Величины и единицы
Три «тройки» величин и перевод единиц — основа текстовых задач.
Содержание
- Единицы длиныПеревести длину из одних единиц в другие.
- Единицы массыПеревести массу из одних единиц в другие.
- Единицы времениПеревести время из одних единиц в другие.
- Единицы площади и объёмаПеревести единицы площади и объёма.
- Скорость, время, расстояниеНайти путь, скорость или время движения.
- Цена, количество, стоимостьНайти цену, количество или стоимость.
- Работа и производительностьНайти работу, производительность или время работы.
Единицы длины
Определения
- Единица измерения
- Величина, принятая за образец для сравнения. Длину измеряют в метрах и производных от них: километрах, сантиметрах, миллиметрах.
- Метрическая система
- Система единиц, в которой соседние единицы отличаются в 10, 100 или 1000 раз. Поэтому перевод сводится к умножению или делению на круглое число.
Объяснение
Измерить длину - значит узнать, сколько раз в ней укладывается выбранная единица. Одна и та же длина в разных единицах выражается разными числами: 2 метра и 200 сантиметров - одна и та же величина, просто мерили разными мерками. Чем мельче мерка, тем больше получается число.
Из этого следует главное правило перевода, и его стоит понять, а не запоминать: при переходе к более мелким единицам число увеличивается, значит умножаем; при переходе к более крупным - уменьшается, значит делим. Если после перевода в сантиметры число стало меньше, чем было в метрах, значит действие выбрано неверно.
Соотношения в метрической системе круглые, поэтому перевод сводится к переносу запятой. В километре 1000 метров, в метре 100 сантиметров, в сантиметре 10 миллиметров. Отсюда в метре 1000 миллиметров, а в километре 100 000 сантиметров - цепочки перемножаются.
При переводе через несколько ступеней надёжнее идти по шагам, а не считать общий коэффициент в уме. Перевести километры в сантиметры - значит сначала в метры (умножить на 1000), потом в сантиметры (ещё на 100). Пошаговый путь длиннее на одну строчку, но ошибок в нём заметно меньше.
Составные величины вроде «3 м 40 см» удобно сразу приводить к одной мелкой единице: 3 м 40 см = 340 см. После этого любые сравнения и вычисления делаются обычным способом. Обратно результат переводят только в самом конце, если этого требует ответ.
Проверять перевод стоит прикидкой по здравому смыслу. Рост человека около 170 сантиметров, а не 17 и не 1700. Если результат расходится с житейским представлением в десять раз, ошибка почти наверняка в количестве нулей.
Правила и формулы
- В километре 1000 метров
1 км = 1000 м - В метре 100 сантиметров, в сантиметре 10 миллиметров
1 м = 100 см, 1 см = 10 мм - К мелким единицам - умножаем, к крупным - делим
- Через несколько ступеней переводят по шагам
2 км = 2000 м = 200 000 см - Составную величину приводят к одной единице
3 м 40 см = 340 см
Порядок действий
- Определите, в какую сторону переводите: к более мелким единицам или к более крупным.
- Вспомните соотношение соседних единиц.
- К мелким - умножайте, к крупным - делите.
- Через несколько ступеней идите по шагам, а не сразу.
- Проверьте прикидкой: число в мелких единицах обязано быть больше.
Разбор примеров
- Метр мельче километра - умножаем.
- В километре 1000 метров.
- 2,5 · 1000 = 2500
- Метр крупнее сантиметра - делим.
- В метре 100 сантиметров.
- 340 : 100 = 3,4
- Сначала в метры: 2 · 1000 = 2000 м.
- Затем в сантиметры: 2000 · 100 = 200 000 см.
Где обычно ошибаются
- Умножают там, где надо делить: переводят сантиметры в метры умножением на сто.
- При переводе через несколько ступеней теряют одну из них.
- Забывают привести составную величину к одной единице перед вычислениями.
Единицы массы
Определения
- Масса
- Величина, показывающая количество вещества в теле. Измеряется в килограммах и производных: тоннах, центнерах, граммах, миллиграммах.
- Центнер
- Единица массы, равная 100 килограммам. Используется в сельском хозяйстве при измерении урожая.
Объяснение
Единицы массы устроены так же, как единицы длины: соседние отличаются в круглое число раз, поэтому перевод сводится к умножению или делению. Отличие только в том, что здесь чаще встречаются коэффициенты 100 и 1000, а не 10.
