Десятичные дроби
Запятая отделяет целую часть от дробной.
Содержание
- Сложение и вычитание в пределах 20Сложить или вычесть десятичные дроби.
- Сложение и вычитание в пределах 50Сложить или вычесть десятичные дроби.
- Сложение и вычитание в пределах 100Сложить или вычесть десятичные дроби в пределах сотни.
- Умножение и деление в пределах 20Умножить или разделить десятичные дроби.
- Умножение и деление в пределах 50Умножить или разделить десятичные дроби.
- Умножение и деление в пределах 100Умножить или разделить десятичные дроби в пределах сотни.
- Сравнение чиселСравнить две десятичные дроби.
- Все действия вперемешкуВсе действия с десятичными дробями вперемешку.
Сложение и вычитание в пределах 20
Определения
- Десятичная дробь
- Число, у которого дробная часть записана после запятой: 3,7 читается «три целых семь десятых». Каждый разряд после запятой в десять раз мельче предыдущего.
- Разряды после запятой
- Десятые, сотые, тысячные - по порядку слева направо после запятой. В числе 3,45 цифра 4 стоит в разряде десятых, цифра 5 - в разряде сотых.
- Уравнивание разрядов
- Дописывание нулей справа в дробной части, чтобы у чисел стало поровну знаков после запятой. Значение числа при этом не меняется: 3,7 = 3,70.
Объяснение
Десятичная запись продолжает обычную позиционную систему вправо за запятую. Слева от запятой идут единицы, десятки, сотни; справа - десятые, сотые, тысячные. Каждый следующий разряд вправо в десять раз мельче предыдущего, ровно как каждый следующий влево в десять раз крупнее.
Из этого устройства следует главное правило сложения: складывать можно только одинаковые разряды. Десятые складывают с десятыми, сотые с сотыми. Именно поэтому при записи столбиком запятую пишут строго под запятой - тогда разряды сами встают друг под друга.
Разное количество знаков после запятой не мешает: недостающие разряды дописывают нулями. Число 3,7 - это то же самое, что 3,70, потому что семь десятых и семьдесят сотых - одна и та же величина. Дописывание нулей справа в дробной части ничего не меняет, а вот дописывание слева от целой части меняет всё.
После уравнивания разрядов сложение идёт точно так же, как у целых чисел: справа налево, с переносом. Единственное отличие - в ответе надо поставить запятую, и ставят её строго под запятыми слагаемых.
При вычитании работает та же логика, включая заём из старшего разряда. Из 5,2 вычесть 1,45 - значит сначала записать 5,20, а потом вычитать поразрядно. Без уравнивания легко вычесть сотые из десятых и получить бессмыслицу.
Проверять полезно прикидкой по целым частям: 3,7 + 2,45 обязано дать примерно шесть, потому что целые части 3 и 2 дают 5, а дробные вместе больше единицы. Ответ 6,15 в эту прикидку укладывается, а ответ 28,2 - нет, и это сразу выдаёт потерянную запятую.
Правила и формулы
- Складывают только одинаковые разряды
- Запятая пишется строго под запятой
3,70 + 2,45 - Нули справа в дробной части ничего не меняют
3,7 = 3,70 = 3,700 - В ответе запятая стоит под запятыми слагаемых
- Перенос и заём работают как у целых чисел
Порядок действий
- Сравните количество знаков после запятой у обоих чисел.
- Допишите нули, чтобы знаков стало поровну.
- Запишите столбиком, поставив запятую под запятой.
- Сложите или вычтите поразрядно справа налево.
- Поставьте запятую в ответе и прикиньте результат по целым частям.
Разбор примеров
- Уравниваем разряды: 3,70 и 2,45.
- Сотые: 0 + 5 = 5. Десятые: 7 + 4 = 11, пишем 1, переносим 1.
- Целые: 3 + 2 = 5, плюс перенос - 6.
- Уравниваем: 5,20 и 1,45.
- Сотые: из 0 пять не вычесть, занимаем - 10 − 5 = 5.
