные — вычитаем меньшее из большего.
• Теперь сложи (−2) и 16.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Целые числа»

• Сложение и вычитание в пределах 50
• Сложение и вычитание в пределах 100
• Умножение и деление в пределах 20
• Умножение и деление в пределах 50
• Умножение и деление в пределах 100
• Сравнение чисел
• Все действия вперемешку

Полная справка по разделу — на странице Целые числа.