Основные соотношения такие: в тонне 1000 килограммов, в центнере 100 килограммов, в килограмме 1000 граммов, в грамме 1000 миллиграммов. Отсюда следует, что в тонне 10 центнеров - это соотношение выводится, а не запоминается отдельно.
Направление перевода определяют тем же способом. При переходе к более мелким единицам число растёт - умножаем. При переходе к более крупным падает - делим. Полторы тонны в килограммах дают 1500, и это число больше исходного, как и должно быть.
Составные величины приводят к одной единице. Запись «2 кг 300 г» удобнее превратить в 2300 г и дальше работать с одним числом. Особенно это важно в задачах, где массы надо складывать или сравнивать: складывать килограммы с граммами напрямую нельзя.
Центнеры стоит переводить осторожно: их путают и с тоннами, и с килограммами. Полезно держать в голове ориентир - центнер это примерно масса взрослого кабана, тонна - масса небольшого автомобиля. Такие опоры сразу отсекают ответы, ошибочные в десять раз.
Проверка та же, что и для длины: прикидка по здравому смыслу. Масса яблока - около 200 граммов, а не 200 килограммов. Если ответ противоречит бытовому опыту, дело почти всегда в нулях.
Правила и формулы
- В тонне 1000 килограммов
1 т = 1000 кг - В центнере 100 килограммов, в тонне 10 центнеров
1 ц = 100 кг, 1 т = 10 ц - В килограмме 1000 граммов
1 кг = 1000 г - К мелким единицам - умножаем, к крупным - делим
- Составную величину приводят к одной единице
2 кг 300 г = 2300 г
Порядок действий
- Определите направление перевода.
- Вспомните соотношение между единицами.
- Умножайте при переходе к мелким единицам, делите при переходе к крупным.
- Составные величины сначала приведите к одной единице.
- Проверьте ответ прикидкой по житейскому опыту.
Разбор примеров
- Килограмм мельче тонны - умножаем.
- В тонне 1000 килограммов.
- 1,5 · 1000 = 1500
- Килограмм крупнее грамма - делим.
- В килограмме 1000 граммов.
- 2500 : 1000 = 2,5
- В центнере 100 килограммов.
- 3 · 100 = 300
Где обычно ошибаются
- Считают, что в центнере 1000 килограммов, путая его с тонной.
- Складывают килограммы с граммами, не приведя к одной единице.
- Делят вместо умножения при переходе к более мелким единицам.
Единицы времени
Определения
- Единицы времени
- Секунда, минута, час, сутки, год. В отличие от длины и массы, они связаны не десятками, а числами 60, 24, 365.
- Шестидесятеричный счёт
- Способ измерения, при котором в старшей единице содержится 60 младших: в часе 60 минут, в минуте 60 секунд.
Объяснение
Время - единственная величина в школьном курсе, где единицы связаны не круглыми десятками. В часе не сто минут, а шестьдесят; в сутках не десять часов, а двадцать четыре. Поэтому привычный перенос запятой здесь не работает, и переводить приходится настоящим умножением и делением.
Основные соотношения надо знать наизусть: в минуте 60 секунд, в часе 60 минут, в сутках 24 часа, в неделе 7 суток. Отсюда выводятся остальные: в часе 3600 секунд, потому что 60 · 60; в сутках 1440 минут, потому что 24 · 60.
Направление перевода определяют так же, как и для других величин: к более мелким единицам - умножаем, к более крупным - делим. Два с половиной часа в минутах дают 150, и это больше исходного числа, как и должно быть.
Особенно внимательным надо быть с дробными частями. Половина часа - это 30 минут, а не 50: дробь берётся от шестидесяти, а не от ста. Запись 2,5 часа означает 2 часа 30 минут, а вовсе не 2 часа 50 минут. Эта ошибка встречается чаще всех остальных в теме.
Составное время удобно переводить в одну мелкую единицу перед вычислениями. Чтобы сложить 1 ч 45 мин и 2 ч 30 мин, переведите оба в минуты: 105 и 150, сложите - получится 255 минут, а обратно это 4 часа 15 минут, потому что 255 : 60 = 4 и остаток 15.
Обратный перевод из мелких единиц в составную запись - это деление с остатком. Частное даёт крупные единицы, остаток - мелкие. Поэтому тема прямо опирается на деление с остатком, и если оно не освоено, здесь будут постоянные ошибки.