- Десятые: осталось 1, из 1 четыре не вычесть, занимаем - 11 − 4 = 7.
- Целые: 4 − 1 = 3.
- Знаков поровну.
- Десятые: 8 + 6 = 14, пишем 4, переносим целую единицу.
- Целых: 0 + 0 + 1 = 1.
Где обычно ошибаются
- Выравнивают числа по правому краю, а не по запятой: складывают сотые с десятыми.
- Дописывают нули слева в дробной части: превращают 3,7 в 3,07.
- Забывают поставить запятую в ответе.
Сложение и вычитание в пределах 50
Определения
- Целая и дробная части
- Часть числа до запятой и после неё. В числе 24,35 целая часть 24, дробная 35 сотых.
- Округление до разряда
- Замена числа ближайшим числом с нужным количеством знаков: 24,35 округлённое до десятых даёт 24,4.
Объяснение
Когда целые части становятся двузначными, к работе с запятой добавляется обычный двузначный счёт. Правила при этом не меняются ни на йоту: уравнять разряды, записать запятую под запятой, считать справа налево. Меняется только объём вычислений, и вместе с ним растёт цена невнимательности.
Полезно разделить действие на две части: отдельно посчитать целые, отдельно дробные, а потом собрать. Для 24,35 + 12,8 сначала уравниваем: 24,35 и 12,80. Дробные части дают 0,35 + 0,80 = 1,15, то есть целую единицу и 15 сотых. Целые дают 24 + 12 = 36, плюс полученная единица - 37. Ответ 37,15.
Такой разбор не заменяет столбик, но объясняет, откуда берётся перенос через запятую. Единица, появившаяся при сложении десятых, переходит в разряд единиц - это тот же перенос, просто через границу целой и дробной части.
При вычитании двузначных с дробями чаще всего требуется заём именно через запятую. В примере 30 − 12,6 полезно сразу записать 30,0, иначе легко потерять разряд. Дальше: из 0 шесть не вычесть, занимаем у целых, получаем 10 − 6 = 4 десятых, а целых остаётся 29, минус 12, итого 17. Ответ 17,4.
Приёмы устного счёта из натуральных чисел переносятся сюда без изменений. Прибавить 9,9 удобно как прибавить 10 и вернуть 0,1. Вычесть 4,95 - как вычесть 5 и добавить 0,05. Главное не ошибиться в направлении поправки, и здесь помогает та же мысль: если убрали лишнее, лишнее надо вернуть.
Прикидка по целым частям остаётся лучшей проверкой. Сумма чисел около двадцати пяти и около тринадцати обязана быть около тридцати восьми. Если вышло 3,715 или 371,5, значит запятая уехала на разряд.
Правила и формулы
- Правила те же, что и для мелких чисел: уравнять разряды и выровнять запятую
- Перенос может пройти через запятую
0,35 + 0,80 = 1,15 - появилась целая единица - Целое число записывают с нулями после запятой
30 = 30,0 - Округление с поправкой
12,4 + 9,9 = 12,4 + 10 − 0,1 = 22,3 - Прикидка по целым частям ловит потерянную запятую
Порядок действий
- Допишите нули, чтобы знаков после запятой стало поровну.
- Запишите столбиком с запятой под запятой.
- Считайте справа налево, следя за переносом через запятую.
- Поставьте запятую в ответе.
- Проверьте прикидкой по целым частям.
Разбор примеров
- Уравниваем: 24,35 и 12,80.
- Сотые: 5 + 0 = 5. Десятые: 3 + 8 = 11, пишем 1, переносим 1.
- Целые: 24 + 12 = 36, плюс перенос - 37.
- Записываем 30 как 30,0.
- Десятые: из 0 шесть не вычесть, занимаем - 10 − 6 = 4.
- Целые: 29 − 12 = 17.
- Прибавим круглое: 12,4 + 10 = 22,4.
- Прибавили на 0,1 больше нужного.
- 22,4 − 0,1 = 22,3
Где обычно ошибаются
- Не дописывают нули и складывают разряды вразнобой.