Правила и формулы
- В минуте 60 секунд, в часе 60 минут
1 ч = 60 мин = 3600 с - В сутках 24 часа
1 сут = 24 ч = 1440 мин - Дробная часть часа берётся от 60
0,5 ч = 30 мин, 0,25 ч = 15 мин - Обратный перевод - деление с остатком
255 мин = 4 ч 15 мин - К мелким единицам - умножаем, к крупным - делим
Порядок действий
- Определите направление перевода.
- Вспомните нужный коэффициент: 60, 24 или 7.
- При переводе дробной части часа умножайте её на 60, а не на 100.
- Для составной записи выполните деление с остатком.
- Проверьте: число в мелких единицах обязано быть больше.
Разбор примеров
- В часе 60 минут.
- 2 часа - это 120 минут.
- Половина часа - 30 минут.
- 120 + 30 = 150
- Делим с остатком: 255 : 60 = 4, остаток 15.
- Частное - часы, остаток - минуты.
- В часе 3600 секунд.
- 3 · 3600 = 10 800
Где обычно ошибаются
- Берут дробную часть часа от ста: считают 2,5 ч как 2 ч 50 мин.
- Переводят минуты в часы делением на 100.
- Складывают часы с минутами напрямую, не приведя к одной единице.
Единицы площади и объёма
Определения
- Квадратная единица
- Площадь квадрата со стороной в одну линейную единицу. Квадратный метр - это площадь квадрата со стороной 1 метр.
- Кубическая единица
- Объём куба с ребром в одну линейную единицу. Кубический метр - объём куба с ребром 1 метр.
- Ар и гектар
- Ар - площадь квадрата со стороной 10 метров, то есть 100 м². Гектар - 100 аров, то есть 10 000 м².
Объяснение
Перевод единиц площади и объёма - место, где ошибаются даже те, кто уверенно переводит длины. Причина одна: коэффициент здесь не тот же, что для длины, а возведённый в квадрат или в куб.
Разберём, откуда это берётся. Квадратный метр - это квадрат со стороной 1 метр, то есть 100 сантиметров. Его площадь равна 100 · 100 = 10 000 квадратных сантиметров. Значит переводной коэффициент для площади равен квадрату коэффициента для длины: если в метре 100 сантиметров, то в квадратном метре 10 000 квадратных сантиметров.
Точно так же для объёма коэффициент возводится в куб. В кубическом метре 100 · 100 · 100 = 1 000 000 кубических сантиметров. Числа получаются большими, и именно поэтому здесь так часто теряют нули.
Полезное правило для проверки: у площади коэффициент всегда имеет чётное число нулей, у объёма - кратное трём. Если при переводе квадратных метров в квадратные сантиметры вышел коэффициент 100, значит взяли линейный вместо квадратного.
Отдельно стоят ары и гектары - земельные меры. Ар (сотка) равен 100 квадратным метрам, гектар равен 100 арам, то есть 10 000 квадратных метров. В квадратном километре 100 гектаров или 1 000 000 квадратных метров.
Литр связывает объём с ёмкостью: 1 литр равен 1 кубическому дециметру, то есть 1000 кубических сантиметров. Отсюда в кубическом метре 1000 литров. Это соотношение постоянно встречается в задачах про баки и бассейны.
Правила и формулы
- Коэффициент площади - квадрат линейного
1 м² = 100² = 10 000 см² - Коэффициент объёма - куб линейного
1 м³ = 100³ = 1 000 000 см³ - Ар и гектар
1 а = 100 м², 1 га = 10 000 м² - Литр и кубический дециметр
1 л = 1 дм³ = 1000 см³ - В кубическом метре 1000 литров
Порядок действий
- Найдите коэффициент перевода для линейных единиц.
- Возведите его в квадрат для площади или в куб для объёма.
- Умножайте при переходе к мелким единицам, делите при переходе к крупным.
- Проверьте количество нулей: у площади оно чётное, у объёма кратно трём.
- Сверьте ответ с прикидкой по здравому смыслу.
Разбор примеров
- Линейный коэффициент: 1 м = 100 см.
- Для площади возводим в квадрат: 100² = 10 000.
- 3 · 10 000 = 30 000
- В гектаре 10 000 квадратных метров.
- 2 · 10 000 = 20 000
- В кубическом метре 1000 литров.
- 0,5 · 1000 = 500
Где обычно ошибаются
- Берут линейный коэффициент вместо квадратного: считают, что в квадратном метре 100 квадратных сантиметров.
- Для объёма возводят коэффициент в квадрат, а не в куб.
- Путают ар с гектаром: считают, что в гектаре 100 квадратных метров.
Скорость, время, расстояние
Определения
- Скорость
- Путь, пройденный за единицу времени. Измеряется в километрах в час, метрах в секунду и подобных единицах.
- Путь
- Расстояние, пройденное телом за рассматриваемое время. Равен произведению скорости на время при равномерном движении.
- Равномерное движение
- Движение с постоянной скоростью. Только для него верна формула s = v · t в простом виде.
Объяснение
Формула движения связывает три величины: путь, скорость и время. Все задачи темы - это одна и та же формула, из которой выражают то одну, то другую величину. Поэтому запоминать три формулы не нужно, достаточно одной и умения её преобразовать.
Основная запись: путь равен скорости, умноженной на время. Смысл прямой: если за час проезжают 60 километров, то за три часа проедут втрое больше. Отсюда две производные: скорость равна пути, делённому на время, а время равно пути, делённому на скорость.
Главная техническая трудность темы - согласование единиц. Скорость в километрах в час умножается на время в часах и даёт километры. Если время дано в минутах, его надо перевести в часы, иначе ответ окажется в бессмысленных единицах. Тридцать минут - это половина часа, а не 30 часов и не 0,3 часа.
Проверить согласованность помогает работа с наименованиями. Умножая км/ч на ч, сокращаем часы и получаем километры - значит всё верно. Если после сокращения остались минуты или секунды, где их быть не должно, значит перевод пропущен.
Скорость сближения и удаления - естественное продолжение темы. Если два тела движутся навстречу, расстояние между ними сокращается со скоростью, равной сумме их скоростей. Если движутся в одну сторону, разрыв меняется со скоростью, равной разности. Это не отдельные формулы, а тот же путь, только для расстояния между телами.
Проверять ответ надо прикидкой по смыслу. Пешеход не идёт со скоростью 200 км/ч, а поезд не проходит 5 километров за четыре часа. Абсурдный по величине ответ означает ошибку в единицах, а не в арифметике.
Правила и формулы
- Путь
s = v · t - Скорость
v = s : t - Время
t = s : v - Скорость сближения при встречном движении
v = v₁ + v₂ - Скорость удаления при движении в одну сторону
v = v₁ − v₂
Порядок действий
- Выпишите, что известно и что требуется найти.
- Приведите единицы в согласие: время к часам, если скорость в км/ч.
- Выберите нужную форму формулы.
- Подставьте значения и вычислите.
- Проверьте наименования и прикиньте, разумен ли ответ.
Разбор примеров
- Формула: s = v · t.
- Единицы согласованы: км/ч и часы.
- 60 · 2,5 = 150
- Переводим время в часы: 30 мин = 0,5 ч.
- Формула: v = s : t.
- 90 : 0,5 = 180
- Формула: t = s : v.
- 120 : 40 = 3
Где обычно ошибаются
- Не переводят минуты в часы и умножают км/ч на минуты.
- Путают, что на что делить, при поиске времени и скорости.
- При встречном движении берут разность скоростей вместо суммы.
Цена, количество, стоимость
Определения
- Цена
- Стоимость одной единицы товара: рублей за килограмм, за штуку, за метр.
- Количество
- Сколько единиц товара берут: килограммов, штук, метров.
- Стоимость
- Общая сумма к оплате. Равна произведению цены на количество.
Объяснение
Тройка «цена - количество - стоимость» устроена точно так же, как «скорость - время - путь». Это не совпадение: в обоих случаях есть величина на единицу, число единиц и общий итог. Поняв одну тройку, вторую можно не учить заново.
Основная формула: стоимость равна цене, умноженной на количество. Отсюда цена равна стоимости, делённой на количество, а количество равно стоимости, делённой на цену. Как и в движении, формула одна, а форм записи три.
Ключевое место - согласование единиц. Если цена дана за килограмм, а количество в граммах, надо привести к одному: либо перевести граммы в килограммы, либо пересчитать цену за грамм. Смешение единиц даёт ответ, отличающийся в тысячу раз, и заметить это можно только прикидкой.
В задачах часто встречается сравнение выгоды: что дешевле - три килограмма по одной цене или пять по другой. Такие вопросы решаются приведением к одной единице: считают цену за килограмм в обоих случаях и сравнивают. Сравнивать общие суммы бессмысленно, если количества разные.