- Теряют перенос через запятую: считают, что единица из десятых остаётся в дробной части.
- При округлении возвращают поправку не в ту сторону.
Сложение и вычитание в пределах 100
Определения
- Значащие цифры
- Все цифры числа, кроме нулей слева. В числе 0,0470 значащие - 4, 7 и последний ноль.
- Дополнение до круглого
- Число, которого не хватает до ближайшего целого или круглого: до 100 от 47,3 не хватает 52,7.
Объяснение
В пределах сотни к десятичным дробям применяют весь тот же аппарат, что и раньше, но объём вычислений вырастает, и полезно чаще пользоваться устными приёмами вместо столбика. Хорошо считать дополнения до круглых чисел: от 47,3 до 50 не хватает 2,7, а до 100 - 52,7.
Сложение и вычитание по-прежнему требуют выравнивания по запятой. Ошибка выравнивания в больших числах опаснее: если сдвинуть запись на разряд, ответ отличается не на копейки, а в разы, и прикидка это ловит только при внимательном взгляде.
Полезная привычка - записывать все числа с одинаковым количеством знаков после запятой ещё до начала счёта, даже если для этого приходится дописать два-три нуля. Это лишняя секунда записи и минус целый класс ошибок.
Задачи в этой теме часто про деньги и измерения, и там встречается округление. Округлять надо в самом конце, а не по ходу: если округлить промежуточный результат, ошибка накопится. Правило округления обычное - смотрим на первую отбрасываемую цифру: если она 5 или больше, предыдущую увеличиваем на единицу.
При вычитании из круглого числа удобно пользоваться дополнением. Разность 100 − 47,3 можно не считать столбиком: до 50 от 47,3 не хватает 2,7, а от 50 до 100 ещё пятьдесят, итого 52,7. Такой ход быстрее и надёжнее длинной цепочки займов.
Проверять стоит двумя способами сразу: обратным действием и прикидкой. Обратное действие ловит ошибку в цифрах, прикидка - ошибку в порядке величины. Вместе они закрывают почти все случаи.
Правила и формулы
- Все числа записываем с одинаковым числом знаков после запятой
- Дополнение до круглого
100 − 47,3 = 2,7 + 50 = 52,7 - Округляем только окончательный ответ
- Правило округления
первая отбрасываемая цифра ≥ 5 - предыдущую увеличиваем - Проверка обратным действием и прикидкой
Порядок действий
- Приведите все числа к одинаковому количеству знаков после запятой.
- Запишите столбиком по запятой.
- Выполните действие поразрядно.
- Если требуется округление, выполните его в самом конце.
- Проверьте обратным действием и прикидкой по целым частям.
Разбор примеров
- Уравниваем: 47,30 и 52,85.
- Сотые: 0 + 5 = 5. Десятые: 3 + 8 = 11, пишем 1, переносим 1.
- Целые: 47 + 52 = 99, плюс перенос - 100.
- От 47,3 до 50 не хватает 2,7.
- От 50 до 100 ещё 50.
- 2,7 + 50 = 52,7
- Уравниваем: 63,08 и 9,50.
- Сотые: 8 − 0 = 8. Десятые: из 0 пять не вычесть, занимаем - 10 − 5 = 5.
- Целые: 62 − 9 = 53.
Где обычно ошибаются
- Сдвигают запись на разряд и получают ответ, отличающийся в десять раз.
- Округляют промежуточные результаты и накапливают ошибку.
- При вычитании из круглого числа теряют один разряд в цепочке займов.
Умножение и деление в пределах 20
Определения
- Умножение десятичных дробей
- Действие, при котором числа перемножают, не глядя на запятые, а затем в произведении отделяют столько знаков, сколько их было в обоих множителях вместе.
- Перенос запятой
- Сдвиг запятой вправо при умножении на 10, 100, 1000 и влево при делении на них.
Объяснение
Умножение десятичных дробей выглядит непривычно: запятые сначала как будто игнорируют. На самом деле приём совершенно строгий. Умножить 0,3 на 0,4 - значит умножить 3/10 на 4/10, а это 12/100, то есть 0,12. В знаменателе перемножились десятки, поэтому и знаков после запятой стало вдвое больше.
Отсюда правило: перемножаем числа без запятых, а потом отделяем в произведении столько знаков после запятой, сколько их было у обоих множителей вместе. Если у первого один знак и у второго один, в ответе будет два.
Из этого же следует неожиданное на первый взгляд свойство: умножение на число меньше единицы уменьшает. Произведение 0,3 · 0,4 равно 0,12 - меньше каждого из множителей. Привычка «умножение увеличивает» из натуральных чисел здесь не работает.
Деление десятичной дроби на десятичную сводят к делению на целое. Для этого запятую в делителе переносят вправо до конца, а в делимом - на столько же знаков. Значение частного при этом не меняется, потому что делимое и делитель увеличили в одинаковое число раз. Пример: 1,44 : 0,12 превращается в 144 : 12 = 12.
Умножение и деление на 10, 100, 1000 выполняются простым переносом запятой: вправо при умножении, влево при делении. Это прямое следствие устройства десятичной записи, и здесь важно не терять разряды - при нехватке цифр дописывают нули.
Проверка тем же способом, что и раньше: прикидка. Произведение 0,3 и 0,4 обязано быть заметно меньше единицы; ответ 1,2 означает, что отделили не тот разряд. Обратное действие тоже работает: частное умножить на делитель и сравнить с делимым.
Правила и формулы
- Перемножаем без запятых, потом отделяем знаки
0,3 · 0,4: 3 · 4 = 12, знаков два, значит 0,12 - Знаков в произведении столько, сколько у обоих множителей вместе
- Деление на десятичную сводим к делению на целое
1,44 : 0,12 = 144 : 12 = 12 - Умножение на 10 переносит запятую вправо
3,7 · 10 = 37 - Деление на 10 переносит запятую влево
3,7 : 10 = 0,37
Порядок действий
- Перемножьте числа, не обращая внимания на запятые.
- Сосчитайте, сколько знаков после запятой было в обоих множителях вместе.
- Отделите в произведении столько же знаков справа, при нехватке цифр допишите нули слева.
- При делении перенесите запятую в делителе до целого и на столько же - в делимом.
- Проверьте прикидкой и обратным действием.
Разбор примеров
- Умножаем без запятых: 3 · 4 = 12.
- Знаков после запятой было 1 + 1 = 2.
- Отделяем два знака: 0,12.
- Переносим запятую в делителе на два знака: 0,12 → 12.
- На столько же в делимом: 1,44 → 144.
- 144 : 12 = 12
- Умножаем без запятых: 25 · 4 = 100.
- Знаков после запятой один.
- Отделяем один знак: 10,0 = 10.
Где обычно ошибаются
- Отделяют в произведении столько знаков, сколько у одного множителя, а не у обоих вместе.
- При делении переносят запятую только в делителе, забыв про делимое.
- Считают, что умножение всегда увеличивает: не верят ответу 0,12.
Умножение и деление в пределах 50
Определения
- Деление уголком с десятичной дробью
- Деление, при котором после исчерпания целой части в частном ставят запятую и продолжают снимать нули из дробной части делимого.
- Конечная десятичная дробь
- Дробь с конечным числом знаков после запятой. Получается при делении, если знаменатель несократимой дроби состоит только из двоек и пятёрок.
Объяснение
При более крупных числах умножение десятичных дробей чаще записывают столбиком. Порядок работы прежний: сначала перемножаем как целые числа, полностью игнорируя запятые, и только в самом конце отделяем нужное количество знаков. Смешивать эти шаги нельзя - запятая в столбике только мешает.
Считать знаки надо аккуратно, потому что именно здесь теряется разряд. Если у одного множителя два знака после запятой, а у другого один, в ответе будет три. Если полученное число оказалось короче, чем нужно отделить, слева дописывают нули: 0,02 · 0,3 даёт 6, а знаков нужно три, значит ответ 0,006.