Скидки и наценки в этой теме смыкаются с процентами. Скидка 20 процентов означает, что платят 80 процентов исходной цены, и удобнее сразу умножать на 0,8, чем считать скидку отдельно и потом вычитать.
Проверять стоит прикидкой: килограмм яблок не стоит десять тысяч, а сдача не бывает больше внесённой суммы. Житейская правдоподобность ответа - самая быстрая проверка в этой теме.
Правила и формулы
- Стоимость
С = цена · количество - Цена
цена = С : количество - Количество
количество = С : цена - Единицы цены и количества обязаны совпадать
- Скидка 20 % - это умножение на 0,8
Порядок действий
- Выпишите, что дано и что надо найти.
- Проверьте, совпадают ли единицы цены и количества.
- Приведите их к одному виду, если нужно.
- Выберите нужную форму формулы и вычислите.
- Проверьте правдоподобность ответа.
Разбор примеров
- Формула: С = цена · количество.
- Единицы согласованы.
- 80 · 2,5 = 200
- Формула: цена = С : количество.
- 240 : 3 = 80
- Переводим: 400 г = 0,4 кг.
- 50 · 0,4 = 20
Где обычно ошибаются
- Умножают цену за килограмм на количество в граммах.
- При сравнении выгоды сравнивают общие суммы вместо цены за единицу.
- Считают скидку, но забывают вычесть её из исходной цены.
Работа и производительность
Определения
- Производительность
- Объём работы, выполняемый за единицу времени: деталей в час, страниц в минуту.
- Работа
- Общий выполненный объём: количество деталей, страниц, кубометров. Равен произведению производительности на время.
- Совместная работа
- Работа нескольких исполнителей одновременно. Их производительности складываются.
Объяснение
Тройка «производительность - время - работа» - третья в ряду однотипных, вслед за движением и покупками. Формула та же по строению: величина за единицу времени, умноженная на время, даёт общий итог.
Основная запись: работа равна производительности, умноженной на время. Отсюда производительность равна работе, делённой на время, а время равно работе, делённой на производительность. Никаких новых формул запоминать не нужно.
Особенность темы - задачи на совместную работу. Если двое работают одновременно, их производительности складываются: за час они вместе делают столько, сколько каждый по отдельности, в сумме. Именно производительности, а не времена - складывать времена нельзя, это грубая ошибка.
Понять, почему нельзя складывать времена, проще на примере. Если один делает работу за 6 часов, а другой за 3, то вместе они точно справятся быстрее, чем за 3 часа, а сумма 9 часов противоречит здравому смыслу. Правильный ход: производительности 1/6 и 1/3 работы в час, вместе 1/6 + 1/3 = 1/2 работы в час, значит вся работа займёт 2 часа.
В таких задачах всю работу удобно принять за единицу. Тогда производительность каждого - это дробь, показывающая долю работы за час, и вся задача сводится к сложению дробей. Это тот случай, где действия с дробями из абстрактного упражнения превращаются в рабочий инструмент.
Проверять надо по смыслу: время совместной работы обязано быть меньше времени самого быстрого исполнителя. Если получилось больше, значит где-то сложили времена вместо производительностей.
Правила и формулы
- Работа
A = p · t - Производительность
p = A : t - Время
t = A : p - При совместной работе складывают производительности
p = p₁ + p₂ - Всю работу удобно принять за единицу
за 6 часов → производительность 1/6
Порядок действий
- Определите, что дано: объём работы, время или производительность.
- Если работа не выражена числом, примите её за единицу.
- Найдите производительность каждого исполнителя как долю работы за единицу времени.
- При совместной работе сложите производительности.
- Разделите работу на общую производительность - получите время.
Разбор примеров
- Формула: A = p · t.
- 12 · 4 = 48
- Работу принимаем за единицу.
- Производительности: 1/6 и 1/3 в час.
- Вместе: 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 в час.
- Время: 1 : 1/2 = 2 часа.
- Формула: p = A : t.
- 90 : 3 = 30
Где обычно ошибаются
- Складывают времена вместо производительностей и получают ответ хуже, чем у одного работника.
- Забывают принять работу за единицу и путаются в дробях.
- Не проверяют, что совместное время меньше времени самого быстрого исполнителя.
Пример с решением
- 1 м = 100 см
- 8 м = 8 · 100 = 800 см
- 1 км = 1000 м
- 21000 м = 21000 : 1000 = 21 км
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.