Деление на однозначное или круглое число часто удаётся выполнить в уме через разложение. Разделить 7,2 на 4 - значит разделить 7,2 на 2 и ещё раз на 2: 3,6 и затем 1,8. Такой ход быстрее уголка и надёжнее для устного счёта.
Если деление не заканчивается на целых, в частном ставят запятую и продолжают: сносят нули из дробной части делимого. Так 9 : 4 даёт 2 и остаток 1, дальше 10 десятых делим на 4 - получаем 2 десятых и остаток 2, потом 20 сотых на 4 - ровно 5. Ответ 2,25.
Не всякое деление заканчивается. Число 1 : 3 даёт бесконечную дробь 0,333… Признак простой: конечная десятичная получается, только если знаменатель несократимой дроби раскладывается на двойки и пятёрки. В задачах такого обычно избегают, но знать это стоит - иначе можно бесконечно сносить нули.
Проверять умножение удобно делением, а деление - умножением, причём вместе с прикидкой по порядку величины. Если делили число около семи на четыре, частное обязано быть около двух; ответ 18 или 0,18 сразу говорит о потерянной запятой.
Правила и формулы
- Столбик перемножает числа без запятых
- Знаков в ответе столько, сколько у множителей вместе
0,02 · 0,3 = 0,006 - При нехватке цифр дописывают нули слева
- Деление продолжают, снося нули из дробной части
9 : 4 = 2,25 - Деление на 2 и на 5 можно разбивать на шаги
7,2 : 4 = 7,2 : 2 : 2 = 1,8
Порядок действий
- Перемножьте числа столбиком, не глядя на запятые.
- Сложите количество знаков после запятой у обоих множителей.
- Отделите столько знаков справа, дописав при нехватке нули слева.
- При делении сначала избавьтесь от запятой в делителе.
- Если деление не закончилось на целых, поставьте запятую в частном и продолжайте.
Разбор примеров
- Умножаем без запятых: 12 · 35 = 420.
- Знаков было 1 + 1 = 2.
- Отделяем два знака: 4,20 = 4,2.
- 9 : 4 = 2, остаток 1.
- Ставим запятую, сносим ноль: 10 : 4 = 2, остаток 2.
- Сносим ещё ноль: 20 : 4 = 5.
- Без запятых: 2 · 3 = 6.
- Знаков нужно 2 + 1 = 3.
- Дописываем нули слева: 0,006.
Где обычно ошибаются
- Ставят запятую в столбике и путаются в разрядах.
- Не дописывают нули слева, когда цифр в произведении меньше, чем надо отделить.
- Бесконечно сносят нули там, где деление не может закончиться.
Умножение и деление в пределах 100
Определения
- Порядок величины
- Приблизительный размер числа, выраженный степенью десяти. Прикидка порядка помогает поймать ошибку в положении запятой.
- Умножение на круглое
- Умножение на 10, 20, 100 и подобные числа, которое сводится к умножению на однозначное и переносу запятой.
Объяснение
В пределах сотни к десятичным дробям применяют всё те же два правила: перемножить без запятых и отделить нужное количество знаков; при делении сначала убрать запятую из делителя. Но чисел становится больше, и главным инструментом контроля становится прикидка порядка величины.
Прикидка делается до вычислений и занимает секунды. Умножая 12,5 на 8, округляем до 12 и 8 - выходит около сотни. Значит ответ обязан быть трёхзначным с небольшой дробной частью, и результат 1000 или 10 отпадает сразу, без проверки цифр.
Умножение на круглые числа стоит выделять отдельно, оно встречается постоянно. Умножить на 20 - значит умножить на 2 и перенести запятую на разряд вправо. Умножить на 0,5 - то же самое, что разделить на 2. Умножить на 0,25 - разделить на 4. Эти соответствия сильно ускоряют счёт в задачах на проценты и доли.
Деление в этих пределах чаще всего сводится к делению на целое после переноса запятой. Пример 45,6 : 1,2 превращается в 456 : 12 = 38. Перенос обязательно делают в обоих числах на одинаковое количество знаков, иначе значение частного изменится.
Если делимое не делится нацело, продолжают деление в дробную часть, снося нули. В задачах на деньги результат обычно округляют до сотых - до копеек, и округление выполняют один раз, в самом конце.
Проверка обратным действием остаётся обязательной. Умножили частное на делитель - обязано получиться делимое. Если сходится по цифрам, но не сходится по запятой, ошибка именно в переносе, и искать её надо там, а не в вычислениях.
Правила и формулы
- Прикидка порядка делается до вычислений
12,5 · 8 ≈ 12 · 8 = 96, значит ответ около сотни - Умножение на круглое через перенос запятой
3,4 · 20 = 3,4 · 2 · 10 = 68 - Полезные соответствия
· 0,5 = : 2; · 0,25 = : 4; · 0,1 = : 10 - Перенос запятой при делении - в обоих числах одинаково
45,6 : 1,2 = 456 : 12 = 38 - Округляют один раз, в конце
Порядок действий
- Прикиньте порядок ответа, округлив числа до целых.
- При делении перенесите запятую так, чтобы делитель стал целым.
- Выполните действие как с целыми числами.
- Отделите нужное количество знаков или поставьте запятую в частном.
- Сравните результат с прикидкой и проверьте обратным действием.
Разбор примеров
- Прикидка: около 100.
- Без запятых: 125 · 8 = 1000.
- Знак после запятой один, отделяем: 100,0 = 100.
- Переносим запятую на один знак: 456 : 12.
- 456 : 12 = 38.
- Проверка: 38 · 1,2 = 45,6.
- Умножаем на 2: 3,4 · 2 = 6,8.
- Умножаем на 10: переносим запятую вправо.
Где обычно ошибаются
- Переносят запятую только в делителе - частное меняется в десять раз.
- Не делают прикидку и не замечают ответа неверного порядка.
- Округляют по ходу вычислений вместо одного округления в конце.
Сравнение чисел
Определения
- Сравнение десятичных дробей
- Установление, какая из двух дробей больше. Сначала сравнивают целые части, при их равенстве - разряды дробной части слева направо.
Объяснение
Сравнение десятичных дробей часто кажется очевидным, и именно поэтому ошибок в нём много. Главная ловушка - привычка «длиннее значит больше», перенесённая из натуральных чисел. Для дробей она неверна: 0,7 больше, чем 0,25, хотя во второй записи цифр вдвое больше.
Правильный порядок такой. Сначала сравнивают целые части: у кого больше, то число и больше, дальше смотреть не нужно. Число 3,1 больше, чем 2,999, потому что три больше двух, и никакие девятки этого не меняют.
Если целые части равны, сравнивают дробные разряды слева направо: сначала десятые, потом сотые, потом тысячные. Первое расхождение решает дело. У чисел 0,7 и 0,25 десятые - это 7 и 2, семь больше двух, значит первое число больше.
Удобный технический приём - уравнять количество знаков нулями справа. Тогда числа становятся одинаковой длины и сравниваются как обычные натуральные, только с запятой. Записав 0,70 и 0,25, сравнить 70 и 25 уже легко, и соблазн «длиннее значит больше» исчезает.
Дописывать нули можно только справа в дробной части - это не меняет значения. Приписывать нули слева нельзя: 0,7 и 0,07 - разные числа, отличающиеся в десять раз.
Для отрицательных десятичных дробей работает то же правило, что и для целых: сравниваем модули по обычным правилам, а потом переворачиваем результат. Из −0,7 и −0,25 больше вторая, потому что её модуль меньше.
Правила и формулы
- Сначала сравнивают целые части
3,1 > 2,999 - При равных целых - разряды дробной части слева направо
0,7 > 0,25, потому что 7 > 2 в десятых - Нули справа можно дописывать
0,7 = 0,70 - Нули слева в дробной части дописывать нельзя
0,7 ≠ 0,07 - У отрицательных сравнение модулей переворачивается
−0,25 > −0,7
Порядок действий
- Сравните целые части. Если они разные, ответ получен.
- Если равны, допишите нули справа, чтобы знаков стало поровну.
- Сравнивайте разряды дробной части слева направо.
- Остановитесь на первом расхождении - оно и решает.
- Для отрицательных сравните модули и переверните знак сравнения.
Разбор примеров
- Целые части равны нулю.
- Уравниваем: 0,70 и 0,25.
- Десятые: 7 против 2.
- Целые части: 3 и 2.
- Три больше двух, дробные части смотреть не нужно.
- Оба числа отрицательные.
- Модули: 0,25 меньше 0,7.
- У отрицательных меньший модуль означает большее число.
Где обычно ошибаются
- Считают, что запись с большим количеством цифр означает большее число.
- Дописывают нули слева в дробной части и меняют значение числа.
- Сравнивают дробные части, не посмотрев сначала на целые.
Все действия вперемешку
Определения
- Числовое выражение
- Запись из чисел, знаков действий и скобок. Его значение находят, соблюдая порядок действий.
- Промежуточный результат
- Значение, полученное после очередного действия. Его записывают полностью, без округления, чтобы не накапливать ошибку.
Объяснение
В смешанных примерах с десятичными дробями сходятся сразу три вещи: порядок действий, работа с запятой и правила знаков, если числа отрицательные. Каждая из них сама по себе несложная, но вместе они дают много поводов ошибиться, поэтому действовать надо по порядку и записывать промежуточные результаты.
Порядок действий обычный и от вида чисел не зависит: сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание, действия одной ступени - слева направо. Десятичная запятая на очерёдность не влияет никак.
Правила работы с запятой у сложения и у умножения разные, и путать их нельзя. При сложении разряды выравнивают по запятой. При умножении, наоборот, запятые сначала игнорируют, а знаки отделяют в конце. Механическое перенесение одного правила на другое действие - самая частая ошибка темы.
Промежуточные результаты записывают полностью и не округляют. Если округлить на середине, ошибка пойдёт дальше и вырастет: особенно заметно это в примерах с делением, где отброшенные сотые превращаются в целые единицы после умножения.
Иногда пример проще решать не по порядку, а с перестановкой - но только там, где это законно. Слагаемые переставлять можно, множители тоже. А вот в цепочке вычитаний или делений порядок менять нельзя: 10 − 3,5 − 2,5 и 10 − (3,5 − 2,5) дают разные ответы.
Проверять надо двумя способами: прикидкой по целым частям и обратным действием на последнем шаге. Прикидка ловит запятую, обратное действие - цифры.
Правила и формулы
- Порядок действий не зависит от вида чисел
- При сложении выравниваем по запятой
2,50 + 1,25 - При умножении запятые игнорируем, знаки отделяем в конце
2,5 · 1,2: 25 · 12 = 300 → 3,00 - Промежуточные результаты не округляем
- Переставлять можно слагаемые и множители, но не порядок вычитаний
10 − 3,5 − 2,5 = 4
Порядок действий
- Расставьте порядок действий.
- Выполняйте по одному действию, записывая полный промежуточный результат.
- Для каждого действия применяйте своё правило работы с запятой.
- Округляйте только окончательный ответ, если это требуется.
- Проверьте прикидкой и обратным действием.
Разбор примеров
- Сначала умножение: 12 · 3 = 36, знак один, значит 3,6.
- Затем сложение: 2,5 + 3,6.
- Выравниваем по запятой и складываем.
- Скобки первыми: 4,2 − 1,7 = 2,5.
- Умножаем: 25 · 2 = 50, знак один, значит 5,0.
- Действия одной ступени, считаем слева направо.
- 10 − 3,5 = 6,5.
- 6,5 − 2,5 = 4
Где обычно ошибаются
- Выравнивают по запятой при умножении - правило от сложения сюда не переносится.
- Округляют промежуточные результаты и получают неточный ответ.
- Меняют порядок в цепочке вычитаний.
Пример с решением
- 6,64 + 11,61 = 18,25
- 19,24 + 2,38 = 21,62
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.